Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2003/03/19.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:27:25 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:31:35 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: http www.badastronomy.com phpbb index.php

ЗАДАЧНИК

'КВАНТА'

19

Ф1877. На тороидальном сердечнике с большой магнитной проницаемостью намотана толстым проводом катушка, содержащая большое количество витков. От середины обмотки сделан отвод. Крайние выводы катушки подключили к сети 220 В, а между крайним и средним выводами катушки включили лампу на 110 В мощностью 60 Вт. Найдите токи в каждой из половин обмотки. Кстати, заметим, что такое устройство (катушка с отводом на ферромагнитном сердечнике) называется автотрансформатором. З.Рафаилов

Решения задач М1841М1845, Ф1853Ф1862
М1841. Для натуральных чисел а, b, c докажите равенство НОК НО Д a,b , НОД b, c , НОД c,a =
= НО Д НО К a,b , Н О К b,c , НО К c,a (НОК наименьшее общее кратное, НОД наибольший общий делитель).

Из этого следует, что CB1B = COB , но CB1 B = 1 1 = FB = FOB , т.е. FOC = COB и FOC = 2 2 = COB по двум сторонам и углу между ними. Отсюда следует утверждение задачи: CF = CB. В.Дубов М1843.Имеется неограниченное количество кошельков. Первоначально в одном из них лежит KM монет (K, М натуральные), а остальные кошельки пусты. Затем неоднократно выполняется следующая операция: из каждого кошелька, в котором есть монеты, вынимается по одной монете, и все вынутые монеты складываются в какой-либо пустой кошелек. Через некоторое время в K кошельках оказалось по М монет. При каких K и М такое возможно? Описанную в условии операцию изъятия монет и складывания их в пустой кошелек назовем ходом. Кроме того, введем еще несколько терминов. Тот кошелек, в который в процессе хода складываются вынутые монеты, назовем новым (т.е. после каждого хода новым является ровно один кошелек). Другие непустые кошельки, которые имеются после хода, назовем старыми (ясно, что перед ходом в каждом из старых кошельков было на 1 монету больше, чем после хода). Наконец, кошельки, в которых перед ходом было ровно по одной монете, а после хода, разумеется, ничего не осталось, назовем опустевшими. Рассмотрим ситуацию после любого хода. В новый кошелек попало по одной монете из каждого старого кошелька плюс, возможно, по одной монете из каждого опустевшего кошелька (если таковые были). Следовательно, число монет в новом кошельке не меньше количества старых кошельков. Этот факт (обозначим его Ф1) в дальнейшем будет использован. Итак, пусть после какого-то хода стало K кошельков по М монет в каждом. Один из них, разумеется, новый, а остальные (K 1) старые. Согласно Ф1 должно выполняться неравенство M K - 1 , или K M + 1 . Уже какое-то ограничение! Воспользовавшись им, проверим 'вручную' самые маленькие М, не превышающие 2 в сочетании с допустимыми K для каждого М. 1) Если М = 1, то K = 1 или 2. Рассмотрим оба случая. K = 1. Тогда KM = 1, и первоначально в кошельке одна монета. На первом же ходу она будет переложена в другой кошелек, что соответствует ситуации, описанной в условии (K = 1 кошелек с М = 1 монетой). Таким образом, значения K = 1, М = 1 являются одним из ответов на вопрос задачи. K = 2. Тогда KM = 2, и первоначально в кошельке 2 монеты. После первого хода в двух кошельках станет по одной монете, поэтому значения K = 2, M = 1 являются еще одним ответом. Для удобства запишем этот ход в виде 2 1,1 , и в дальнейшем также будем использовать аналогичные обозначения. 2) Если М = 2, то K = 1, 2 или 3, и KM = 2, 4 или 6 соответственно. Рассмотрим все случаи. K = 1. Тогда KM = 2, и первоначально в кошельке 2 монеты. Здесь 'состояние' кошельков изображается схемой: 2 1,1 2 , т.е. также возникла удовлетворяющая условию ситуация: K = 1 кошелек с М = 2 монетами. Так что имеем третий ответ: K = 1, М = 2. K = 2. Тогда KM = 4, и первоначально в кошельке 4

Решить задачу нетрудно, если хорошо осмыслить для себя понятия наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя. Справедливость заявленного равенства установим, прибегая к каноническому разложению чисел а, b и с на простые сомножители. Произвольное простое число р входит в разложение числа а в степени k, в разложение числа b в степени m, в разложение числа с в степени n, где для определенности 0 k m n . Проанализируем левую часть равенства. Число НОД (a, b ) содержит в своем разложении простое р в степени k, число НОД (b, c ) в степени m, число НОД (c, a ) в степени k. Значит, левая часть равенства в каноническом разложении содержит сомножитель p m. Проанализируем правую часть равенства. Число НОК ( a, b ) содержит в своем разложении простое р в степени m, число НОК (b, c ) в степени n, число НОК ( c, a ) в степени n. Значит, правая часть равенства, как и левая, содержит в каноническом разложении сомножитель p m . Это означает, что всякое простое число входит сомножителем в левую часть в той же степени, в какой оно входит и в правую, т.е. равенство доказано. В.Произволов

М1842.Вершины А и В треугольника АВС лежат на окружности с центром О. Точки С и О находятся по одну сторону от АВ. Поворотом треугольника АВС около центра О получен треугольник A1B1C1 , причем луч BC1 проходит через 1 F A вершину С и пересекает B окружность в точке F. Докажите, что CF = CB. C
O C A




B



Так как OB1 A1 = O AB , то OB1 A1 = A BO , но и C1B1 A1 = CBA (см. рисунок). Значит, OB1C1 = = CBO и около четырехугольника BOCB мож1 но описать окружность.