Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/03/62.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:26:54 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:17:26 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: юпитер

$
Аналогично получаем
2

КВАНT 2002/?3

Sn = Sn =
3 2

5

n n +1

b

ge
2

2 n + 2n - 1

2

j

14. Воспользуйтесь равенствами ,
3

6

n n + 1 2n + 1 3 n + 6 n - 3 n + 1 42

b

gb

12

а) 2 sin

d 2 d

sin a + kd = cos a +

b

g

ge

j

.
3 2

б) 2 sin

7. 4 Q3 = 4 a n + 6 a dn n - 1 + 2ad n 2n - 3 n + 1 + d n n - 1 . 8. Воспользуйтесь формулой суммы n членов арифметической прогрессии.
(4 9. q ) (n ) =

b

g

2

e

2

j

b

g

2

2k + 1 2k - 1 d - si n a + d. cos a + kd = sin a + 2 2 2 15. Для решения п. а) воспользуйтесь замечением 1 статьи; a б) tg x = ctg x - 2ctg 2 x , положив x = k , получим 2 a a a tg k = ctg k - 2 ctg k -1 ; в) см. упражнение 11; 2 2 2 г) воспользуйтесь равенством

b

g

F GH F GH

2k - 1 2

d - cos a +

I JK I JK

F GH F GH

2k + 1 2

d;

I JK I JK

=

q-2 3!

bk + 1g +
b3g
n k =1 k =1

n

b

k +1 2

g

b2g

=

q-2 4!

b

n+2

g

b4g +

b

n+2 3!

g

b 3g

=

e1

- 2a cos x + a a sin kx =

2

j

k

= a sin kx - a
1 d

k

k +1

si n k + 1 x - a 1 k

=

n n +1 n + 2 4!

b

gb

g db

n-1 q -2 + 4 .

gb

gi

п. д) аналогичен п. г). 16. а) б)

b

g

k +1

sin k - 1 x + a 1 d

b

g

k +2

si n k x ;

10. Для m = 2, 3, 4 формула верна; предположим, что она верна для m = s , и вычислим s+1 ( ) n =
q

()

=


k =1

n



bsg
q

bk g

=

q-2 s!

b 2 bk + s - 2gb g + bk +bss - 1gg! - nb n + 1gK b n + s - 1g = b s + 1g! dbn - 1gb q - 2g
n s n k =1 k =1

s -1

g

=

+ s +1 .

i

3 1 1 1 1 = - , так как 2 . 4 k -1 2 k -1 k +1 17. Все утверждения, кроме случая г), доказываются простыми вычислениями; разберем п. г). Выпишем несколько чисел, отвечающих указанному разбиению: 1; 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19; ... Количество чисел, встречающихся до n-й группы, равно 1 + 2 + K + n - 1 = n n - 1 2 . А их сумма равна

F GH

1+

1 2

+K+

1 d

I JK

, так как

-

F GH

I JK

k+d

=

k k+d

b

g

;

11. Дважды примените формулу преобразования произведения тригонометрических функций в сумму. 12. Используйте равенство

b

a + kd a + k + 1 d K a + k + m d
=

gd b

gi d b gi 1F 1 G md G b a + kd gK d a + b H


1

=
-

; сумма всех чисел, вклю4 2 2 n n +1 . Откуда чая и n-ю группу, равна Sn = 4 3 S = Sn - Sn -1 = n .
-1

Sn

=

b

n-1 n 2

g b

b

n -1 n 2

g

gb
=

n n-1

2

b

g

g

2

b

g

Колебательный контур

k + m -1 d

gi
1

da + b
1 12

k +1 d K a + k + m 1

gi d b gb

Тогда n n ; 2) ; 1) 2 3n + 2 2n + 1 1 1 - 4) . 12 4 2n + 1 2 n + 3

I gd i JJK

1. Im = . 2. I0 = E 3. I0 = 4.

2q 5LC1 C . 3L

.

b

g

3)

-

2 n+2 n+3

b

g

;

q0 C1 + C2 C2
R

b

g
C L1

. LC1 + C2

b

g

b

13. 1) 2)

+ 2 2 n + 2n

1

b

gb

2n - 1 2 n + 1 2n + 3 6 - 1 4

gb

g

d2 - d1 d1

gb

g

.

;

(воспользуйтесь равенством

b

n+1

g

2

;

3)

2 n+2 n+3 1

b

2n + 3

gb

g g-b
k +1 k + 2 k + 3

VIII Российская олимпиада по астрономии и физике космоса
8 класс
1. Планеты выглядят наиболее яркими и поэтому наиболее удобными для наблюдений во время противостояний. Период обращения Юпитера вокруг Солнца составляет около 12 лет (точнее, 11,86 года). Следовательно, через год он уйдет вперед примерно на 1/12 часть окружности, и Земля 'догонит' его за один месяц. Следовательно, наилучшая видимость будет в середине декабря. 2. В этот день склонение Солнца = +23,5њ. Поэтому пройти через зенит (а это и есть наибольшая высота) Солнце сможет только на широте тропика Рака, т.е. на широте = 23,5њ. 3. Допустимый 'уход' телескопа составляет 1?? за час, или

4) 6)
tg

7) 8)

g = bk + 1gb 1 1 - ; 5) log b n + 1g ; n! arctg n (пусть arctg bk + 1g = ba - bg = 1 + k b1k + 1g ); ctg x - ctg b n + 1g x ; tg b n + 1g x - tg x . b
k +1 k +2 k + 3
a

gb

k

gb

k+2

gb

3

gb

g

);

a , arctg k = b , тогда