Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2003/01/55.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:27:17 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:30:42 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

РЕШЕНИЯ

55

A1 b K A M H a

a

Откуда

a b



B

a D

C

a sin = sin = sin . b Для высоты h = A1H параллелепипеда получим по теореме Пифагора h =
A1 A2 - AH 2 .

Чтобы вычислить AH, примените теорему сиРис. 10 нусов к треугольнику KAM: AH = KM sin . Отрезок KM найдите по теореме косинусов из треугольника KAM:
KM = b 2 cos 1 - cos .

r, центр O которой лежит на прямой BC, проходит через точки A, D. Точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AD, следовательно, на луче DC. Поскольку треугольник OAD равнобедренный, то РDAO = . Из вышесказанного следует > , поэтому точка C лежит на прямой BC между точками D и O. Тогда РCAO = - , следовательно, треугольник ABO подобен треугольнику CAO. Значит, r + BD r = . (* ) r r - CD Далее, по свойству биссектрисы треугольника ABC имеем ac ab BD = , CD = . b +c b +c Подставляя эти выражения для BD и CD в ( * ), получаем

Окончательно, после упрощений получим
h = b 12 c os (1 - c os
2

sin2

)

ac ц ж ab ц ж 2 2 зr + b + cч зr - b + cч = r Ы r c - b и ши ш

(

2

)

= abc .

.

Преобразуем функцию

f=
к виду

2 cos 2 ( 1 - cos sin 2
2

)

abc , где S площадь треугольника 4S ABC, а R радиус описанной окружности, находим r c2 - b2 R= . Теперь, используя данные из условий задачи, 4S получаем ответ: R = 7 3 .

Применяя формулу R =

(

)

ж ц 1 2a 4 a 4a 2 cos ч + - 2. f =з з 2ч b b b з cos ч и ш 2

Ясно, что f ?

a 4a ж 1bз b и b . При при cos2 = 2 2a h вычислить r = . 2

ц , причем равенство достигается лишь ч ш
a = 4 и b = 3 это возможно. Осталось

1. 3. 2. ( 4n + 1) 4 , n Z. 3. 9, -1 + 33 2 . 6. 4/9. 4. 7 . 5. (1; 27). 7. ( a + 1; 0 ) U ( - a - 3; + ? ) при a ? -3 ; ( a + 1; 0) U ( 0; + ) при -3 < a < -2 ; (0; + ) при a = 2; ( - a - 3; a + 1) U ( 0; + ) при -2 < a < -1 ; ( - a - 3; 0 ) U ( a + 1; + ) при a ? -1 . Указание. Поскольку знак выражения sin x + 2x совпадает со знаком x, неравенство равносильно такому:
x ( x - a - 1) ( x + a + 3) > 0 .

Вариант 5

(

)

Вариант 4
1. - 2 . 1 2. [ -1; - 7 / 8] U {} . Указание. Приведите неравенство к виду 1ц ж 1 - x з2 1 + x ч ? 0. и 2ш 29 3. arcc os . Указание. Введите в пространстве прямоу7 19 гольную систему координат, направив оси Ox, Oy и Oz пr uuuuо ребрам AD, AB, AA1 , запишите координаты векторов AC1 и uuuu r KL , после чего воспользуйтесь формулой для скалярного rr rr rЩr произведения a Ч b = a b cos ab . 4. 10 ч 40 мин того же дня. 1 4 ж ц n 5. з + arccos + 2k; ( -1) arcsin + nч , k, n О Z. Указание. 5 5 и ш После замены a = 13 cos x + 98 si n y , b = 13 cos x + 28 sin y система приобретает вид мa - b = 4, п н 2 2 п2b - a - b + 8 = 2 о и легко решается: a = 9, b = 5, после чего без труда находятся cos x и sin y . 6. 7 3 . Обозначим стороны данного треугольника, лежащие против вершин A, B и C, A через a, b и c соответственно (рис 11). Из усло вия задачи следует c > b. Пусть РBAD = РCAD = , РADC = . Тогда РB = - . B Так как c > b, то < 2 . D C O Пусть окружность радиуса Рис. 11

Осталось рассмотреть все возможные случаи расположения точек 0, a + 1 и a 3 на числовой оси и применить в каждом из случаев метод интервалов. 8. 2/3; 4 15 15 .

Вариант 6
1. ( 2n + 1) 10 , ( -1) 15 + n 5 , n О Z. 2. ( -?;1) U ( 3 2 ; 2] . 3. 0; log3/4 ( 1 4) .
n

5. 4, 8, 16; 16, 8, 4. 6. 3 6 4. 7. 1) x О R при -3 < a < -2 ;

(

)

4. 9/2.

(-?;
2)

3 - a 2 + 5a + 6 U 3 + a 2 + 5 a + 6 ; + ?

)(

)

при a ? -3 и a > -2 .
-5 - 1 3 -5 + 1 3 . < a ? -3 ; - 2 ? a < 2 2 8. 6.

Вариант 7

1. 1/4; 1/2. 2. (1; 1). 3. ( -4; -3, 9] U 4; 1 7 . 2n 2m , , n ? 7l , m ? 9l , n, m, l О Z. Указание. Урав4. 7 9 нение преобразуется к виду x 64 cos2 cos2 x cos2 2x = 1 . 2 x После умножения левой и правой частей на sin2 (при 2 2x sin ? 0 ) это уравнение приводится к виду 2 x sin 2 4x = sin 2 , или cos 8 x = cos x . 2 5. 8. Указание. Точка M лежит на меньшей из дуг AB, так

(

)