Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2003/01/57.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:27:17 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:30:43 2012 Кодировка: Windows-1251

ОТВЕТЫ,

УКАЗАНИЯ,

РЕШЕНИЯ

57

в точке A окрашенные точки образуют 2 серии это точки вида x = 30 n и x = 40 k , n, k N. Подсчитайте количество точек первой и второй серий, принадлежащих AB, и вычтите из суммы этих количеств число точек, принадлежащих пересечению двух упомянутых серий. 5 5. а) 3; б) + arccos . Указание. Из подобия треугольников 3 6 PQR и QTR следует, что QT = PR TR и что описанная около треугольника PQT окружность касается в точке Q прямой RQ . При вычислении угла QRP учтите, что RQ и RP могут находиться как по одну сторону от прямой OR, так и по разные стороны от нее. +3++7 +3-+7 ; 6. (0;0), (+2; m2) , + 6; + 6 , 2 2 всего 9 решений. Указание. Сложив и вычтя уравнения системы, получим систему

Указание. Приведите уравнение к виду

(

log 2 sin 3 x + 1) (log 2 c os 2 x + 1) = 0 .

6. 3/ 2 . Пусть f ( x ) и g ( y ) левая и правая части данного неравенства соответственно. Перепишем его в краткой форме:

f (x ) g ( y ) .

(1)

Пусть u = x2 - 6ax + 1 0a 2 , тогда левая часть неравенства принимает вид (u ) = 4 u + 4 3 - u .

(

)

(

)(
) )

)(

)(

)

Так как при u [0; 3] справедливо равенство (u ) = (3 - u ) , то наряду с решением (u; y ) неравенство
(u ) g ( y

2 2 ( x + y ) x - xy + y - 6 = 0, 2 2 ( x - y ) x + xy + y - 4 = 0, равносильную совокупности из четырех систем

( (

x - y = 0, x + y = 0;

x + y = 0, 2 2 x + xy + y = 4;

x2 - xy + y 2 = 6, x - y = 0;

x2 - xy + y 2 = 6, 2 2 x + xy + y = 4.

имеет решение (3 u; y ) . Поэтому необходимым условием единственности решения (2) является требование u = 3 u , или u = 3/ 2 . В свою очередь, уравнение 3 u = 3/ 2 x2 - 6ax + 10a 2 = 0, 2 определяющее зависимость x от данного u, имеет единственное решение при условии, что дискриминант квадратного трехчлена D = -4a 2 + 6 = 0 , т.е. a = + 3/ 2 .

)

(2)

Последняя из четырех равносильна системе
2 2 x + y = 5, 2xy = -2 .

Таким образом, получены необходимые условия единственности решения неравенства (1). Для исследования достаточности покажем сначала, что

(u ) (3/ 2) = 4 24 для u [0; 3 ] .
4 4 4

(3)

Вариант 12

Обозначим p = u 0 , q = 4 3 - u 0 . При этом p + q = 3 . Требуется найти максимальное значение суммы p + q. С помощью неравенств 2p2 q2 p4 + q4 , 2pq p2 + q2 оценим

1. (0;1) U ( / 2; 2 ] . 2. 9 3 + 3 . 5 + 2k , n, k Z. + n , - 3. 6 4 4. (1; 0). 144 5 2 + 7 . Указание. Докажите, 5. а) 232 + 28 8 2 ; б) 7 что радиусы шаров образуют геометрическую прогрессию со

(

)

(

p+q

)4

= p4 + q 4 + 6 p2q2 + 4 pq p2 + q
4

(

2

)



4 p4 + q

(

) + 2(
4

p2 + q

22

)

4 6 p +q

(

4

)

4 + 4 p2q2 8 p + q

(

4

)

= 24.

(

)

2 -1 . 2+1 6. 2. Указание. Cловарный запас людоеда составит через 2 полгода 300 (1 + p /1 0 0 ) , а через год 300 (1 + p /100 ) слов. Месячный прирост словарного запаса Эллочки 150 (1 + p /1 00 ) слов. Из того что все эти числа должны быть целыми, следует, что p = 10k , где k натуральное число. Мы должны найти такое n, при котором неравенство

знаменателем q =

Тогда p + q 24 , причем равенство достигается при p = q = 4 3/ 2 . Отсюда следует искомое неравенство (3). Рассмотрим теперь каждое из найденных значений a. При a = - 3/ 2 правая часть исходного неравенства принимает вид 6 3 3 + y- + y+ 4 24 , g ( y ) = 4 24 - 2 2 2 поскольку, как нетрудно убедиться,
y- 3 3 6 + y+ , 2 2 2

причем

300 (1 + p / 10 0 ) > 30 + 1 5 0 n (1 + p / 10 0 ) выполняется для всех p = 10k , k N. После преобразований получим 2 1 k2 + 20k + 90 k 2 = + 2- n< k + 10 5 55 5k + 50 (функция, стоящая справа, возрастающая). Итак, n 2 .
2

y- 33 при y - ; 22 .

3 3 6 + y+ = 2 2 2

Вариант 13
1 7 5 2. - ;0 U ; . 2 3 2 3. (2; 3), (3; 2), (1; 5) (5; 1). Указание. Выполните замену u = x y, v = xy. 4. 20 рабочих, 6 часов. 5 17 + 2l , + 2k , + 2m , + 2n , k, l, m, n Z. 5. 6 6 18 18

3 3 ; правая часть (2) принимает Так как для всех y - 2 2 4 значение g (y ) = 24 , то неравенство (u ) g ( y ) (а с ним и
неравенство (1)) имеет более одного решения. При a = 3/ 2 выражение g (y

1. Утверждение справедливо.

)

записывается в виде
3 2
4

g ( y ) = 4 24 + 2 y -

24 ,

причем g ( y ) = 4 24 только для y =

3 . В этом случае нера2