Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://kvant.mccme.ru/pdf/2003/03/49.pdf Дата изменения: Fri Dec 23 19:27:27 2005 Дата индексирования: Tue Oct 2 00:31:51 2012 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban

ОЛИМПИАДЫ

"'

= 0 . Распределение потенциала на участке 0 ? x ? d 4 будет иметь вид

x =

2E x. d

В интервале d 4 ? x ? 3d 4 потенциал остается постоянным и равным E 2 . На третьем участке
x = 2E ж 2x ц - 1ч . x -E = Eз d иd ш

Соответствующий график представлен на рисунке 8,б.
Упражнения 1. Металлический шар радиусом R1 , несущий заряд Q, окружен расположенным концентрически полым металлическим незаряженным шаром с внутренним радиусом R2 и внешним R3 . Найдите потенциалы шаров, если в бесконечности потенциал равен нулю. Как изменятся потенциалы шаров, если внешний шар заземлить?

2. Найдите распределение потенциала в плоском конденсаторе с расстоянием между пластинами d, если одна обкладка заземлена, другая находится при потенциале 0 , а в пространстве между ними распределен заряд с постоянной объемной плотностью . 3. Три одинаковых одноименно заряженных шарика, каждый с зарядом q и массой m, связаны нерастяжимыми нитями длиной a каждая. Все шарики неподвижны и расположены на гладкой горизонтальной поверхности. Одна из нитей пережигается. Какие скорости будут иметь шарики в тот момент, когда они будут располагаться на одной прямой? Радиус шариков мал по сравнению с длиной нити. 4. Металлический шар радиусом R1 , заряженный до потенциала 1 , симметрично окружен тонкостенной проводящей незаряженной сферой радиусом R2 . Чему будет равен потенциал шара в двух случаях: а) если заземлить сферу; б) если закоротить шар и сферу (соединить проводником)?

ОЛИМПИАДЫ

Избранные задачи Санкт-Петербургской математической олимпиады
Районный тур
1. Имеется 21 карточка с числами: 4 карточки с единицей, 2 карточки с двойкой, 7 карточек с тройкой и 8 с четверкой. Костя сложил из двадцати карточек прямоугольник 4 Ч 5 . Суммы чисел во всех вертикальных рядах этого прямоугольника равны между собой. Суммы чисел во всех горизонтальных рядах тоже равны между собой. Какая карточка осталась у Кости? (6)1 К.Кохась 2. a) палочки палочек палочки У ослика Иа-Иа есть 100 палочек. Длина каждой 1 или 3 см. Докажите, что Иа-Иа может из всех сложить прямоугольник, сломав не более одной (на две части). (6) К.Кохась 3. Докажите, что если ABCD выпуклый четыCBD = рехугольник, ACD = = CAB и = BDA (рис.1), то ABC = ADC . (8) Ф.Бахарев

*

+

,

б) У ослика Иа-Иа есть 100 палочек. Докажите, что сломав не более двух из них (каждую на две части), он может из всех палочек сложить прямоугольник. (9) К. Кохась в) Конструктор состоит из палочек длиной 8 или 9 см. Сумма их длин равна 18 м. В конструкторе есть палочки обоих типов. Докажите, что из всех этих палочек можно сложить равносторонний восьмиугольник. (10) Д. Карпов, А. Пастор
1 В скобках после условия задачи указан класс, которому она предлагалась.

4. На какое наибольшее количество нулей может ) оканчиваться произведение Рис. 1 трех натуральных чисел, сумма которых равна 407? (8) С.Берлов 5. При проверке диктанта оказалось, что грубые ошибки составляют более четверти всех ошибок. Если бы каждый ученик сделал в 3 раза больше грубых ошибок и на 2 больше негрубых, то число грубых ошибок стало бы ровно в 5 раз меньше числа негрубых. Докажите, что по крайней мере треть класса написала диктант безошибочно. (8) К.Кохась 6. В ряд выписали 40 разных положительных чисел, каждое из которых меньше 1. Сумма чисел, стоящих на местах с четными номерами, на 1 больше суммы чисел, стоящих на местах с нечетными номерами. Докажите, что в ряду найдется число, которое меньше обоих своих соседей. (8) С.Иванов 7. На сторонах AB и AC треугольника ABC выбраны точки K и L соответственно. Отрезки BL и CK пересекаются в точке