Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2003/01/22.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:27:15 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:30:22 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: m 13

КВАНT 2003/?1

жня. В начальный момент гантелька ориентирована с севера на юг. На один из шариков начинает действоH вать постоянная сила F , все время направленная на восток. Найдите скорости шариков в тот момент, когда гантелька повернется на 90њ. Найдите также силу натяжения стержня в этот момент. Масса каждого шарика М. Центр масс гантельки движется прямолинейно с ускорением a = F 2M . Кроме того, гантелька неравномерно вращается вокруг своего центра. Угловую скорость вращения можно найти довольно просто. Пусть середина гантельки сместилась к некоторому моменту времени на l, а угол поворота гантельки относительно первоначального положения составил . Полная механическая энергия гантельки, т.е. сумма энергии поступательного движения центра масс и энергии вращательного движения относительно центра масс, определяется работой действующей силы: 1 ж ц Wпост + Wвращ = F з l + L sin ч . 2 и ш С другой стороны, v2 Fl 2al Wпост = 2M = 2M = 2M = Fl , 2 2 2M
M L 2 2 ML2 2 = . ащ 2 4 Отсюда можно выразить угловую скорость вращения гантельки как функцию угла :
2

можно: = 2, 62 Ml 2F , однако это неинтересно. Попробуем посчитать другим способом (но тоже приближенно). Для этого заметим, что при небольших углах поворота проекция действующей силы на касательное к окружности направление получается почти равной F, а в этом случае движение вдоль окружности происходит с неизменным касательным ускорением . Для углов до 0,5 рад так и будем считать (можно взять и другое значение угла, но это очень круглое и не очень большое). Время 1 прохождения этой части пути по кругу находим из соотношения
2 1 = 1 , и 1 = 2

21 ML = 1, 41 . 2F

Кстати, к концу этого интервала угловая скорость достигает 0,7 от максимальной. Дальнейшее движение происходит почти равномерно средняя скорость вращения составляет примерно 0, 7 + 1 2 = 0, 85 от максимальной. Тогда этот интервал времени равен
2 = 2 - 1 1, 57 - 0, 5 ML . = = 1, 26 ср 0, 85max 2F

Wвр

=2

=

2 F si n . ML

Теперь можно найти силу натяжения стержня Т. Удобно перейти в систему отсчета, связанную с центром масс, только нужно учесть, что она неинерциальная. Движется эта система отсчета равноускоренно, так что достаточно добавить две силы инерции на каждый шарик будет действовать добавочная сила f = Ma = =F/2. Каждый шарик в этой системе движется по окружности радиусом L/2, тогда для одного из шариков в проекции на направлении стержня получим F sin L = M 2 . T2 2 Отсюда 3F sin T= . 2
o В условии задачи рассматривается случай = 90 , при этом T = 1,5F. Найти скорость поступательного движения шариков не так просто. Ускорение центра масс нам известно, а вот время 'путешествия' определяется вращательным движением гантельки. При малых значениях угла отклонения все считается легко, но в нашем случае углы большие. Выражение для угловой скорости мы записали, но это функция угла, а не времени, и найти зависимость угла поворота от времени простым способом не получится. Время поворота можно записать в виде несложного интеграла: = т d в пределах изменения угла от 0 до 2 . Но интеграл в нашем случае 'не берется', хотя примерный ответ получить

Всего при таком способе вычислений для времени 'путешествия' получится ML = 1 + 2 = 2, 67 . 2F Видно, что этот грубый способ дает просто превосходную точность. Теперь можно найти скорость центра гантельки к концу интервала и полную скорость каждого шарика в этот момент: 2 FL ж Lц 2 V = a + з ч = 1, 67 . 2M и 2ш З.Рафаилов

Ф1840. Маятник состоит из длинного легкого стержня длиной L, шарнирно закрепленного за один из концов. К другому концу стержня прикреплено велосипедное колесо радиусом R, вся масса которого сосредоточена в его ободе. Колесо может свободно вращаться вокруг своей оси. Стержень отводят на небольшой угол от вертикали и отпускают так, что он может совершать колебания в плоскости, которая перпендикулярна оси колеса. Найдите период таких колебаний. Как изменится этот период, если в оси колеса будет большое трение, не позволяющее ему вращаться?
В том случае, когда колесо может свободно вращаться вокруг своей оси, оно вращаться как раз и не будет (понятно почему?). Тогда маятник ведет себя как математический с периодом колебаний L T0 = 2 . g А вот если закрепить колесо на оси ('с помощью' большого трения), то оно будет поворачиваться вместе с маятником, и период колебаний станет больше. Проведем энергетический расчет. Пусть угловая скорость составляет , тогда полная кинетическая энергия равна сумме энергии центра масс M2 L2 2 и энергии вращения колеса относительно центра масс