Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/03/49.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:54 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:14:38 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban

Колебательный контур
В.МОЖАЕВ

ПРАКТИКУМ

АБИТУРИЕНТА

49

Это однородное (справа стоит ноль) дифференциальное уравнение второго порядка (старшая производная второго порядка). Уравнения такого вида описывают гармонические колебания одного из параметров колебательной системы. В нашем случае напряжения на конденсаторе. Решение уравнения имеет вид
U t = A cos 0t + B sin 0t ,

где 0 =

рых основным элементом является колебательный LCконтур. В состав такого контура обычно входят два реактивных элемента индуктивность и емкость, а также активное сопротивление. Последовательно соединенные, эти элементы и образуют последовательный колебательный контур. Основная задача при расчете колебательного контура состоит в определении временнуй зависимости тока в контуре и напряжений на его элементах при заданных начальных условиях. Процессы в колебательном контуре описываются так называемым дифференциальным уравнением второго порядка, а общее решение этого уравнения содержит две неизвестные константы. Эти константы можно определить из начальных условий, вот почему для нахождения решения необходимо знать начальный ток в контуре и начальное напряжение, скажем, на конденсаторе. Часто в задачах на колебательный контур требуется найти не общее решение, а какой-то конкретный параметр, например максимальный ток в контуре или максимальное напряжение на конденсаторе. Такие задачи можно решать, исходя из закона сохранения энергии и общих физических соображений. Так, при максимальном токе в контуре ЭДС индукции в катушке равна нулю, а если активное сопротивление контура равно нулю, то и напряжение на конденсаторе также равно нулю. Или, если напряжение на конденсаторе максимально, то ток в контуре отсутствует. А теперь конкретные задачи. Задача 1. В колебательном LC-контуре (рис.1) в начальный момент ключ K разомкнут, а конденсатор емкостью C заряжен до напряжения U0 . L Найдите зависимости напряжения на конденсаторе и тока в контуре от времени после замыкания ключа. Сразу после замыкания K ключа напряжение на конденсаторе U 0 = U0 , а ток в C + контуре I 0 = 0. Пусть в произвольный момент времени U Рис. 1 после замыкания ключа в контуре течет ток, как это изобL ражено на рисунке 2. Запишем закон Ома для нашего контура:

В

ЭТОЙ СТАТЬЕ БУДУТ РАЗОБРАНЫ ЗАДАЧИ, В КОТО-

1 собственная частота колебаний контура, а LC A и B константы, которые находятся из начальных условий. Первое начальное условие это
U 0 = U0 .

После подстановки его в решение получим A = U0 . Из второго начального условия

I 0 =-CU ? = 0
следует, что B = 0. Теперь запишем окончательные выражения для напряжения на конденсаторе:

U t = U0 cos 0t
и для тока в контуре:

I t = U00C sin 0t .
Сравнивая последние два выражения, видим, что напряжение на конденсаторе и ток в контуре изменяются по гармоническому закону с U одной и той же часU тотой, но колебания тока и напряжения сдвинуты по фазе на 2 . Зависимости 3 t U t и I t изображены на рисунке U 3. Задача 2. К LCI контуру (рис.4) в момент t = 0 под- UC ключают источник постоянной ЭДС E с пренебрежимо ма 3 t лым внутренним со противлением. Определите напряже- UC ние на конденсаторе в зависимости от Рис. 3 времени. Рассмотрим произвольный момент после замыкания ключа. Пусть в контуре течет ток I, как это изображено на рисунке 5. Запишем закон Ома для нашего контура:

- - LI ? = UC ,
где UC напряжение на конденсаторе. Используем связь между током и напряжением на конденсаторе:
L

I +
Рис. 2

LI? = U . C U
Поскольку I = CU ? , получим

? I = CUC .
Продифференцируем это соотношение по времени:

C

U ?? +

1 U = 0. LC

E
Рис. 4

? I ? = CUC? .