Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2003/04/53.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:27:33 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:32:29 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban

ОЛИМПИАДЫ

#!

боковых гранях оказалась равна 12, во второй 15. Какое число написано на грани, противоположной той, где написана цифра 3? А.Кустарев 7 класс 1. Расставьте скобки и знаки арифметических действий так, чтобы получилось верное равенство: 11 1 = 2003 . 2 6 6009
Рис. 1

4. В треугольнике АВС на сторонах АС и ВС взяты соответственно точки Х и Y такие, что РABX = РYAC , РAYB = РBXC , XC = YB. Найдите углы треугольника АВС. (8) Т.Караваева 5. В стране 15 городов, некоторые из них соединены авиалиниями, принадлежащими трем авиакомпаниям. Известно, что если любая из авиакомпаний прекратит полеты, можно будет добраться из любого города в любой другой (возможно, с пересадками), пользуясь рейсами оставшихся двух компаний. Какое наименьшее количество авиалиний может быть в стране? (8) Р.Федоров 6. Петя задумал целое число, большее 100. Маша называет целое число, большее 1. Если Петино число делится на это число, Маша выигрывает. В противном случае Петя вычитает из своего числа названное, а Маша называет следующее число. Она не может повторять числа, названные ранее. Если Петино число станет отрицательным, Маша проигрывает. Есть ли у нее выигрышная стратегия? (8) А.Чеботарев 7. Хулиганы Джей и Боб на уроке черчения нарисовали головастиков (четыре окружности на рисунке 2 одного радиуса, треугольник равносторонний, горизонтальная сторона этого треугольника диаметр окружности). У какого из головастиков площадь больше? (9) Р.Федоров 8. Имеется шоколадка в форме равностороннего треугольника со стороной n, разделенная бороздками на равносторонние треугольники со стороной 1. Играют двое. За ход можно отломить от шоколадки треугольный кусок вдоль бороздки, съесть его, а остаток передать противнику. Побеждает тот, кто получит последний ку- Рис. 2 сок треугольник со стороной 1. Тот, кто не может сделать ход, досрочно проигрывает. Кто выигрывает при правильной игре? (9) А.Хачатурян 9. В окружность вписан прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АВ. Пусть K середина дуги ВС, не содержащей точку А, N середина отрезка АС, М точка пересечения луча KN с окружностью. В точках А и C проведены касательные к окружности, которые пересекаются в точке Е. Докажите, что РEM K = 90o . (9) И.Шарыгин 10. В тюрьму поместили 100 узников. Надзиратель сказал им: 'Сегодня вы поговорите друг с другом, а потом я рассажу вас по отдельным камерам. Иногда я буду одного из вас отводить в комнату, в которой есть лампа (вначале она выключена). Уходя из комнаты, вы можете оставить лампу как включенной, так и выключенной. Если в какой-то момент кто-то из вас скажет мне, что вы все уже побывали в комнате, и будет прав, то я всех вас выпущу на свободу. А если не прав скормлю всех крокодилам. Если будете молчать, то все побываете в комнате и ни для кого никакое посещение комнаты не станет последним'. Придумайте стратегию, гарантирующую узникам освобождение. (9) Фольклор

Т.Голенищева-Кутузова, И.Ященко 2. Квадратную салфетку сложили пополам, полученный прямоугольник сложили пополам еще раз. Полученный квадрат разрезали ножницами (по прямой). Могла ли салфетка распасться на а) 2; б) 3; в) 4; г) 5 частей? А.Чеботарев 3. Найдите делящееся на 3 и на 4 семизначное число, все цифры которого двойки и тройки, причем двоек больше, чем троек. О.Карпенков 4. Прямоугольник разрезали шестью вертикальными и шестью горизонтальными разрезами на 49 прямоугольников. Оказалось, что периметр каждого из полученных прямоугольников целое число метров. Обязательно ли периметр исходного прямоугольника целое число метров? В.Произволов 5. В честь праздника 1% солдат получили новое обмундирование. Солдат расставили в виде прямоугольника так, что не менее чем в 30% колонн и не менее чем в 40% шеренг есть хотя бы по одному солдату в новом обмундировании. Какое наименьшее число солдат могло быть в полку? Р.Федоров 6. Куб размером 3 ? 3 ? 3 состоит из 27 единичных кубиков. Можно ли побывать в каждом кубике по одному разу, двигаясь следующим образом: из очередного кубика можно пройти в любой кубик, имеющий с данным общую грань, причем запрещено ходить два раза подряд в одном направлении? С.Токарев Избранные задачи старших классов 1. В семье 4 человека. Если Маше удвоят стипендию, общий доход всей семьи возрастет на 5%, если вместо этого маме удвоят зарплату на 15%, если же зарплату удвоят папе на 25%. На сколько процентов возрастет доход всей семьи, если дедушке удвоят пенсию? (8)1 Л.Звавич, А.Чеботарев 2. Придумайте десятизначное число, в записи которого нет нулей и при прибавлении к которому произведения его цифр получается число с таким же произведением цифр. (8) А.Хачатурян 3. Можно ли покрасить некоторые клетки доски 8 ? 8 так, чтобы в любом квадрате 3 ? 3 было ровно 5 закрашенных клеток, а в каждом прямоугольнике 2 ? 4 (вертикальном или горизонтальном) ровно 4 закрашенные клетки? (8) П.Пушкарь
1 В скобках после номера задачи указан класс, в котором она предлагалась.