Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/03/31.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:53 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:13:36 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban

ШКОЛА

В

'КВАНТЕ'

31

точками и равно H1 + H2 , а в схеме 'треугольник' оно 412 413 + 423 . Следовательно, для того чтобы соравно 412 + 413 + 423 противления между точками и были одинаковы для обеих схем, необходимо, чтобы

@

E

H1 + H2 =
Аналогично, для точек

412 413 + 423

412 + 413 + 423 и! 423 413 + 412 413 412 + 423 412 + 413 + 423 412 + 413 + 423

@

E

.

(1)

H2 + H3 =
и для точек и !:

@

E

(2)

H1 + H3 =

@

E

Это обычная схема 1 Oм 1 Oм + 'мостика', но в нашей задаче 'мостик' не урав* новешен. Такие задачи ) 1 Oм приходится решать при помощи правил Кирхго2 Oм 1 Oм фа. В школьной програм, ме их нет, да и вычисления с помощью этих пра- Рис. 3 вил очень громоздкие в нашем случае получилась бы система пяти уравнений с пятью неизвестными. Мы поступим проще: заменим 'треугольник' )+, 'звездой', как показано на рисунке 4. Теперь ясно, что сопротивление между точками ) и * будет равно

.

(3)

4

)*

=

1 3

Ом +

28 33

Ом =

13 11

Ом .

Система уравнений (1)(3) легко решается. Сложим все уравнения и поделим обе части на 2:

H1 + H2 + H3 =

412 413 + 412 423 + 413 423 412 + 413 + 423 412 413 412 + 413 + 423 412 423 412 + 413 + 423
413 423 412 + 413 + 423

.

Вычтя теперь из этого уравнения уравнение (2), получим

H1 =
Аналогично,

.

Мы заменяли 'треугольник' )+, 'звездой', но можно было решать задачу иначе заменяя 'звезду' ),* 'треугольником' (проделайте это самостоятельно). Пусть теперь к точкам ) и * подключена батарея с пренебрежимо малым внутренним сопротивлением и ЭДС E = 1 В. Нужно найти ток через участок +*. Понятно, что преобразовать схему надо так, чтобы не затронуть интересующее нас сопротивление +*. Подойдет то преобразование,

H2 =
и
H3 =

1 Oм A3
.

1 Oм 3

r 1 Oм B

Эти результаты легко запомнить знаменатель всюду один и тот же, а в числителе справа дважды встречается тот же индекс, что и слева: H1 412 413 , H2 412 423 , H3 413 423 . Немного сложнее получить формулы для обратного преобразования: HH + HH3 + H2 H3 1 412 = 1 2 , H3

1 Oм 3

2 Oм

4 Oм 3 A 1 Oм 3 7 3 Oм B

413 = 423 =

HH2 + HH3 + H2 H3 1 1 H2 HH2 + H1H3 + H2 H3 1 H1

, ,

но их также легко запомнить числитель всюду один и тот же, а в знаменателе стоит как раз тот индекс, которого недостает слева. Пользуясь формулами, которые мы только что получили, можно производить замену одной схемы другой. Например,

Рис. 4

1 Oм A3

28 33 Oм B

a) 1 Oм

б)

которое мы делали раньше (см. рис.4). Используя, что 13 Ом , получим 4)* = 11

3 Oм 1 Oм 1 Oм 3 Oм

3 Oм

1=

E 4
)*

=

11 13

A.

Рис. 2

После разветвления токи в верхней и в нижней ветвях поделятся в отношении, обратном сопротивлениям ветвей:

'звезду' с сопротивлениями 1 Ом можно заменить 'треугольником' с сопротивлениями 3 Ом (рис.2). Решим теперь такую задачу: найдем сопротивление между точками ) и * в схеме на рисунке 3.
8*

11 12

=

7 4

.

(Продолжение см. на с. 34)