Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2003/04/59.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:27:34 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:32:32 2012 Кодировка: Windows-1251

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

РЕШЕНИЯ

59

одержали по 6 побед. Поскольку, как уже отмечалось, каждый участвовал в 12 играх, то согласно условию Боря во всех остальных своих матчах проиграл. 3 матча Бори без участия Андрея можно представить так:

2. IL = IL = U0 1 2 3. Im = 4E 4. Um = I0
C . L

L1 C ; Um = U0 . L + L2 L1 + L2 1

Г+Д

R Б+В ; В+Д R Б+Г ; В+Г R Б+Д .

Здесь буквы Б, В, Г, Д заглавные буквы имен мальчиков, а стрелки идут от победителей к проигравшим командам. Из приведенной схемы видно, что в этих играх Вася, Гена и Дима выиграли по две игры, а всего по восемь. Итак, Андрей не выиграл ни разу; Боря выиграл 6 раз; Вася, Гена и Дима выиграли по 8 раз. 18. Пусть в треугольнике АВС из середины М стороны АС восставлен перпендикуляр, делящий его на 2 части, площади которых различаются в 3 раза (рис.2). Этот перпендикуляр пересекает одну из остальных двух сторон треугольника; пусть для определенноB сти это сторона АВ. Точку пересечения обозначим через K. ПровеK дем отрезок CK. Треугольники AMK и CMK равны, поэтому площадь четырехугольниC ка BCMK больше плоA M щади треугольника Рис. 2 AMK в 3 раза и площадь треугольника CKB равна площади треугольника CAK. Отсюда заключаем, что AK = KВ. Из равенства треугольников AKM и CKM следует также AK = KC. Итак, точка K является центром окружности, описанной вокруг треугольника АВС, причем отрезок АВ является ее диаметром. Поэтому РC = 90o и KM P BC . Заметим, что в этом случае перпендикуляр к середине второго катета ВС также проходит через точку K и делит треугольник АВС на две части, площади которых опять же различаются ровно в 3 раза. Поэтому ВС не может быть упомянутой в условии 'другой' стороной. Следовательно, ВС это 'третья' сторона треугольника, о которой говорится в условии, и перпендикуляр к ее середине делит треугольник АВС на две части, площади которых различаются в 3 раза. Это и есть ответ. n +2 n +3 n +1 + n + 1 + n + 2 чет19. При нечетном n число z = n но и больше 2, следовательно, оно составное. При четном n число z можно представить в виде
z= n

LL2 1 . C L1 + L2

Прямые и параболы
1. Уравнение (6) (см. статью) имеет хотя бы один корень. 2. Функция (5) не может иметь два нуля второго порядка. 3. Нет. Функция (5) не может иметь два нуля второго порядка. 4. 7. Уравнение касательной у = 24x + r 8, точка (0; 0) должна лежать между параболой и касательной, т.е. 0 О r - 8; r , поэтому 0 < r < 8 и количество целых значений 7. 5. 3. Пусть x1, x2 абсциссы точек касания. Так как прямые пересекаются в точке (0; 0), то x1 + x2 = 0 . Складывая равенства 2ax1 + b = -1 и 2ax2 + b = 7, получаем b = 3. 6. 2. Середина отрезка имеет ту же абсциссу, что и точка a* , следовательно, 4 x + 5 = x + 9 , и x = 2. 7. 3. Уравнение для определения абсциссы точки касания 2 x0 - 9 = 0 , x0 = +3 , y0 = 18 + 3a . Квадрат искомой длины 2 есть OM 2 = 9 + 18 + 3a , и OMmin = 3 . 2 8. 4. Уравнение касательной y = 2x0x - 3 - x0 , ордината и абсцисса точек пересечения этой касательной с координатными 22 2 3 + x0 3 + x0 1 2 , и S = xy = . Поосями y = -3 - x0 , x = 2x0 2 4 x0 этому x0min = 1 , Smin = 4 . 2 9. 1. Уравнение касательной y = 2ax0 + b x + 4 - ax0 , точки пересечения этой касательной с координатными осями ж ax2 + 4 ц 2 ;0ч . Так как М середина отрезка A 0; 4 - ax0 , B з 0 и 2ax0 + b ш







Но



n +1

+ 1 + n + 1



n+2

+



n+2



n+3

-1 .



имеет единственное решение, поэтому b2 = 12a , b2 =1. 4a 2 10. 8. Уравнение касательной y = 8 a - a + 4 абсцисса точек пересечения этой касательной с 8a 1 . Поэтому S = ми осями y = 8 a , x = 2 2 a +4 amax = 4 , Smax = 8 .

2 2 AB, то 2 ax0 + bx0 + 4 = 4 - ax0 . Получившееся уравнение







и yверш = 4 -





x, ордината и координатны32a , xy = 2 a +4

n

n +1

+ 1 = n + 1 n - n
n



n -1

+K - n+1 , + n + 2



11. 2. Поскольку r = 0, а при х = 6 будет у = 0 и y ? = 0 , получаем систему



n+2



n +3

-1 =



n + 2 - 1 n + 2





n +2



n +1

+ K +1 ,



м36 p + 6q = 216, н о12p + q = 108,
откуда p = 12, q = -36 и xmax = -2 . 12. 3. При q = 0 уравнение касательной для x0 = 5 запишется так: y = 10p + 75 x - 250 - 25p + r . При х = 13 это совпадает со значением функции. Поэтому р = 3. 13. 6. При x0 = 0 уравнение касательной у = 3х + r. Точка пересечения с осью Ох есть х = r/3. Подстановка в уравнение кривой дает r = 6. 14. 5. В уравнение касательной при x0 = 15 подставляем х = 0 и находим, что р = 30. Один из корней квадратного уравнения 25, а их сумма 20. Поэтому другой корень есть 5. 15. 5. Фраза 'касательная проходит через начало координат' 4 2 означает, что f x0 = f ? x0 x0 , в данном случае 15x0 - 18x0 - r = 0 . Чтобы это уравнение имело 4 различных корня, должно быть r < 0, D > 0. Отсюда 5,4 < r < 0; целых чисел 5.

так что число z представляет собой сумму трех слагаемых, кратных n + 1, поэтому само делится на n + 1 и является составным. 20. Достаточно положить x = a + b, y = a b, после чего исходное уравнение превращается в тождество. Следовательно, для любых целых чисел (а, b) уравнение

x2 + xy + y2 = 3a2 + b2
имеет решения в целых числах (х, у).

Индуктивность в электрических цепях
1. UL =

E 2R1 + R2 - I0 R1R2 ; UC = 2E . R1 + R2