Разделы

• 5.1 Разложение гравитационного потенциала в ряд Лапласа
• 5.2 Посточнные Стокса
• 5.3 Механический смысл стоксовых постоянных
• 5.4 Потенциал тяжести
• 5.5 Пределы Пуанкаре и Крудели для угловой скорости вращения. Фигуры равновесия

Лекция 5. Аналитическое представление гравитационного потенциала

Производящая функция полиномов Лежандра. Разложение потенциала притяжения в ряд по шаровым функциям. Стоксовы постоянные. Гравитационный потенциал тела вращения. Потенциал тяжести.

5.1 Разложение гравитационного потенциала в ряд Лапласа

Напомним, что под потенциалом какой либо силы, в том числе и силы тяжести мы будем понимать силовую функцию. Для начала остановимся на потенциале сил притяжения, который чаще всего называют гравитационным потенциалом. Пусть элемент массы dm находится в точке Q , а точка P(x,y,z) с фиксированными координатами находится вне притягивающего тела. Радиус-вектор, соединяющий точки Р и Q, будем обозначать через , а радиус-векторы этих точек соответственно через и . Угол между этими векторами будем обозначать через . Если точка О -- начало координат, то из треугольника ОРQ следует

Потенциал притяжения тела в точке имеет вид

(5.1)

где -- элемент объема, -- плотность. Вынесем из-под знака корня величину , получим

Под знаком интеграла стоит производящая функция полиномов Лежандра (см. формулу (4.1)), поэтому

где -- полином Лежандра степени .

Теперь потенциал притяжения в точке принимает вид

(5.2)

Каждое отдельное слагаемое полученной формулы есть функция Лапласа для потенциала притяжения во внешней точке. Обозначив ее через , получим

(5.3)

Теперь ряд Лапласа можно записать так

(5.4)

Функции Лапласа, как следует из формулы (5.3), зависят от распределения плотности внутри притягивающего тела. Приведенный интеграл есть постоянная величина, которая, в свою очередь, определяется с помощью так называемых постоянных Стокса, или, стоксовых постоянных.

5.2 Посточнные Стокса

Постоянной Стокса называется величина, которая определяется следующим образом

(5.5)

Вернемся к формуле (5.3). Воспользуемся формулой сложения гармонических функций (4.19). Ее, очевидно, можно переписать следующим образом

Следовательно

(5.6)

Функции текущих (штрихованных) координат и являются гармоническими, так как они принадлежат к шаровым функциям первого типа. Следовательно, по определению (5.5) интегралы вида и являются стоксовыми постоянными.

Введем обозначения

(5.7)

Здесь, как несколько позже убедимся, М -- масса тела, а -- постоянная, имеющая размерность длины, а и безразмерные постоянные Стокса.

Теперь функцию Лапласа для потенциала притяжения во внешней точке

Можно представить следующим образом

(5.8)

Суммируя по всем , получим искомое разложение потенциала притяжения в ряд Лапласа

(5.9)

Все рассуждения мы провели для нормированных функций, отмечая их чертой сверху. Однако эти же рассуждения справедливы и для ненормированных функций. В этом случае постоянные Стокса будут иметь несколько иной вид. Опуская выкладки, приведем лишь окончательную формулу

(5.10)

где при и при .

5.3 Механический смысл стоксовых постоянных

Рассмотрим сначала случай, когда . Тогда и , так как эта переменная изменяется от нуля до . Поскольку гармоника также равна нулю, остается определить только . Из формулы (5.10) следует

(5.11)

Рассмотрим теперь случай, когда . Теперь мы должны определить четыре стоксовых постоянных: , , , . Обращаясь к формуле (5.10), получим

(5.12)

(5.13)

Для того, чтобы выполнить интегрирование, нужно перейти к декартовым координатам

(5.14)

По определению сферических гармоник имеет место равенство

(5.15)

При имеем , поэтому

Из теоретической механики известно, что координаты центра масс тела определяются следующим образом

(5.16)

Итак, шаровая функция первой степени, которую представляет собой функция Лапласа первой степени, определяет центр масс притягивающего тела. Определим теперь функцию Лапласа второй степени. Из формулы (5.7) следует

Снова перейдем к декартовым координатам

(5.17)

Следуя правилам теоретической механики, выполним интегрирование. Будем использовать традиционные обозначения для моментов массы второго порядка -- моментов инерции

(5.18)

Для того, чтобы привести формулу для коэффициентов к окончательному виду, заметим, что

Следовательно, матрицу, составленную из коэффициентов разложения потенциала притяжения для шаровой функции второй степени, можно представить в виде

(5.19)

Вернемся к формуле представления гравитационного потенциала рядом Лапласа. Определяя стоксовы постоянные через ненормированные шаровые функции, формула (5.9) будет иметь тот же вид, за исключением того, что стоксовы постоянные и сферические функции "потеряют" черту сверху

(5.20)

1. начало координат совпадает с центром масс,
2. направление осей совпадают с главными осями инерции.

При выполнении этих условий функция Лапласа первой степени будет равна нулю, то есть . Кроме того, будут равны нулю и произведения инерции , , . Следовательно, , а

Теперь формула (5.20) принимает вид

(5.21)

Полученная формула говорит о том, что потенциал притяжения в точке зависит как от расстояния рассматриваемой точки от начала координат, так и сферических координат: полярного расстояния и долготы. Однако отдельные сферические гармоники могут зависеть только от широты, например, при , в этом случае гармоники называют зональными. Поверхность сферы в этом случае оказывается разбитой на зоны -- сферические пояса.

Второй крайний случай возникает при . Обратимся к формуле (5.15). В этом случае она приобретает вид

Нетрудно понять, что знак сферическая гармоника может менять при определенных значениях долготы, так как -ая производная полинома