Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2003/04/51.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:27:33 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:32:28 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: р р р р р р р р р р р р р р р р р р р р р р р р р р р р р р р р р р р р р р

ПРАКТИКУМ

АБИТУРИЕНТА

51

ные направления выпуклости. Неискушенному смысл этой фразы мы поясним ниже, а пока составим уравнение касательной к кубической параболе в точке Р. Для этого достаp точно в уравнение касательной подставить x0 = - ; после 3 преобразований уравнение примет вид
p2 p3 y = q - x + r - . 3 27

уравнение (11) дает

3 2 2x0 + ( p - 3a ) x0 - 2pax0 + a 3 + pa

(

2

)

= 0.

(16)

(15)

С точностью до обозначений мы получили первое из уравнений (14). Касательную к кубической параболе в точке перегиба Р, уравнение которой имеет вид (15), мы будем выделять: особым шрифтом в тексте и более толстой линией на рисунке. Если точки на кубической параболе и на касательной имеют одну и ту же абсциссу х, то разность ординат этих точек равна

p y = x + . 3 Это равенство означает, что левее точки перегиба Р кубическая парабола расположена ниже касательной, а правее выше. Приведем теперь точные формулировки, относящиеся к направлению выпуклости графика произвольной функции. График функции y = f ( x ) в точке с абсциссой x0 называется выпуклым вверх (вниз), если существует окрестность этой точки, такая что для всех точек этой окрестности касательная к графику, проведенная в точке с абсциссой x0 , расположена выше (ниже) самой кривой. Можно доказать, что признаком выпуклости вверх (вниз) в точке x0 является выполнение условия f ( x0 ) > 0 ( f ( x0 ) < 0 ). Таким образом, для точек, лежащих левее Р, кубическая парабола выпукла вверх, правее вниз. С точкой перегиба Р связано еще одно любопытное свойство кубической параболы. Ордината этой точки легко определяется подстановкой абсциссы в (5):
3 pq p 2p - +r. y - = 27 3 3

3

Перенесем теперь начало координат в точку Р, новые координаты обозначим Х, Y. Нас интересует, как запишется уравнение (5) в системе координат XPY. Старые координаты связаны с новыми равенствами

2 2 ному уравнению 2x0 + ( p - a ) x0 - a + pa = 0 , из двух кор a + p ней которого а и - 2 интерес для нас представляет только второй это и есть абсцисса второй точки касания. Если N лежит на касательной, то в (11) подставляем правую часть первой из формул (14) и получаем уравнение p2 3 2 2x0 + ( p - 3a ) x0 - 2pax0 - ( 9a + p ) = 0 . (17) 27 Один из корней этого уравнения мы также знаем вспомним, что касательная касается кубической параболы в p точке перегиба Р с абсциссой x0 = - . Снова на помощь 3 приходит деление уголком, на сей раз левой части равенp 1 2 ства (17) на x0 + , что дает уравнение 2x0 + ( p - 3 3 p p и - 9a ) x0 - (9a + p ) = 0 с ожидаемым корнем x0 = - 3 9 p + 9a новой для нас абсциссой точки касания x0 = . 6 На рисунке 4 изображена кубическая парабола y = x3 - - 6x2 + 9x - 14 , точка ее перегиба есть P (2; - 12 ) , уравнение касательной получается из (15): y = -6 - 3x . Точки пересечения касательной и кубической параболы с осью Оу обозначены соответственно N1 и N2 . Через N1 проходят касательная и вторая касательная y = 24 6x. Через N2 проходят горизонтальная и наклонная касательные у = 14 и у = 9х 14. Наконец, вернемся к условиям (8), гарантирующим существование трех корней, в них используется, что один из корней производной меньший, а другой больший. Если а лежит левее абсциссы точки перегиба, то это и есть меньший корень, x01 в обозначениях формулы (8), соответp ственно, x02 = - , а необходимые значения функции в этих 3 точках определяются равенствами (13). В итоге получаем, p что при выполнении неравенства a < - условия (8) для 3 рассматриваемой задачи выглядят так:

Найти все корни последнего уравнения помогает то обстоятельство, что один корень x0 = a мы уже знаем. Разделив уголком левую часть (16) на ( x0 - a ) , приходим к квадрат-

(

)

p 2 p3 pq , y =Y + - +r. 3 27 3 Подстановка дает (проверьте!) x=X-
p Y = X3 - 3 - q X . Нечетность функции несомненно влечет за собой симметрию ее графика относительно нового начала координат. Таким образом, установлено, что точка перегиба Р есть центр симметрии графика любой кубической параболы. Но вернемся к задаче о числе касательных, т.е. к равенствам (14). Теперь мы можем прочитать их так: через точку N проходят ровно две касательные к кубической параболе тогда и только тогда, когда эта точка лежит на самой кубической параболе или на касательной, кроме случая, когда N совпадает с точкой перегиба Р. Для касательной, проходящей через N, можно определить абсциссы точек касания. Пусть сначала N лежит на кубической параболе и имеет абсциссу а, тогда ее ордината определяется правой частью второй из формул (14), и подстановка этих координат в
2

p2 p3 b < q - a + r - , 3 27 b > a 3 + pa 2 + qa + r .

(18)

p При выполнении противоположного неравенства a > - 3 меняются местами и знаки неравенств в (18):
p2 p3 b > q - a + r - , 3 27

b < a3 + pa2 + qa + r .

(19)

Условия (18) и (19) легко прочитать: для того чтобы через точку на плоскости можно было провести три касательные к кубической параболе, необходимо и достаточно, чтобы точка принадлежала области между этой параболой и касательной. На рисунке 6, где изображены кубическая парабола y = x 3 - 3x 2 - 9 x + 11 и ее касательная у = 12 12х, эта область выделена цветом. К сожалению, определить в общем случае абсциссы всех трех точек касания нам не удастся, но если задать одну из них, то две другие легко найти с помощью