Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/03/09.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:51 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:10:07 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: http www.badastronomy.com bad tv foxapollo.html

УРАВНЕНИЯ

ПЕЛЛЯ

9
(
2x - y

имеем

т.е.

жm nц ч з xy = ma + ncз - ч = з a cч и ш ж c aц ч з = m2 + mn з - ч - n2 = m2 + mn - n2 . зa cч и ш
Внутренность 'креста' из гипербол xy = +1 задается неравенством |xy| < 1. Но при целых m и n величина m2 + mn - n2 тоже целая. Единственным целым числом, которое по модулю меньше 1, является ноль. Значит, для лежащей внутри креста точки решетки имеем жm nц ч P з ma + ncз - ч = 0 , A з a cч и ш откуда ma + nc = 0 или mc na = 0. Ввиду иррациональности отношения a/c это возможно лишь при m = = n = 0. Рис.4 Значит, внутри 'креста' из гипербол расположена единственная точка рассматриваемой решетки начало координат. Для решетки, порожденной параллелограммом рисунка 3, решение аналогично, поэтому мы выпишем только формулы uuur uuu r uuur ж m nц ч з OP = mOA + nOC = зma + nc; + ч з a cч и ш
O C

)

2

- 5y 2 = +4 ,

что уже похоже на уравнение Пелля. Впрочем, мы воспользуемся этим преобразованием чуть позже, а здесь решим уравнение в его первоначальном виде. Немного посчитав, можно составить таблицу:

x y x2 xy y
2

0 1 1

1 0 1

1 1 1

2 1 1

3 2 1

5 3 1

8 5 1

13 8 1

21 13 1

Всякий, кто знаком с числами Фибоначчи, уже узнал их. А остальным скажем, что последовательность Фибоначчи задана своими двумя членами 0 = 0 , 1 = 1 и рекуррентной формулой n + 2 = n + + n +1 . Несколько следующих членов этой замечательной последовательности таковы: 2 = 0 + 1 = 1 , 3 = 1 + 1 = 2 , 4 = 1 + 2 = 3 , 5 = 2 + 3 = 5 , 6 = 3 + + 5 = 8 , 7 = 5 + 8 = 13 . Теорема 6. Если x 2 - x y - y 2 = +1 , то пара чисел ( X; Y ) = ( x + y; x ) удовлетворяет равенству X 2 - - XY - Y 2 = m1 . Доказательство.

(

x+y

)

2

- ( x + y ) x - x 2 = x 2 + 2 xy + y 2 - x 2 - xy - x 2 =
2 = - ( x - xy - y 2

)

= m1 .

и

жm n ц ж c aц з xy = ma + ncз + ч = m2 + mn з + ч + n 2 = ч зa cч ч зa з cч и ш и ш
2 2 2 = m - 3mn + n = m - n - m - n n - n = 2 2 = k - kn - n , 2

где обозначено k = m n. Итак, внутри 'креста гипербол' решеток, кроме начала координат. лах таких точек бесконечно много. в первом из рассмотренных нами убедиться, что уравнение

нет ни одной точки А на самих гипербоЧтобы доказать это, случаев достаточно

m 2 + mn - n 2 = +1 имеет бесконечно много решений в целых числах m, n, а во втором случае сделать то же самое для уравнения k 2 - k n - n 2 = +1 .

Доказав теорему 6, мы наконец-то решили задачу М1775. Как и не раз выше, сформулируем и не докажем еще одну теорему. Теорема 7. Уравнение x 2 - xy - y 2 = +1 не имеет решений в целых неотрицательных числах, кроме тех, что получаются из 'тривиального' решения (0; 1) при помощи правила ( x; y ) ( x + y; x ) . Следствие. Все решения уравнения z 2 - 5 y 2 = +4 в натуральных числах даются формулой ( z; y ) = = ( n +1 + n -1; n ) . Доказательство. Каждой паре целых чисел x; y , удовлетворяющей равенству x 2 - xy - y 2 = +1 , соответствует пара целых чисел z; y = 2x - y; y , удовлетворяющая равенству z2 - 5y2 = +4 , и наоборот (поскольку числа z и y одной четности). Осталось заметить, что если x =
n +1

и y = n , то

z = 2x - y = 2n +1 -n = n +1 +n -1 .
Упражнение 20. Докажите тождества а) 2 = n б) 2 = n
n -1n +1

Впрочем, первое из этих двух уравнений сводится ко второму заменой m на k.
Уравнение x 2 xy y 2 = +1

- ( -1) ;
n

Это уравнение не имеет вида x - d y = 1 . Но умножение на 4 приводит его к виду
2 2

n -2n + 2

+ ( -1) .

n

(Продолжение следует)

4x 2 - 4xy - 4y 2 = +4 ,
3 Квант ? 3