Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/03/58.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:54 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:17:24 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban

#&
ab d - 1 - b 2 - a
2

КВАНT 2002/?3



d . Обозначив S = ab d - 1 и

Аналогично можно доказать, что lim
t 1 . lim n = n qn 6 10. а) Например, x; y = б) Например, a = 3, b = 2, эти числа можно, выразив z

T = b - a
2

2



d , сводим дело к сравнению чисел |S + T| и

n qn

tn

=

1 3

и

|S T|. Поскольку S и T положительные числа, то |S + T| > >|S T|. Значит, ч > . Тем более, чm > n . Но, как вы помните, чm = n . 30 8. а) Число x = 45 + 1975 можно представить в виде женное число: y = 45 - 1975

a + b 1975 , где a, b натуральные числа. Рассмотрим сопря-

3; 5 , 20; 29 или (119; 16 9 ) . c = 1, d = 4, e = 3, f = 2. Найти из равенств = 2x + 1,





30

= a - b 1975 . Заметим, что
числа X и Y через x и y.

Z = 2X + 1, Z = 3 z + 4 y, Y = 2z + 3 y
2 22

x + y = 2a и 0 < y < 1. Значит, [x] = [2a y] = 2a 1. г) Воспользуйтесь тем, что 2 - 3 > 0 , число



2+ 3

д) an

=
n

+ 2 - 3 5+2 6 + n
n



n

целое и lim 2 - 3

+

5-2 6



nR? n





n

= 0.

11. Уравнение x 2 + y 2 - 1 = y



эквивалентно уравнению

. Обозначим = 5 + 2 6 и

= 5 - 2 6 . Тогда

an

+2

=

n +2

+2

= 5+2 6

= 49 + 20 6 + 49 - 20 6

(

(

)

)

2 n

n + 5 - 2 6

(

(

) )

2n n

=
=

= 50 + 20 6 n + 50 - 20 6 n - n - n = = 10

(

)

Поскольку an + 4 = 10an + 3 - an +2 = 10an + 3 - 10an +1 + an , то числа an + 4 и an оканчиваются одной и той же цифрой. Поскольку a0 = 2 , то десятичная запись числа a1000 оканчивается цифрой 2. Далее,

(

(

n +1

+

n +1

)-(

)

n +

n

)

= 10an

+1

- an .

x 2 - 2y 2 = -1 . 12. Существует. Например, f (x ) = 2x 2 + 1 . 13. Да, существуют. Подставив n = 1 в искомые соотношения, получим 17 = 3a + b, 12 = 2a, откуда a = 6, b = 1. Докажем по индукции, что найденные значения удовлетворяют условию задачи. База это та система, из которой мы нашли a и b. Переход. Пусть при некотором n выполнены равенства xn +1 = 6 xn - xn -1 и yn +1 = 6 yn - yn-1 . Тогда x
n+2

= 3x

n +1

+ 4 yn

+1

= 3 (6 xn - xn

-1

)

+ 4 (6yn - yn

-1

)

=

a1000 =



3+ 2



2000

+



3 - 2

2000

>



3 + 2 ц ч ч ч ш

2000

=

= 6 (3xn + 4yn ) - ( 3xn -1 + 4yn

-1

)

= 6xn + 1 - xn ;

= a1000 -



3- 2



2000

ж1 з > a1000 - з з3 и

2000

> a1000 - 1 0-666 ,

аналогичная выкладка доказывает равенство yn + 2 = 6 yn +1 - yn . 2 2 14. Нет. а) x - 1 + x 2 + x + 1 = 3 x 2 + 2 ; но квадрат не может дать остаток 2 при делении на 3. б) x - 1 + x2 + x + 1 + x + 2 = = 4 x + 4 x + 6 ? 2 m od 4 ; но квадрат целого числа не может дать остаток 2 при делении на 4. в) 5x2 + 10 = 5 x2 + 2 не может быть квадратом, поскольку
2

2

2

2

откуда и следует, что перед запятой в десятичной записи числа



3+ 2



2000

стоит цифра 1, а после запятой не менее

666 девяток. (При помощи компьютера можно проверить, что девяток 995 штук.) 9. Обозначим a = 1 + 2 + 3 , b = 1 - 2 + 3 ,
c = 1 + 2 - 3 и d = 1 - 2 - 3 . Наряду с равенством

x 2 + 2 ни при каком целом x не делится на 5.

a n = 1 + 2 + 3



n

= qn + rn 2 + sn 3 + tn 6

рассмотрим три сопряженных:

г) 6 x2 + 6 x + 19 ? 3 mod 4 . д) x 2 + 4 = 7z 2 . Значит, x 2 + 4 делится на 7, что невозможно. е) 2x 2 + 2x + 11 = z2 . Значит, z2 ? 3 mod 4 . ж) x - 4 + x - 3 + x - 2 + K ...+ x + 3 + x + 4 = 9x2 + 60 делится на 3, но не делится на 9 и поэтому не может быть точным квадратом. 2 з) 2x x + 1 ? 3 m od 5 , поскольку 2x + 1 ? 7 mod 5 . и) y 2 ? 2 mod 4 . 15. а) Домножим обе части уравнения 3 x 2 + 3 x + 1 = y 2 на 4 и 2 выделим полный квадрат: 3 4x2 + 4x + 1 + 1 = 2y , т.е. 2 2 2y - 3 2x + 1 = 1 . Обозначив z = 2y и t = 2x + 1, получаем уравнение Пелля z 2 - 3t 2 = 1. Нас интересуют не все решения последнего уравнения, а лишь те, где z четно. В любом решении уравнения z 2 - 3t 2 = 1 одно из чисел z и t четно, а другое нечетно. При переходе z; t R 2z + 3t; z + 2t пара (четное; нечетное) преобразуется в (нечетное; четное), и наоборот. Поэтому нужно рассматривать только 'половину' решений, а именно (z; t) = (26; 15), (362; 209), (5042; 2911), (70226; 40545), (978122; 564719), (13623482; 7865521) и так далее. Этим решениям соответствуют пары (x; y) = (7; 13), (104; 181), (1455; 2521), (20272; 35113), (282359; 489061),
2 2 2 2 2

b n = qn - rn 2 + sn 3 - tn 6, cn = qn + rn 2 - sn 3 - tn 6, d n = qn - rn 2 - sn 3 + tn 6.
Из этих четырех равенств находим
4qn = a n + bn + cn + dn , 4rn 2 = a n - b n + cn - dn, 4s
n

3 = a n + bn - c n - dn,

4tn 6 = a n - b n - c n + d n.

Следовательно,
rn a -b + c -d =n = qn ж a + bn + cn + dn 2 ж з з з з з1 + з и з и
n
n n n n

ж 1- з з з и

b a

ц ч +ж з ч з ч з ш и

n

c a

ц ж ч -з ч з ч з ш и

n

d a

ц ч ч ч ш

n

n ж bц ч з ч +з з ч aш и

n ж cц ч з ч +з з ч aш и

n dц ч ч ч aш

ц ч ч2 ч ч ч ш

R

1

2.

(Стремление величин b a , c a и d a к нулю следует из того, что все три числа b/a, c/a и d/a по модулю меньше 1.)

n

n