Äîêóìåíò âçÿò èç êýøà ïîèñêîâîé ìàøèíû. Àäðåñ îðèãèíàëüíîãî äîêóìåíòà : http://lnfm1.sai.msu.ru/~rastor/Study/Nagirner_Electrodynamics.pdf Äàòà èçìåíåíèÿ: Mon Dec 28 15:01:46 2009 Äàòà èíäåêñèðîâàíèÿ: Mon Oct 1 23:04:07 2012 Êîäèðîâêà: ISO8859-5 Ïîèñêîâûå ñëîâà: ÷ íí

Ê

Ê

?





? É 

?

ÎÌÌ




ÍÊ



ÍÊ

ÿ ÍÊ
ÍÊ È É
q
Ê

Ä

ÅÈ

È

È Ê

È

È

Ä

ÅÈ

É

Ê Ê

(r , t) = q (r - r0 (t)),

ÄÍÅ È

Ê

È ÄÎÅ È Ê É

Ê

È È

(r , t) = (r , t) r (t) = q (r - r0 (t)) r (t). 0 0

+ div = 0. t

ÄÏÅ ÅÊ
VÈ

È
dq = 0, dt q=
V

Ä

È

É

(r , t)d3 r,

ÄÅ

Ê

È È È ÍÈ ÏÊ Ä È
Ê

È Ê

Å

È

qÊ

Ê

É É

ÎÊ Ê
q0 È

E

HÊ

Ä È
Fe = q0 E ,

Å

È

Fe Ê

È ÄÅ

?

È
q0 È q

Ê

ÄÍ

Ä

Å

Ê ÛÅ

È

È

È

Fe = r

q0 q r , r2 r r = |r |

E=

qr , r2 r

ÄÅ È q q0 > 0 È È
1

É
1 Ç

È È Ë 2Ê Ä

È È

Ê

È

q q0 < 0 È Ê

Û

È

Í


?

4.8 Ç 10

-10

È Ê

Å [q ] = [r] Ç [F ]1/2 = Ê q0 Fm È

ÄÇ È

Ë

2 1/2

Å

1/2

3/2 -1

Ê È
vÈ


Fm = q0 v ç H, c

ÄÅ Ê Ä È ÄÅ Ê Ê



c = 3 Ç 10 ÄÅ ÄÅ

10

Ë

È

ÅÈ

È [E ] = [H ] = È
F = q0 E +

1/2

-1/2

-1

Ê

q0 v ç H. c

È ÏÊ
Ê

È

Ê

È

Ñ. ÑÑ. ÑÑÑ. ÑÞ. Ê
Ê

div H = 0. 1 H . c t div E = 4 . rot E = - rot H = 4 1 E + . c t c

ÄÅ ÄÍÌÅ ÄÍÍÅ ÄÍÎÅ

VÈ

ÑÑÑÊ
E n d2 = 4
V

div E d3 r =
V

d3 r = 4 Q.

ÄÍÏÅ
VÊ



n ÄÍ

ÌÅÊ

ÈQ Ê
4 R 2 È E= qR . R2 R

È È È

Q = qÊ

ÄÍ Å ÑÑÑ È Ê É Ê É

È È
LÈ

Ñ È

È

È

È

Ê ÑÑ
1 d , c dt

È È

Ê Ê



Ê

È

rot E n d2 =
L

E l ds = -

=


H n d2 .

ÄÍ Å É È

l

È

ÄÍ ÏÍÅ

È Ê

Èn

Ê

È È

ÄÍ Å

Ê Î


Å

ÑÞ Ä
rot H nd2 =
L

L H lds = 4 c


nd2 .

ÄÍ Å È Ê
RÈ

È îÈ R, l = (- sin , cos , 0)È n = ez = (0, 0, 1)È

É

È

È

H

È

È

s=

(r ) = I (x) (y )ez ,

H (r ) = H l,

H=

2I . cR VÈ

ÄÍ Å É ÄÍ Å

?
H (r ) =

ÄÍ Î ÅÊ È
1 rot c
V

(r )

d3 r 1 = |r - r | c

(r ) ç
V

r -r 3 d r. |r - r |3

Ê È ÄÏÅÊ È Ê
Ê

 È Ê È È È È ÑÑÑÈ Ê

ÄÍ ÎÌÅÊ È È È È È É Ê É È È

È

divÈ

Ê
+ div , t

ÑÞ

div rot H = 0 =

4 4 1 div E + div = c t c c

ÄÍ Å È

Ê È È

Ê Ê Ä Ê

È È Ê È

ÅÈ

Ä

Ê É

Ê

Ê È

Ê È

Ê

Å Ê Ê

È

È È Ê È É ÑÑÑ È Ê È ÑÑ

Ê

È Ê

È Ä Å È È È Í Ê? Ê

É Ê

È

Ê È

Ê? ÑÞÈ
E



È

ÄÍ ÅÊ ÌÉ

É

Ï


È È È

È Ê

ÊÊ Ê Ê

Ê? Ê

È È Ê

ÿ ÎÊ
ÍÊ Ä È
Ê

ÅÈ

Å

È È È Ê È È Ê È È ÄmicroÅ Ê È È Ê È

Ä Ê

È Ê?



Ê?

ÄÉ Å È É Ê É

Ê È È

È Ê È Ê

È



É É Ê? É

ÎÈ Ê Ê Ä È Ê ÄpolÅÊ È Ê

È È

ÄexÅÊ È

Å

É Ä È È

Ê

ÅÊ ? ÄmÅ

ÄcÅÊ

È È



m i c ro

=

ex

+

p ol

,

m i c ro

=

ex

+

p ol

+ c + m .

ÄÎÌÅ

e x + div t

ex

= 0,

pol + div t

p ol

= 0, div c = 0, div m = 0.

ÄÎÍÅ Ê Ê

È ÎÊ

Ê
Ê

È
= E, H = B.

È

á æã
Em
i c ro m i c ro

È

É É ÄÎÎÅ

È

È

Ê
1 B . c t

È

div B = 0, rot E = -

ÄÎÏÅ

div E = 4 (

ex

+

p ol

), rot B =

4 1 E + ( c t c

ex

+

p ol

+ c + m ).

ÄÎ Å


?

È

Ê ÄÎÏÅ ÄÎ Å

È

Ê

È È
E B

È Ä ÅÈ ÄÍÌÅÈ ÄÍÍÅÈ ÄÍÎÅ Ê ÅÊ È

ÏÊ ?

?



Ê

Ä
P , t

È
p ol



p ol

=

= - div P .

ÄÎ Å ÄÎ Å ÄÎ Å ÄÎ Å Ê È É ÄÎ Å ÄÎ Å

ÄÎ ÅÈ

È
D = E + 4 P , div D = 4 ex .

Ê

?

?

D

Ê
m = c r o t M .

H = B - 4 M , 1 D 4 + ( c t c

ÄÎ Å

rot H =

ex

+ c ).

ÄÏÌÅ Ê Ê È

p ol

?

?

È
HÊ

Û È


È

É
m È P



Ê

È Ê

MÈ D

ÿ ÏÊ
È Ê ÍÅ È ÍÊ Ê?
, Å



Ê

Ä È ÊÅ

Ê È Ê È Ê É

É Å

Å

ÊÅ

Ê ÎÅ È

Ê ÊÅ

Ê ÏÅ

Ê É ÄÏÍÅ

D = E , B = ÅH , c = E ,

Ê È

Ê
Å

È Ê Ê É Ê

Å < 1È

È


? Äc = 0ÅÈ Ê Ê Ê È

Ê



Ê

0È

É
D = E, B = H È

È È È È

= Å = 1, = 0Ê

È Ê

É

È

È

Ê

É

Ê

Dx = xx Ex + xy Ey + xz Ez

ÄÏÎÅ Ê? Ä ÅÊ Ê

Ê? Ê Ï È

Ä È Ê È Ê? È È

ÅÈ

É

Ê È

È

Í

Î

Ê

È Ê È

È

Ä

Ê

Å

Ê?

É Ê É

ÿÊ
? È
1 B , c t 1 D 4 4 + c + e x . c t c c E 4 4 c - c c
ex

Ê

rot E = -

rot H = H

ÄÏÏÅ Ê
.

1 D 1 B H rot E - E rot H = - E -H -E c t c t

ÄÏ Å Ê È ÄÏ Å

?
w= 1 c E ç H. ( E 2 + Å H 2 ), S = 8 4

È
div(A ç B ) = B (rot A) - A(rot B ),

ÄÏ Å

ÄÏ Å

c/ 4 w + div S = -E t
ex

- E2.

ÄÏ Å Ê
w S

È È ÄÏ Å È

Ä

Å

Ê È

Ê Ê

Ê


?

É

Ê
V d dt
V

È ÄÏ Å
wd3 r = -
V

È

È

div S d3 r -
V

(E

ex

+ E 2 )d3 r.

ÄÏ Å

V dW =- dt


WÈ n S d2 -
V

(E

ex

+ E 2 )d3 r.

ÄÏ Å



ÄÏ Å È ÄÏ Å È Ê È È
RÈ

Ê Ê È È È È
S

Ê Ê È
4 R 2 S Ê R È

È

È Ê Ê
1/R 2 Ê

È È È

S 1/R 2 È

È

Ê Ê

È

Ê?

È

È

ÿÊ
ÍÊ ?
Ê

È Ê Ê

Ê

È È È

= 0È

Ê?

div B = 0, rot E = -

1 B 1 D 4 , div D = 4 , rot H = + . c t c t c

Ä ÌÅ

?
D = E , B = ÅH , E div B = 0, rot E = - BÊ

Ä ÍÅ Ä ÌÅ Ä ÎÅ

4 Å E 4 Å 1 B , div E = , r o t B = + . c t c t c

È
B = rot A .

Ä ÏÅ
B = 0.

Ê
rot E + 1 A c t

ÄÅ

È
E=- 1 A - grad . c t

ÄÅ


? ÎÊ È Ê È
Ê

Ê Ê È Ä Ê È

Ê È È

È É É ÄÅ Ä éÅ Ê Ê

Ä ÏÅ

Å

A = A - grad , = +

1 . c t

?

È





È
Å + div A = 0. c t

ÄÅ È

È
Å + div A = b(r , t) = 0. c t

ÄÅ

ÄÅ

ÄÅ



È

Å 2 - = b(r , t), c 2 t2

ÄÅ Å Ê Ê Å Ê? Ê




È Ê È Ä ÅÊ ÏÊ Ä ÏÅ Ä Å

Ä ÅÈ È



b(r , t) Ä

Ä Ä Å

È

É É È

ÄÅ

È

Ê

Ä

ÅÈ

È

Ê

4 4 Å Å 2 A Å 2 - = - A = , 2 . 2 t2 2 c c t c

Ä ÌÅ Ä ÍÅ

?
v2 =

c2 c , v= . Å Å 1 2 - , v 2 t2

Ê?
=

Ä ÎÅ Ê

=

4 ,

A=

4 Å . c

Ä ÏÅ È Ê È È É

È È È

Ä Ê

ÅÊ

Ê Ä ÏÅÈ



Ê

È
= 4 f (r, t).

Ê ÄÅ




(t, r ) = 4 v
-

dt

1

d3 r1 f (t1 , r1 )G(t - t1 , r - r1 ).

ÄÅ Ä Å Ä ÅÅ ÄÅ
v

G(t - t1 , r - r1 )

Ä
G(t - t1 , r - r1 ) = 1 (t - t1 ) (r - r1 ) v v tÈ

È





Ä

ÅÊ È

È t1 = 0, r1 = 0È

Ê ÄÅ

1 1 2 - G(t, r ) = (t) (r ). v 2 t2 v


G(t, r ) = 1 (2 )4 ~ G(ö0 , ö)e
-i(ö0 v t-ör)

dö0 d3 ö,

ÄÅ

~ G(ö0 , ö) = v
-

dt

d3 re

i(ö0 v t-ör )

G(t, r ).

ÄÅ



É
v (t) = 2


e
-

-iö0 v t

dö0 ,

(r ) =

1 (2 )3

d3 öe

iör

.

Ä ÌÅ  Ä ÍÅ

Ä ÅÈ
~ (ö2 - ö2 )G(ö0 , ö) = 1. 0

Ê Ê
ö
0

Ê

Ê  ÄÅ È


ö

0

ö2 - ö2 È 0

Ê

Ä

Ê Í ÅÊ

È

É Ê

1 G(t, r ) = (2 )4

d öe

3

iö r -

dö0 e ö2 - (ö0 + i 0)2


-iö0 v t

=

1 (2 )4

d3 öe

iö r

I0 (ö, t)

Ä ÎÅ

I0 (ö, t) =
-

dö0 e ö - (ö0 + i 0)2
2

-iö0 v t

.

Ä ÏÅ

t > 0È ö0 Ä t>0 ö0 = ÁöÊ t<0

È

Ä

Ê

È Ê?
R

ÊÍ Å ö0 -iÅ È È

Ê?

R t>0 1 e 2ö0
-iö0 v t

I0 (ö, t) = (-2 i) -

ö 0 =- ö

-

1 e 2ö0

-iö0 v t

ö 0 =ö

=

2 sin(öv t). ö

ÄÅ

I0 (ö, t) =

1 + sgn(t) sin(öv t) 2 . 2 ö

ÄÅ


ö

0

ö

0

-ö

.

ö

.

-ö

.

ö

.

R

Ê ÍÊ Ä ÎÅ
d3 ö e ö = 2 r
iö r

Ê
1




Ä
ödö sin(öv t)
0

Å
iör

sin(ö v t) = 2
0

ödö sin(öv t)
-1

e

iö r

d = 2

e

-e i ör

-iör

=

dö 2 sin(öv t) sin(ör) =
0

2 r

0

dö[cos ö (v t - r) - cos ö(v t + r)] = tÈ

2 2 [ (v t - r) - (v t + r)]. r

ÄÅ Ê ÄÅ






G(r ) =

É

1 2 2 1 2 (v t - r) = (v t - r). 4 (2 ) r 4 r



Ê

Ê

Ä

Å
(r ) = 4 v

Ä


ÅÈ

ÄÅ

dt

1

d3 r1 f (t1 , r1 )

-

1 (v (t - t1 ) - |r - r1 |). 4 |r - r1 |

?

É

È
(r , t) = d3 r1 (r 1 ). |r - r1 |

ÄÅ È Ê ÄÍ ÅÊ Ä ÌÅ

È

È Ê

f q q (r ) = , r

Ê

Ä È Ê Ê Ä ÍÅ Ê È

È

ÅÊ

È
t1 È r v (t - t1 ) = |r - r1 |.

È
tÊ  t

É
1

Ä ÍÅ
vÈ



È

È Ê

Ê

É Ê  ÏÊ

È

ÍÌ




ÎÊ

ÿ ÍÊ
ÍÊ ÍÍ Ê Ê È Ê
Ê

?Í Ì

?

È

È

Ä È È



Å

É

È È È

È ?Ê

Ê Ê

Ê È

È

Ê

É É

È Ê  È

È Ê È

Ê

È È Ê È È Ê Ê È É È Ê È

É É É É É É É È È Ê È Ä É

È

È

? È

È Ê  Ê

È

È

È È

È È

ÅÊ ? È

Ä È

È

Ê Ê È Ê È
r = (x, y , z )È

È

ÊÊ ÎÊ È
Ê

É È É
tÊ

È
x, y , z , t Ê?

È

Ê ÊÅÈ

È È È È

Ê? È Ä
r = { c t, r } Ê

È Ê? Ê? ÅÈ È È Ê É Ê? Ê

È É Å

Ê É É Ê

?

Ê r = {c (t2 - t1 ), (r2 - r1 )} Ä È

È

È
s
2 12

= c2 (t1 - t2 )2 - (r1 - r2 )2 . s 2 = c 2 t2 - r 2 . ds2 = c2 dt2 - dr 2 .

ÄÍÅ ÄÎÅ ÄÏÅ

?

È

ÍÍ


È ? Ê Ê ÏÊ

È È < 0È

È

Ê Ê Ê

Ê Ê
s
2 12

È
Ê

Ès

2 12

Ê Ê

> 0È s22 = 0È 1

Ê È È É É Ê?
VÊ

È È Ê Ê È Ä Ê ÎÅÊ Ê
z


È È È È Ê Ê È È

È È

È È
r , tÈ

È

È

É É È

È

V z x


y



y x

Ê ÎÊ È
Vr c2

Ê È É
V . V

t =

t-

,

r = r - V t + ( - 1) 1 1 - V 2 /c
2

r

V V

ÄÅ

=

ÄÅ Ê Ä È ÄÅ É È È Ê
V çr . V

ÅÊ Ê È È
t

È Ê Ê
c tÊ

È È

È Ê ?Ê

É
t È

È ÄÅ

È

É

c t = c t -

V r, c

r = (r - V t) + ( - 1)

V ç V

ÄÅ

ÍÎ


V

-V È Ê

Ê È È È È Ê

Ê È Ê

É

Ê

V = V (0, 0, 1)Ê

È

È

c t = (c t - V z ), x = x, y = y , z = (z - V t). V t = t, r = r - V t.

ÄÅ
1

ÄÅ

È

Ê

V cÈ

ÄÅ Ê È É

È È x4 = ict È Ê Ê?

 Ê

È

È È È
x4

È

É É Ê

È

ÿ ÎÊ
ÍÊ
Ê


É
t r

Ê È Ê
r r V = , V = < c, t t ct , s

É

Ê? s 2 = c 2 t2 - r 2 > 0 È

=

ÄÅ

ÄÅÄÅ
t = ct s t- r2 c2 t s =, c r = ct s r r- t t = 0.

ÄÍÌÅ

È

È

È È Ê

Ê

s = c t È

È

È

r 0 È t


Ê Ê

Ê Ê

s2 < 0 Ê ct < c, r r . = - s2

È

V =c

ct r , rr

V =c

ÄÍÍÅ

t = (t - t) = 0,

r =

r-c

ct r t rr

r r2 (r - c2 t2 ) = r = 2 r2 -s

-s2 /r. s2 = -(r )2 Ê

ÄÍÎÅ

?

Ê

Ê?

È

Ê È Ê

È

È

È È

É

É

ÍÏ


ct

z

Ê ÏÊ ÊÏ c tÈ Ä ? Ê ÎÊ r
Ê

É È

Ê

Å

Ä

Ê ÊÏ
t

Ê

È È È È

É ÅÊ É

Ê?

1

= r 2Ê

È
Vr c2
1

Ê?
Vr c2
2

t1 = t + 1

,

t2 = t + 2

.

ÄÍÏÅ

È
t2 - t1 = (t - t ). 1 2

ÄÍ Å È Ê Ä È Ê ÅÈ È Ê È È Ê

È È È È Ê È

È È É
c2 dt2 - (dr )2 = c2 dt
2

Ê
v2 c2

Ê È

1-

= c2 d 2 ,

ÄÍ Å ÈÅ



È
d = dt = dt 1-

Ä vÈ
v2 < dt. c2

È

ÄÍ Å
= (1 - v 2 /c2 )-

Ê Ê

È

Ê

È

V v = dr /dt

1/2

È È È

È

È É Ê

É

Í


ÏÊ

Ê

Ê
r = (r1 - V t1 ) + ( - 1) 1 t1 = t2 È V ç (r2 - r1 ) V V + V V (r2 - r1 ) V V . V V ç V V ç r1 V , r = (r2 - V t2 ) + ( - 1) 2 V ç V V ç r2 V -1 Ä r -r = 2 1 .

ÄÍ Å
- 1Å

ç

ÄÍ Å

Ä
r2 - r1 = V ç (r2 - r1 ) V ç V + V V (r2 - r1 ) V V , V

Å ÄÍ Å È Ê È Ê î Ê? Ê È È Ê Ê É È

È ? È Ê È
V = (0, 0, V )Ê V

È Ê È

È
-V Ê

È

l0 = z 2 - z

1

È


t 2 = t1 Ê

Ä
d3 r0

È

Ê Å

Ê?

l = z1 - z1 È l 0 = l Ê

Ê?

È

È È É

È È È

Ê

È

Ê È Ê

Ê

È

È
d3 r0 = d3 r.

ÄÎÌÅ

Ê

Ê


dr = (dr + V dt ) + ( - 1) V ç V V ç dr V


, dt = dt +

V dr c2



,

ÄÎÍÅ
dr /dt = v

dr /dt = v







È
v + V + ( - 1)V ç (V ç v )/V 1 + V v /c V
2 2

dt Ê

È

v= v VÈ v


.

ÄÎÎÅ É

Ê

È È Ê

Ê
v v



ÄÎÎÅ

È

É

Ê

È ÄÎÎÅÊ È È

È

Í


Ê

ÄÎÎÅ
v + V , 1 + v V / c2

È

È

v= v, v V v = c Ç th , v = c Ç th


ÄÎÏÅ È Ê



È V = c Ç th 0 È

È

ÄÎÏÅ

th =

th + th 0 = th( + 0 ). 1 + th th 0

ÄÎ Å É


v = V + v / . V 2 / c2 Ê

Ätg = i th(i)Ê v VÈ Ê

ÄÎ Å

ÿ ÏÊ
ÍÊ
Ê

Ê È ÅÊ È Ä
s

È Ê Ê È È

È

2

ÅÈ Ê

È d4 r = cdt d3 r Ä È

Ä ÅÈ

Ê È Ä ÅÊ

É ÅÈ

Ä Ê?

Ê?

Ä
d4 r/cÅÊ

d = dt/
Ê

Å d3 r0 = d3 r Ä

È

È

ÎÊ

?

? É È Ì È Ä Å ÅÅ È È

Ê? Ê

È

Ê?
0, 1, 2, 3

È

È

É É É

È

È

a = {aÅ } = {a0 , aj } = {a0 , a}, Å = 0, 1, 2, 3, j = 1, 2, 3, a = (a1 , a2 , a3 ) = (aj ) = (ax , ay , az ).

ÄÎ Å È ÄÎ Å

Ä

È È

Å

a = (a0 - a Ç V /c), a = a - a0 V /c + ( - 1)(V Ç a)V /V 2 . 0

È
a = (a0 - a Ç V /c), a = (a - a0 V /c) + ( - 1)V ç (V ç a)/V 2 . 0

ÄÎ Å È É Ê

Ê

Ä

Å Í

È


e

2

e (e2 Ç a)e

2

2

ae

2

2

a
1

a

a1 e ÊÊ e
1

(e1 Ç a)e

1

e

1

È È
Ê

Ê É É Ê

aÅ È Å = 0 , 1 , 2 , 3 Ê

Ê È È ÅÊ

ÏÊ

È
e
1

e

2

È e1 Ç e2 = cos .

Ä

ÄÎ Å Ê

a

Ä

Ê

ÅÈ
a = a1 e 1 + a2 e 2 .

ÄÏÌÅ Å Ä Ê Å É ÄÏÍÅ

Ê

Ä

a1 = a Ç e1 = a1 + a2 cos ,

a2 = a Ç e 2 = a 1 c o s + a 2 .

È
a2 = (a1 )2 + (a2 )2 + 2 cos a1 a2 = a1 a1 + a2 a2 = g m, n = 1 , 2 g
11 mn


am an ,

ÄÏÎÅ

È
22

=g

= 1, g

12

=g

21

= cos .

ÄÏÏÅ

È Ê
g { aÅ } È Å = 0 , 1 , 2 , 3 È È

= /2È Ê

co s = 0 È
Ê

È
00

É
= -g = 1, aÈ

= -g

11

Ê

= -g

22

33

ÄÏ Å É É

a 0 = a0 , ak = - a k , k = 1 , 2 , 3 Ê È a = {a0 , a}È
Ê

È

È Ê È

Ê? Ê

È È

È

Ê

a = { a Å } = { a 0 , a}

b = {bÅ } = {b0 , b} a b = a0 b 0 - a b ,

È
a2 = a2 - a 2 , 0 b2 = b2 - b 2 . 0

Ê ÄÏ Å

Í


Ä

Å

a b = aÅ b Å = aÅ b Å = g È

Å

aÅ b È

É ÄÏ Å È È È È È Ê
a2 > 0È

a b = a0 b0 + a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 = a0 b0 - (ax bx + ay by + az bz ),

ÄÏ ÅÊ È É Ê
a

ÄÏ Å È

Ê È
a2 < 0 È

È

È



È

?

È È

Ê a2 = 0 È

É

Ê

È
Ê

Ê

Ê ÍÅ r 2 = s2 Ê Ê

r = { c t, r } Ê

Ä

Ê



Å

dr = {cdt, dr}È

È

È ÄÏ Å Ê

(dr )2 = ds2 = c2 dt2 - dr 2 .

Ê? ÎÅ È È
= 1 , - . c t

ÄÏ Å È ÄÏ Å

È

Ê

È
+ dr = d t

É

dr = dt

ÄÏ Å È Ê? Ê Ä ÌÅ
, , , x0 x1 x2 x3

È



È

È

È
2 = 1 2 -= c 2 t2 {Å } =

Ê
, , , Ê x0 x1 x2 x3

{Å } =

ÿÊ
ÍÊ È ÅÊ
Ê

È
v=

É È
v=

Ä

Ê È

Å

dr dt È

È

Ä

È

d dr = { c t, r } = { c , v } = { c , v } , d dt

Ä ÍÅ È

v



Ê

Ê



Í


v 2 = c2 > 0 ,

Ä ÎÅ É

Ê Ä Å
= v = { , }, c 2 = 1.

Ä ÏÅ È ÄÅ

ÎÊ

Ê

È

È

p = m v = m { c, v } = { p 0 , p } , p 0 = m c , p = m v . p 2 = p 2 - p 2 = m 2 c2 > 0 . 0

ÄÅ

p0 =

m2 c2 + p2 = mc , p = |p|, 1 + (p/mc)2 .

ÄÅ

=

ÄÅ

Ä

Å
v= p p =c =c m p0 p m
2 c2

+p

2

.

ÄÅ Ê É ÄÅ É ÅÊ

Ekin (p) = p0 c - mc2 = mc2 ( - 1), p = |p|, mc2 Ê È E (p) = cp0 = mc2

È
v = |v | =

mÊ dEkin (p) d m 2 c2 + p 2 dE (p) = =c = dp dp dp
Ê

m Ä

cp m
2 c2

+p

2

.

Ä ÌÅ

ÏÊ ÍÅ

v cÈ p = mv , Ekin mc
2

È
1 p2 -1 2 m 2 c2 p m cÊ Ê p2 mv 2 = , 2m 2 p cÊ

1

p m cÊ

1+

=

Ä ÍÅ

ÎÅ Ê

vc
Ê

Ä ÌÅ

Ê 1È

w= v 2 = v2 Ê

dv d dv = = { c, v } . d dt dt

Ä ÎÅ Ä ÏÅ

Ê
d vw = 3 2 . dt c

Í


w = 2 {

2

vw vw , w + 2 v }. c c

ÄÅ

È

w = 2 { 2 w , w + ( w ) }.

ÄÅ Ê È ÄÅ Ê È È È

?

Ä ÏÅ

Ä ÅÈ

È

È
w = 3 ( 2 w - w - 2 2 w) = 0.



Ä ÎÅ È Ê
Ê

È Ä ÏÅ

Ê?

Ê

Ê

È

È

Ê

w 2 = 4 [ 4 ( w)2 - w2 - 4 2 ( w)2 - 2 2 ( w )2 ] = 4 [-w2 - 2 ( w )2 ] = = 6 [-w2 + 2 - ( w )2 ] = 6 [-w2 + ( ç w)2 ].

ÄÅ Ê É

Ê Ê

È
Ê

È w = 0È Ê È È

È

Ê Ê Ê

È

v 1 = 1 {c, v1 }, v 2 = 2 {c, v2 }. V = v1 È
2 2 2 v 11 = {1 (c - v1 /c), 1 (v1 - V )} = {c, 0}, 2 = {1 2 (c - v1 v2 /c), 2 v2 - 1 2 v1 + (1 - 1)2 (v1 v2 )v1 /v1 } = 21 {c, v21 }.

ÄÅ Ê? ÄÅ Ä ÌÅ È

v

21

È
21 = 1 2 (1 - v1 v2 /c2 ) = v 1 v 2 /c2 = r = 12

Ä ÍÅ È É Ä ÎÅ
2 + r v1 . 1 + 1

È

Ê
2 2 v1 = c2 (1 - 1/1 ), v1 v2 = c2 (1 - r /1 2 ),

v21 =

1 2 v2 - 1 v1 + r 1 + 1

1 -

r 2

v1 =

1 r

2 v2 - 1

Ä ÏÅ É

È
r
2 v21 = |v21 |2 =

Ä ÏÅ
2 c2 2 + 2 + 2r 2 r + 2 2 2 - 1 + r (1 - 1) - 2 (1 2 - r ) = c 2 r 1 + 1 1 + 1 2 1 - 1 / r ,

ÄÅ

È
vr = v12 = v21 = c

Ê?
c2 (v1 - v2 )2 - (v1 ç v2 )2 . c2 - v1 v2

ÄÅ

ÎÌ


È
v21 =

È
1 2 (v2 - v1 ). r

cÊ

ÄÅ ÄÅ

r = 1 2 , v21 = v2 /1 - v1 . 1 - r
2

v12 + v21 =

2 1 v1 - v2 1 + 1 2 + 1

-

r - 1 r

2 1 v1 + v2 , 1 + 1 2 + 1

ÄÅ ÅÈ

È

È

È

Äv1 = v2 È

Ä 1 = 2 , r = 1ÅÊ

ÿÊ
ÍÊ
lÈ
Ê


È É Å Ê

Ä



rph = r0 + cl (t r0

ph

- t0 ), t
ph

ÄÅ
= t0 Ê - t0 ) .


r
ph

= {ctph , rph } = ctph , r0 + cl (t

ph

Ä ÌÅ





Ä ÌÅ
dr ph = c , cl . dtph

Ä ÍÅ

Ê Ê

Ê È È Ê Ê È

È È È

Ê È Ê
È kÈ È h / c = / cÈ h = 6.67 Ç 10
-27

È Ê

È

É

h = Ç
2

/ Ê ?Ê È

= 2 È h = = 1.05 Ç 10 2 È

-27

É



Ê


h , l c ,k = h , k = k l, |l | = 1. c

k = k, k =

Ä ÎÅ È É

Ê

È
ö= k , ö= k = 2 2 1 = = =, c c È ö= k = öl .

Ä ÏÅ Ê

= c/

È

= /2 Ê



Ê È È È
Ê

ÎÊ



Ê


l l È



È

V = V eÊ È

È

ÎÍ


Ä

Å
= 1 - lÇV c



È
V eÇl , c

Å

È

È

= 1 -

1 = . (1 - V cos /c)

ÄÅ ÄV - V Å

È
= 1 + l ÇV c

È
= 1 + V eÇl c


,

1 = . (1 + V cos /c) È

ÄÅ É Ê É



È

È

È ÍÎ V 2 / c2 È ÅÈ

Ê

Ê Ê

Ê È


Ä

È

È Å Ê È Ê

V / cÈ

È È

Ä

È È ÄÅ Ê È

É Ê Ê ÄÅ

D(V , ) =

1 , (1 - V cos /c)

Ê
D(V , 0) = 1 + V /c , 1 - V /c D(V , ) =

É
1 = D(V , 0)

Ê

È
1 - V /c , 1 + V /c D(V , 0) 1 + V /c = D2 (V , 0) = . D(V , ) 1 - V /c

ÄÅ

Ê 0.95, 0.98, 0.99, 0.995Ê D(V , 0) = 1, 4.36, 6.24, 9.95, 14.11, 19.97Ê V /c È
1 0 -1 -5 ÊÊ

V /c = 0, 0.8, 0.9È = 1.67, 2.29, 3.20, 5.03, 7.09, 10.01È 2 É = Á arccos(V /c) = Á arcsin(1/)Ê

0

5 10 15 É V /c = 0, 0.8, 0.9, 0.95, 0.98, 0.99, 0.995Ê

20

È
D(V , )Ê

È
1-

È

È 1 / Ê ?

È È



2 1 - V 2 / c2 V 1 1 + 2 2 V + . co s = + (1 - cos ) = 2 c 1 + V /c c 2 2 2 2 2 . 1 + 2 2

ÄÅ

D(V , )

ÄÅ Ê É Ä ÌÅ

ÏÊ

?

Ê

l = l -

V e + ( - 1) e Ç l e. c

ÎÎ



l = l - e Ç l e + e Ç l - V /c e 1 - V e Ç l /c .

Ä ÍÅ

Ä ÍÅ
l= l - eÇl


È
e + e Ç l + V /c e .

V -V

1 + V e Ç l /c

Ä ÎÅ Ê

?

eÈ l eÈ

l





Ä ÍÅ

È Ä ÎÅ Ê?
, eçl = eçl


È

eÇl =

1 + V e Ç l /c 1 - V e Ç l /c e Ç l - V /c

e Ç l + V /c

(1 + V e Ç l /c) (1 - V e Ç l/c) eçl

,

Ä ÏÅ

eÇl =

,

eçl =

.

ÄÅ

Ä ÌÅ

l ç l = V /c - ( - 1)e Ç l l ç e.

ÄÅ



Ä ÏÅ
co s =

ÄÅ
co s = co s - V / c , 1 - V co s / c sin =


sin , (1 + V cos /c) sin = sin . (1 - V cos /c)

co s + V / c , 1 + V co s / c

ÄÅ

ÄÅ
sin( - ) = sin

Ä

Å

È ÄÅ

V /c - (1 - 1/) cos . 1 - V co s / c

tg

= D(V , ) tg = 2 2

1 - V /c tg , 1 + V /c 2 È V =0Ä l

ÄÅ

È
e


V cÅ l=l Ê l l = eÊ È V = cÈ = /2 cos = V /c, sin = 1/È = /2 È cos = -V /c, sin = 1/Ê V /c = 0(0.1)0.9È Ê l V /c = 0.95, 0.98, 0.99, 0.995, 0.999, 0.9995, 0.9999Ê Ê = /3 V /c = = 1, 3/(2 2), 2/ 3, 5/3, 13/5, Ê È 0, 1/3È 1/2, 4/5, 12/13 ÍÊ l eÊ È

lÊ






Ì Ê

È

È

Ê



Ê



Ä

Å
V sin . c

È ÄÅ È È

sin( - ) =

? Ê È

È È È

È

Ê Ê ÎÏ È É È

È



3.0

eÈ V /c = 1

V /c = 12/13
2.0

V /c = 4/5

1.0

V /c = 1/2 V /c = 1/3

0.0 0.0

1.0

2.0

3.0

ÊÊ





l È V /c = 0

Ê

ÊÊ
B - ct

l

Ê

= /3

A ÊÊ vt C





Ê È Ê
A


?

È È È
c tÊ ?

È

Ê? Ê Ê
CÊ AB C A B

È

 È

Ê Ä ÊÅ

È
È t AB È C È B CÈ

v tÈ

- Ê

v t sin = c t sin( - ),

Ä ÌÅ È È
tÈ Ê È

 Ê Ä ÌÅ ? Ê
Ê

Ê È

Ê

Ê

È È


l ç e = l ç e. sin = sin ,

Ê Ä ÍÅ Ä ÎÅ É Ê Ä ÏÅ

Ê Ä ÅÈ
sin d = sin



2 (1 - V cos /c)2

d =



2

sin d.

Î


È Å d3 k /k È
d3 p/p0 Ê dk /k Ê

2 sin dÈ

È È



È

dÊ È



k d lÈ
22

Ä

É Ê

ÿÊ
ÍÊ
Ê

È

È Ê

Ê Ä È È È
AÅ

Ê?

È Ê Ê Å È È Ê È Ä È

É

È

ÅÊ

È Ê

Ê

^ A = {AÅ }Ê

È É É

È

È AÅ 0 = AÅ0 , AÅ k = -AÅk , k = 1, 2, 3Ê È È {AÅ } {AÅ }Ê Ê È



= AÅ g Ê

È È
bÅ = AÅ a .

ÄÅ È É

ÎÊ



Ê

g = {gÅ } = {g ^

Å

Ê
gÅ g
= Å È

1 0 }= 0 0



0 0 -1 0 0 -1 0 0- gÊ ^

0 0 . 0 1

ÄÅ

É Ê
^

I g ^ ^ = 10 0I , g= ^ 1 0

È
0 -I

.

ÄÅ

È
aÅ = gÅ a , a = { a Å } = { a 0 , a} , {aÅ } = {a0 , -a}.

ÄÅ É É



Ê È
e
0123

È Ê Ê

È È
{e
Å

Ê
} 1 -1

= 1È
Ê

È

Ê

ÏÊ

È

É

Î


È
a= a a
0

È
g Ç aÊ ^

1 a = ax a2 = ay , a= . 3 a = az

ÄÅ

Ê

^ {aÅ bÅ } = [g Ç a]T Ç b = aT Ç g Ç b. ^

ÄÅ Ê É


Ê

A00 A10 ^ A = {AÅ } = 20 A A30

A01 A11 A21 A31

A02 A12 A22 A32

A03 A13 A23 A33

A00 = A00 A10 = -A10 , {AÅ } = A20 = -A20 A30 = -A30

A01 = -A01 A11 = A11 A21 = A21 A31 = A31

A02 = -A02 A12 = A12 A22 = A22 A32 = A32

A03 = -A03 A13 = A13 A23 = A23 A33 = A33

{AÅ } = gAg Ê ^ ^^

È

Ê Ê È
- - - - A02 A12 A22 A32 A03 A13 A23 A33 A03 A13 , A23 A33 A03 = A03 A13 = -A13 . A23 = -A23 A33 = -A33 = = = = - - - -

. ÄÍÌÌÅ

È Ê

ÅÊ
^^ [B g ]T È BÅ Ê

A00 = A00 A10 = A10 ^^ {AÅ } = Ag = 2 A 0 = A20 A30 = A30 A00 = A00 A10 = -A10 {AÅ } = gA = ^^ A20 = -A20 A30 = -A30

A01 A11 A21 A31

= = = =

A01 = A01 A11 = -A11 A21 = -A21 A31 = -A31
Å

- - - -

A01 A11 A21 A31

A02 A12 A22 A32

= = = =

ÄÍÌÍÅ

A02 = A02 A12 = -A12 A22 = -A22 A32 = -A32

ÄÍÌÎÅ É È
gB = ^^

Ä

È
Å Å

B

Å

=B

È

{B } = {B }Ê

^ ^ ^^ B = B T È {B Å } = B g È {BÅ } = g B Ê ^^

^ Ê ^^ b = A Ç g Ç a.

Ê

ÄÅ ÄÍÌÏÅ É

Ê

Ê

Ê

È
a0 a1 a = 2 , a a3

?

ÄÎ Å

a a a = a a



0 1 2 3

,



ÄÍÌ Å

^ a = AL a, -Vx /c 2 ^L = -Vx /c 1 + ( - 1)Vx /V A -Vy /c ( - 1)Vx Vy /V 2 -Vz /c ( - 1)Vx Vz /V 2 -Vy /c ( - 1)Vx Vy /V 2 1 + ( - 1)Vy2 /V ( - 1)Vy Vz /V 2 -Vz /c ( - 1)Vx Vz /V 2 ( - 1)Vy Vz /V 2 1 + ( - 1)Vz2 /V
2

ÄÍÌ Å

2

2

.

ÄÍÌ Å

Î


ÿ ÍÊ Ä ÅÈ


^ AL

È
^ AL

È Ê

ÍÈ Ê

È

É

ÄÍÌ Å

È ^^ = L Ç gÈ
- Vy /c -( - 1)Vx Vy /V 2 -1 - ( - 1)Vy2 /V -( - 1)Vy Vz /V 2

Vx /c -1 - ^ L= Vy /c -( Vz /c -(

- Vx /c 2 ( - 1)Vx /V - 1)Vx Vy /V 2 - 1)Vx Vz /V 2

2

2

- Vz /c -( - 1)Vx Vz /V 2 -( - 1)Vy Vz /V 2 -1 - ( - 1)Vz2 /V


2

^^ ^^ {LÅ } = gLg = LT È Lg = [Lg ]T = g LT Ê ^^^ ^ ^^ È È - V T /c + ( - 1)V Ç V T /V - V /c I

.

ÄÍÌ Å

ÄÍÌ Å
2

Ê

^ ^^ AL = L Ç g =

.

ÄÍÌ Å




V /c = th È = ch È V = V (sin cos , sin sin , cos )

ch - sh sin cos - sh sin sin - s h co s - sh sin cos 1 + 2 sh2 (/2) sin2 cos2 2 sh2 (/2) sin2 sin cos 2 sh2 (/2) sin cos cos ^ AL = - sh sin sin 2 sh2 (/2) sin2 sin cos 1 + 2 sh2 (/2) sin2 sin2 2 sh2 (/2) sin cos sin . - s h co s 2 sh2 (/2) sin cos cos 2 sh2 (/2) sin cos sin 1 + 2 sh2 (/2) cos2 ÄÍÌ Å = 0È Ä ÅÊ ^ L ^^ a = L Ç g Ç a. ^ ^^^ ^^ ^^ ^^^ A = L Ç g Ç A Ç [L Ç g]-1 = L Ç g Ç A Ç g Ç L

ÄÍÍÌÅ

-1

.

ÄÍÍÍÅ È È É

Ê Ê

Ê

È
A = AÅ

È È Ê?

È

È Ê

Å

= A0 0 + A1 1 + A2 2 + A3 3 = A00 - A11 - A22 - A33 = AÅ . Å

ÄÍÍÎÅ

Ä
A = AÅ
Å

Å ÄÍÍÏÅ È

= AÅ

Å

^^ = Sp(g Ç A) = Sp(A Ç g) = A0 + A1 + A2 + A3 = A00 - A11 - A22 - A33 . ^^ 0 1 2 3


1 2 3 1 0 A+ A+ A+ A c t x y z

È

^ Div A = {Å AÅ } =

= T g A. ^^

ÄÍÍ Å

ÿ Ê
ÍÊ
? Ê


Ê? Ê È
d3 r = 3 d r = d3 r0 .

Ê È

ÄÍÍ Å

Î




È È

È
d3 r0

È
v= / = 0 È

2 - 1 / Ê

È

Ê È
j=

É
{c , v } = {c, }.

È

É ÄÍÍ Å


^ j = T Ç g Ç j = + = 0 t

ÄÍÍ Å

Ê ÎÊ
Ê

È
= 4 , = 4 j. c 4 , c

ÄÍÍ Å

A=

ÄÍÍ Å È ÄÍÎÌÅ

È
A = {, A}.

È

^ A = T Ç g Ç A =

1 + A = 0, c t

ÄÍÎÍÅ

Ê

ÿ Ê?
ÍÊ
Ê

Ê È È

È

Ê È Ê

É Ê É

È
ds = c2 dt2 - dr2 Ê

Ê?

ds = cd = cdt/ È {ct1 , r1 } ÄÍÅ {ct2 , r2 } ÄÎÅ Ê
(2)

È

È

È

È É = 1 / 1 - v 2 / c2 Ê ÈÉ

S = - mc
(1)

ds.

ÄÍÎÎÅ Ê

?


t2


S=
t1

È ÄÍÎÏÅ

L dt,

L = - mc

2

1 - v 2 / c2 .

L - m c2 +

p2 mv 2 = - mc 2 2m

2

ÄÍÎ Å

Î


ÎÊ
?

Ê
Ê


(2)

S = - mc
(1)

dxÅ dxÅ

ÄÍÎ Å

(2)

S = - mc
(1)

(dxÅ )dxÅ + dxÅ (dxÅ ) = - mc 2ds

(2)

dxÅ (dxÅ ) = -m cd

(2)

(2) Å

vÅ (dx ) = -m
(1)

v (dr ).

ÄÍÎ Å È

(1)

(1)

È
Å (2) (1)


(2)

S = -mvÅ (x )
Å

+m
(1)

(xÅ )

duÅ ds. ds

ÄÍÎ Å

S = 0Ê

È

(x )(1) = (x )(2) = 0È duÅ = 0È ds È È (xÅ )(2) = dxÅ Ê Ê
Å

È Ê Ä È (xÅ )(
1)

È

É

= 0Å È

S = -mvÅ (xÅ ) = -mv (r ). S , xÅ E 1 S =, c t c

ÄÍÎ Å

pÅ = -

p = -S,

p = S,

p0 = -

ÄÍÎ Å

È ÏÊ
q

È
Ê

Ê Ê
(2)



È
(2)

Ê
S=
(1)



È ÄÍÏÌÅ

q -mcds - AÅ dxÅ = c
(1)

q -mcds - Adr . c

t2

S=
t1

- mc

2

1-

v2 q - q + Av , 2 c c

ÄÍÏÍÅ


L = - mc
2

1-

Ê


mv 1 - v 2 /c
2

v2 q - q + Av . c2 c Ê

ÄÍÏÎÅ É

v L = P =

q q q + A = mv + A = p + A , c c c

ÄÍÏÏÅ

Î


p

Ê
q P = p + A, c q q P0 = mc + = p0 + . c c

ÄÍÏ Å È È Ê

Ê

Ê

È È

È Ê
d v L = L. dt

Ê

È

ÄÍÏ Å

Ê

Ä

Å
L = q grad(Av ) - q grad c

ÄÍÏ Å


grad(ab) = (a)b + (b)a + b ç rot a + a ç rot b.

ÄÍÏ Å ÄÍÏ Å

È

q q L = (v )A + v ç rot A - q grad . c c

È
dA A = + (v )A. dt t

È

ÄÍÏ Å È

ÄÍÏ Å
dp q A q =- - q + v ç rot A . dt c t c È dp q = qE + v ç H . dt c

ÄÍ ÌÅ É ÄÍ ÍÅ É É

Ê Ê ? È Ê
dp = F, d F = { F0 , F }. dp = F, dt p0 = m 2 c2 + p 2 È dp0 p dp v Ç = = Ç F = F0 . dt p0 dt c dp0 = F0 . dt
Ê

Ê È Ê?

È



ÄÍ ÍÅ Ê Ê

Ê
È

Ê

Ê

È

É

ÄÍ ÎÅ

ÄÍ ÏÅ

ÄÍ Å Ê

È ÏÌ


ÿÊ
ÍÊ
Ê

Ê
(2)

?

È
(2)

È ÄÍÏÌÅ

ÄÍÎ ÅÊ

S = -
(1)

mc

dxÅ

dxÅ

q + AÅ dxÅ = - c
(1)

mc

q dxÅ d (xÅ ) q + AÅ d (xÅ ) + (AÅ )dxÅ ds c c

= 0.

ÄÍ Å

È
(2)

q q q mdvÅ (xÅ ) + dAÅ (xÅ ) - (AÅ )dxÅ - mvÅ + AÅ (xÅ ) c c c
(1)

(2) (1)

= 0.

ÄÍ Å

È
AÅ (x ), x AÅ dx . x

Ê?

(AÅ ) =

dAÅ =

ÄÍ Å

ÄÍ Å
(2)

mdvÅ (xÅ ) +
(1)

q AÅ q AÅ (xÅ )dx - (x )dxÅ c x c x

= 0.

ÄÍ Å È

?



Å È
(2)

È
m q dvÅ - d c A AÅ - xÅ x v


È ÄÍ Å

(xÅ )d = 0.

(1)

?
m dvÅ q = d c A AÅ - xÅ x v .

ÄÍ ÌÅ

FÅ =

A AÅ - , Å x x

ÄÍ ÍÅ


m

Ê
q dvÅ = FÅ v . d c

ÄÍ ÎÅ
{AÅ } = {, -A}È È É È È -Ex 0 Hz - Hy -Ey - Hz 0 Hx -Ez Hy - Hx 0

ÎÊ

?

Ê

ÄÍ ÍÅÈ È
0 -Ex {FÅ } = -Ey -Ez Ex 0 Hz -H Ey -H 0 Hx Ez Hy - Hx 0



Ê? È

È

z

,

^ F = {F

Å

y

0 Ex }= Ey Ez

.

ÄÍ ÏÅ

ÏÍ


È

ÏÊ

0 Ex {FÅ } = Ey Ez
Ê

È
Ex 0 -H Hy

Ê
Ey Hz 0 -H Ez - Hy Hx 0 0 -Ex Å {F } = -Ey -Ez

È
-Ex 0 - Hz Hy -Ey Hz 0 - Hx -Ez - Hy Hx 0

z

,

.

ÄÍ Å

x

È
F
Å

^ F

T

^ = -F Ê

È
Å

È

F Å = -FÅ Ê ? É Å Å FÅ = F Å = 0È

^ ^^^ FÅ = Sp(F Ç (g Ç F Ç g )T ) = -FÅ F

= -Sp(g Ç F Ç g Ç F ) = 2(H 2 - E 2 ) ^^^^

ÄÍ Å È

e

Å

Ê

ÿÅ

Ä

È
e
Å

FÅ F = 8E H .

ÄÍ Å È Ê

Ê

È

Ä

ÅÈ Ê ÄÍÍÍÅ
T

É

È

È

É

Ê?

Ê

È

^ ^^^^^ F = L Ç g Ç F Ç g Ç L

ÄÍ Å

E = E + H = H -

V V ç H - ( - 1) c V V V ç E - ( - 1) c V

V E c V H V

, .

ÄÍ Å

ÄÍ ÏÅ
^ F= 0 E -E H
T

Ä

Å

0 Hz ,H = -H



y

-H 0 Hx

z

Hy - Hx . 0

ÄÍ Å

H Ç a = H ç a.

ÄÍ ÌÅ È
0 Ez E= -Ey -Ez 0 Ex Ey -Ex . 0

È

È

^ G = {GÅ } = {

Å

FÅ } =

0 H

-H T -E

,

ÄÍ ÍÅ

ÄÍ ÍÅ

È
^ G

ÄÍ Å ÄÍ ÏÅÊ

E H , H -E Ê ^ FÊ

F

Å

^^^^ G Å = Sp(F Ç g Ç G Ç g) = 8E H .

ÄÍ ÎÅ

ÏÎ


Ê È

È È

È

É

È Ê È È
A

Ê Ê È Ê
^ F

É É Ê É

È Ê?

É È Ê

È

Ê

È
Å

Ê

Ê

?
+ Å F ^ G


É ÄÍ ÏÅ ÄÍ Å Ê ÄÍ Å

F

+ F

Å

= 0.

^ ^^ Div G = { GÅ } = (T Ç g Ç G)T = 0.

?

È

Ê

È
div H = 0.

È
0 F
23

= 0, Å = 2, = 3

+ 2 F

30

+ 3 F

02

=-

Ez Ey 1 Hx - + = 0. c t y z

ÄÍ Å

rot E = -

1 H . c t

ÄÍ Å

ÿ ÍÌÊ ?
ÍÊ
Ê

Ê
(2)

Ê

È

É

È

ÄÍÎÎÅÈ ÄÍ Å

Sp = - mc
(1)

ds.

?

ÄÍÏÌÅ
(2)

S

pf

q =- c
(1)

AÅ dxÅ .

ÄÍ Å È

ÄÍ Å
Sf = -

Ê
1 16 c FÅ F
Å 4

d r=

1 8

(E 2 - H 2 )d3 rdt.

ÄÍ ÌÅ È ÄÍ Å

?

Ê
(2)

ÄÍÊ ÅÊ
AÅ v
(1) Å

dxÅ = v Å d = v Å dt/

S

pf

1 =- c

dt

d3 r(r , t) = -

1 c

d3 rdtAÅ

1 (r , t) Å v =- 2 c

d4 rAÅ j Å = -

1 c2

Aj d4 r.

ÄÍ ÍÅ

ÏÏ


È
(2) (2)

S = Sp + S

pf

+ Sf = - mc
(1)

1 ds - 2 c

1 AÅ j d r - 16 c
Å4 (1)

FÅ F

Å 4

d r.

ÄÍ ÎÅ

ÎÊ È

?

Ê

È È
1 c

Ê

È

Ê

È È

ÄÍ ÎÅ

Ê

S = -

1Å 1 j (AÅ ) + [ (FÅ )F c 16

Å

+ FÅ (F

Å

)] d4 r = -

1 c

1Å 1 j (AÅ ) + F c 8

Å

(FÅ ) d4 r = 0. ÄÍ ÏÅ

È
1 c 1Å 1 j (AÅ ) + F c 8

È ÄÍ ÍÅ
Å

Ê È
d4 r = - 1 c 1Å 1 j (AÅ ) - F c 4
Å

É

S = -

(A ) - (AÅ ) Å x x

(AÅ ) d4 r. x

ÄÍ Å

È ÏÊ
? Ê

Ê È
F
Å

Å È

(AÅ )d4 r = x

F Å (AÅ )d4 r - x

(2)

F

Å

(AÅ )d

(1)

.

ÄÍ Å È È È ÄÍ Å

? È

Ê

Ê Ê?
1Å 1 F Å (AÅ )d4 r = 0. j+ c 4 x

È

?
F Å 4 = - j Å. x c

ÄÍ Å

div E = 4 , 4 1 E + . c t c

ÄÍ Å

rot H =

ÄÍ Å Ê

È

ÿ ÍÍÊ
ÍÊ E = E (1, 0, 0)È qE
Ê

E>0 dpx = qE , dt

Ê
dpy = 0, dt dpz = 0. dt

È

ìÈ q > 0È

ÄÍ ÌÅ

È

É pz = 0

z = 0Ê

ìíÈ

Ï


ÄÍ ÌÅ
p x = q E t, py = p .

ÄÍ ÍÅ

p0 =

m2 c2 + p2 + (q E t)2 .

ÄÍ ÎÅ È
p m
2 c2


p , p0 dx px =c =c dt p0 qE t m
2 c2

Ä

ÅÈ
py dy =c =c dt p0

v=c

vx =

+ p + (q E t

2

)2

,

vy =

+ p2 + (q E t)2

.

ÄÍ ÏÅ

È
v=c p2 + (q E t)2 m2 c2 + p2 + (q E t)2 t Ê qE t m
2 c2

ÄÍ Å

È

x=c y = cp

+ p + (q E t dt

2

)2

dt =

c qE

m2 c2 + p2 + (q E t)2 , qE t m 2 c2 + p
2

ÄÍ Å ÄÍ Å

m2 c2 + p2 + (q E t)2

=

cp a r sh qE

.


t= m 2 c2 + p 2 qE y , sh qE cp

ÄÍ Å


x= c qE m2 c2 + p2 ch qE y . cp

ÄÍ Å È

Ä ÎÊ H e3 È
H>0 q < 0Ê

È

Å
Ê

Ê
H = H (0, 0, 1) = È

Ê?

È
-q p dp = -q ç H . dt p0

v çH c

ÄÍ Å

È
p

dp 1 dp2 1 d(p2 - m2 c2 ) 1 dp2 0 0 = = = = 0, dt 2 dt 2 dt 2 dt Ekin È È qH , mc qH qH = = , p0 m c

ÄÍ ÌÅ È É

?

È

È

cp 0 = m c2 È

Ê

=

=

= e3 .

ÄÍ ÍÅ

È
dp = -p ç = ç p. dt

Ê

ÄÍ ÎÅ

Ï


? e2 È

È

È ÄÍ ÎÅ

Ä

È

ÅÊ

e3 È

È

e

1

p = p e3 + p [e1 cos( t - 0 ) + e2 sin( t - 0 )].

ÄÍ ÏÅ
0

?

Ê

p

p È

É

v=c

p p p p = = e3 + [e1 cos( t - 0 ) + e2 sin( t - 0 )] p0 m m m p p te 3 + [e1 sin( t - 0 ) - e2 cos( t - 0 )]. m m

ÄÍ Å

È
r = r0 +

ÄÍ Å

î Ê È È
R= p m



p v= È m

È È È
= p0 = mc 1+ p2 + p m
2 2 c2

Ê?
m cÈ

Ê È É É

Ê

È

ÿ ÍÎÊ
ÍÊ É
^ T = {T =
Å
Ê

Ê
? È ÿ Ê

}=

1 4

-F



F

Å

1 + (F 4



F )g

Å

=

1^ 1 ^^^^ F Ç g Ç F + g Sp(F Ç g Ç F Ç g ) = ^^ ^ 4 4 0 S /c S T /c -(E Ç E + H Ç H T )/4
T

w (Ey Hz - Ez Hy )/(4 ) (Ez Hx - Ex Hz )/(4 ) 2 2 (Ey Hz - Ez Hy )/(4 ) w - (Ex + Hx )/(4 ) -(Ex Ey + Hx Hy )/(4 ) = 2 2 (Ez Hx - Ex Hz )/(4 ) -(Ex Ey + Hx Hy )/(4 ) w - (Ey + Hy )/(4 ) (Ex Hy - Ey Hx )/(4 ) -(Ex Ez + Hx Hz )/(4 ) -(Ey Ez + Hy Hz )/(4 )

w S T /c S /c wI - (E Ç E T + H Ç H T )/4

^ = w +

=

È

Ä

Å

(Ex Hy - Ey Hx )/(4 ) -(Ex Ez + Hx Hy )/(4 ) . ÄÍ -(Ey Ez + Hy Hz )/(4 ) 2 2 w - (Ez + Hz )/(4 )

Å

T

Å

Å

^^ = Sp(T Ç g ) = w - 3w + 2w = 0.

ÄÍ Å

ÎÊ
^ Div T = T =
Å

Ê

È
1 4 - (F


=

)F

Å

- F (F

Å

1 ) + [ (F 4

)

F + F




(F )]g =

Å

=

1 1 (F )F Å + F (F Å ) + [Å (F )F ) + 4 4 1 1 1 (F )F Å + F (F Å ) + F (F Å ) + = 4 2 2 1 4 Å 1 = - F j + F ( F Å + Å F + F Å ) 4 c 2

F

Å (F )]

1 F Å (F ) = 2 1 = - {F Å j }. c F


ÄÍ Å È

Ê Ï

È




Ê


?

Ê

È

Ê

È È


1^ ^^ (T Ç g Ç T )T = - F Ç g Ç j . ^ c

ÄÍ Å È È ÄÎÌÌÅ Ê

ÏÊ

Ê

Ä

Å
^ TP = {Å0 v v Å } = Å0 v v T ,

Å0

É

É
Å0 =

È
m m 0 , Å0 v = j . e e

ÄÎÌÍÅ Ê
v

ÄÎÌÌÅ

È

È

w=

dv v dx ^ = = (v ) {v Å } = (v T Ç g Ç )v . d x d

ÄÎÌÎÅ

Ä

Å
Å0 dv ^ Div TP = ( Å0 v ){v Å } + Å0 (v ){v Å } = ( j ){v Å } + Å0 = Å0 w . e d

ÄÎÌÏÅ

Å0 w =

1^ F Ç g Ç j, ^ c

ÄÎÌ Å

È
1^ 1 ^ ^ Div TP = F Ç g Ç j = {F c c
Å

j }.

ÄÎÌ Å

ÄÍ ÅÅ

ÄÎÌÏÅÈ
^^ Div(T + TP ) = 0.

ÄÎÌ Å È

Ê

Ê

Ê
L
Å

=T

Å

x -T

Å

x.

ÄÎÌ Å

L

Å

= T

Å

x - T

Å

x +T

Å

-T

Å

=

4 j (F c

Å

x -F

Å

x ).

ÄÎÌ Å Ê

?

ÄÎÌ Å
L
Å P

=T

Å Px

-T

Å Px

.

ÄÎÌ Å

Ê
(L
Å

È
+L
Å P

) = 0.

ÄÎÍÌÅ

Ï


ÿ ÍÏÊ
ÍÊ
Ê


È È È Ê Ê È È È È È É Ê

Ê È È

?

È

È

Ê É Ê É È É



Ê Ê Ê
10
-10

ÊÊ



Ê È Ê Ê?
2 Ç 10
-6

?

É

0 È È



Á

10

-8

È

10

-16

Ê ÅÁ

10

-23

? 10

-22

Ê ÅÊ

É

È

Ä Ê È 150 È È

ÅÈ
10 2 Ê
14

È

103 Ä

É È

300 14 ?= 10 Ç 1.6 Ç 10

-12

Ê

Ê



È



È 300 Ç 9 Ç 10- 2 = 1.6 Ç 10 È 6 Ç 1010 = 6 Ç 105 Ê È È È È Ê Ê È

28

Ê?

= 106 Ê É Ê É

È

È ÎÊ È È
Ê

Ê

?

È Ê ÈÅ

È

È

È È È
c

Ê Ê

Ê

É È

È È

È

È Ê Ê

Ê

Å

ÈÅ

È È

Ê Ä? Å Ä Å Ê È



Ê È È

È

È
eÊ

Ê
v e v t0 sin Ê t0 v t0 Ê

È
/2È v t0 c o s Ê (v /c)t0 cos Ê [1 - (v /c) cos ]t0 È

Ê



Ä

Ê

È
t0 - (v /c)t0 cos È

È Ê Å e Ç v = v co s 0 Ê v t0 É È É

È
v t0 sin


vap
pr

=v

sin . 1 - (v /c) cos

ÄÎÍÍÅ

Ï


v t0 c o s e vt

c t0 e

ÊÊ

(ct0 - v t0 cos )e

v t0 sin

0

Ê

1.6 1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.5 0.6
Ê

7
u ( )

6 5



appr

( , ) > 1

4 3 2



appr

( , )

l ( )

1 0.9
Ê

0.7


0.8



0 1.0 0


/4

/2

3 /4

Ê ÍÌ

Ê ÍÌ Ä ääæ

Ê



Ê



appr

( , )



= v /c


( , ) 1

ää æ âèÅ
sin . 1 - co s
appr

appr

( , ) =
appr

ÄÎÍÎÅ
( , /2) = Ê

= 1/ 1 - 2 Ê



appr

( , 0) = appr ( , ) = 0È = arccos( ) È

2 sin( + /4) 1

1 3 1 = u ( ), l ( ) = arcsin - - arcsin 4 4 2 2 1 Ê 2 Ê ÍÌ Ê  Ê ÍÌ Ê appr ( , ) 1 = 0È

ÄÎÍÏÅ


0

= 1/ 2, 0.8, 0.9, 0.95, 0.98, 0.99 appr (1, ) = ctg(/2)È

1.0

È È

È

Ê

È

Ê
= a . a cos + sin

È

a

È

É É

ÄÎÍ Å

Ï


ÏÊ  Ì

Ê

Ê É È È Ê

Ï ÿÎ Ê ?Ê

?

È È È Ê

È È Ä Ê È

Ê

É É ÏÅÊ

È

Ê

Í

A1 A

2

B O
Ê ÍÍÊ

1

B

2

Ê
V eÈ

È È È t0 È × È
B
2

l0 È È = 1 / 1 - V 2 / c2 Ê È



Ä

Ê ÍÍÅÊ ? È × A1 A2 = V t È Ê

A1 B1 = l0 /È

Ê
A1 È

È

È

A2 B2 Ä

A1 ×= ct0 Ê A1 ×Ê A1 ×= A1 B2 cos È

È È
t
0

0

×B Ê

ÅÊ
2

È ÄÎÍ Å

ct0 = (l0 / + V t0 ) cos , D(V , ) A1 B2 = l0 D(V , )Ê

ct0 = l0 cos /[(1 - V cos /c)] = l0 cos D(V , ),

Ä ÅÊ

È

×B2 = A1 B2 sin È ÄÎÍ Å É Ê

l0 D(V , ) sin = l0 sin /[(1 - V cos /c)] = l0 sin .


È Ê

Ä

Å Ê È

È

È

È

Ì




ÏÊ ?

ÿ ÍÊ ?
ÍÊ
Ê

È È È

È Ê Ê?

Ê

Ê È È È

div B = 0, rot E = -

1 B , c t 1 D . div D = 0, rot H = c t D = E , B = ÅH . Å

ÄÍÅ ÄÎÅ

È

ÄÏÅ Ê ÄÍÅ

?

È

ÄÎÅ

E

E B

BÈ

ÄÍÅ ÄÎÅ D HÊ
Å E . c t

div E = 0, rot B =

ÄÅ Ê



ÎÊ

?

Ê

rot rot

ÄÅ
rot rot E = grad div E - E = -E = - Å 2 E 1 . rot B = - 2 c t c t2

ÄÎÅÊ

ÄÅ

ÄÅ

?

È


v 2 = c2 /(Å), =

Í ÄÅ ÄÅ Ê ÄÅ ÄÅ

Ä ÅÈ

È

1 2 - . v 2 t2 È E = 0.

È
B = 0.

ÄÅ È  Í ÄÍÌÅ Ê
f

ÏÊ

Ê

B = rot A, E = - grad -

1 A . c t





ÄÍÅ

È


1 f , A = A - grad f . c t

= +

ÄÍÍÅ È È ÄÍÎÅ

Å + div A = 0. c t

Í


È È





È

fÈ

Ä

Ê
= 0,

ÍÅÊ

È

ÄÍÎÅ

A = 0.

ÄÍÏÅ Ê

È


= +

1 f0 , A = A - grad f0 , c t

ÄÍ Å



f

0

f0 = 0 .

ÄÍ Å Ê È ÄÍ Å Ê É

ÄÍÏÅ Ê È È 1 f0 = Ê c t È


A = 0, div A = 0.

Ä

Ê

Ê

ÅÈ
B = rot A , E = - 1 A . c t

ÄÍ Å Ê É ÄÍ Å

ÄÍ Å
div E = -

A = A - grad f1 .

ÄÅ

Å 2 A 1 div A . = 0, rot B = rot rot A = grad div A - A = - 2 c t c t2 div A A

ÄÍ Å Ê ÄÎÌÅ ÄÎÍÅ

È

È

Ê
div A = b(r) = 0.

È È

ÄÍ ÅÈ ?
div A = div A - f1 = b(r).

È

f1 = -b(r ),

ÄÎÎÅ Å Ê
A

Ê ÄÍ ÅÊ

Ä

É

ÿ ÎÊ
ÍÊ
Ê

È

È
u = 0,

ÄÎÏÅ Ê

u

Ê

Î


xÊ

ÄÎÏÅ
2 1 2 -2 2 t2 v x

È

È

u = 0.

ÄÎ Å

È
u(x, t) = r (x - v t) + l (x + v t).

ÄÎ Å È È ÄÎ Å È É É Ê ÊÅ



Ê È

Ê? ÄÎÏÅÈ ÄÎ ÅÈ È È È



r



l

Ê

r

Ê


Ä

l



Ê

È

Ê

u(x, t) = r (x - v t).

ÄÎ Å È
x - v t = x0 = constÊ

È

u Ä

x0 Å x = x0 + v t,

ÄÎ Å É
x

vÈ v

È

x

È È

Ê Ê

È È

ÄÎ Å Ê È

É È É É

È ÎÊ È
A = (Ax , Ay , Az )
Ê

Ê Ê? È
x 2 1 2 -2 v 2 t2 x

È È

Ê

È



Ê

É È Ê È É

A = 0, xÊ

Ax = 0. x

ÄÎ Å É ÄÎ Å È É ÄÏÌÅ Ä È É

È È

A = (Ax (x - v t), Ay (x - v t), Az (x - v t)).

Ê

È

xÊ

Ê

È

A = A(x - v t) = (0, Ay (x - v t), Az (x - v t)).



Å

È
E=

Ê

È

v v (0, A (x - v t), A (x - v t)) = A (x - v t). y z c c

ÄÏÍÅ Å ÄÏÎÅ

Ä

y

z

B = rot A = (0, -A (x - v t), A (x - v t)). z y

Ï


ÄÏÍÅ

ÄÏÎÅ

Ê

È Ê Ê
Ê

Ê Ê È È
x

È

È È

É

ÏÊ È Ê Ê

È Ê

Ê

È È È
A = A(nr - v t),

È ÄÎ Å Ê É

È

nÈ

ÄÏÏÅ Ê ÄÏ Å



È



È
E=

div A = nA (nr - v t) = 0. v A (nr - v t), B = n ç A (nr - v t). c B B= c n ç E. v

ÄÏ Å
nÈ

E

È

Ê?

È

É ÄÏ Å

È Ê
Ê

È È
H2 = 1 2 |A | . Å2

Ê

Ê Ê

È


1 1 B = n ç A (nr - v t), Å Å

H=

ÄÏ Å

È
E 2 =

v2 2 1 1 |A | = |A |2 = |A |2 = ÅH 2 . c2 Å Å

ÄÏ Å

w=

E 2 + ÅH 2 E 2 ÅH 2 1 = = = |A |2 . 8 4 4 4 Å

ÄÏ Å

?
S=

È

È Ä ÌÅ

c cc v 2 Å v c EçH = EçB = E ç (n ç E ) = [n(E )2 - E (nE )] = n(E )2 = wv n. 4 4 Å 4 Å v 4 Åv 4

È

Ê

È

ÿ ÏÊ
ÍÊ È
E = E0 e
-i t
Ê

È
sin t

c o s tÊ

È Ê Ê É È Ä ÍÅ

È
.


0 0 E0 = ER + iEI Ê


E

Ê

È

È

È

Ä ÎÅ È È

0 0 Re E = ER cos t + EI sin t.

Ä ÎÅÊ

È

È Ê

Ê È È



0 0 00 (Re E )2 = (ER )2 cos2 t + (EI )2 sin2 t + 2ER EI cos t sin t =

1 1 0 0 [(ER )2 + (EI )2 ] = |E |2 . 2 2

Ä ÏÅ

? ? Ê ÎÊ Ä È

È

Ê

È

È

É

Ê

0ÅÈ

Ê

e

-i t

È

Ê?

È È È È Ê

É È É

div B = 0, rot E =

i i B , div D = 0, rot H = - D. c c

ÄÅ È É Ê É ÄÅ

? È



È

Ê Ä

È

Å



-ö2 A0 - A0 = 0, ö = /v

Ê
Ê



Ê Ê? É È n r - v tÊ

ÏÊ ?É È exp(-i t)Ê

È È

È

Ê

Ê

È ÄÅ

exp(-i (t - nr /v )) = exp(-i t + iö n r ) = exp(-i( t - ö r )), ö = ön

Ê

È
A = A0 exp(-i( t - ör )),

ÄÅ È ÅÊ ÄÅ

A0

Ä
E = i A0 , B = iö ç A0 . c

ÿÊ
ÍÊ Ê?
Ê


Ê Ê È Ä É Å

È





= r + r = = 1 sin 1 r2 r sin 1 , r2 r
2

ÄÅ

r +

, 1 2 . sin2 2

Ä ÌÅ Ä ÍÅ







ÄÅ
ö2 u + u = 0 .

Ä ÎÅ

ÎÊ


Ä

ÅÈ

È
Ê

Ê
Ylm (, ) = -l(l + 1)Ylm (, ).

Ê

Ä ÏÅ
Plm (cos )È


Plm ( ) =

1 e 2 2l + 1 2

im



É

(l - |m|)! |m| P ( ). (l + |m|)! l

ÄÅ

d m2 d (1 - 2 ) + l(l + 1) - d d 1- dm Pl ( ), d m

2

Plm ( ) = 0

ÄÅ

Plm ( ) = (1 - 2 )m lm -l, -l + 1, ..., l - 1, lÊ

/2

Pl ( ) = l

1 dl 2 ( - 1)l . 2l l! d l m Ylm (, )ÅÈ

ÄÅ
m=

È

l = 0, 1, 2, ...È

Ä
2


2

È
2 im -

d n|Ylm (, )| =

2

0

1 d e 2

sin d|Plm (cos )|2 = 1.

ÄÅ


1 Y00 (, ) = , 4 Y10 (, ) = 3 co s , 4 Y1Á1 (, ) = 3 sin e 8
Ái

.

ÄÅ

ÏÊ



Ê



Ä ÎÅÈ
u(r, , ) = R(r)Ylm (, ).

ÄÅ



Ä ÎÅÈ
ö2 R(r) + 1d r2 dr mÈ

È
r
2


dR(r) dr - l(l + 1) R(r) = 0. r2

Ä ÌÅ Ê






Ä ÌÅ
R(r) = w(ör) =r r
-1/2


w(ör), 1 R (r) = - r 2
-3/2

È
w (ör)ö.

w(ör) + r

-1/2

Ä ÍÅ

d dr

r

2

dR(r) dr

=

d dr

1 -r 2

1/2

w(ör) + r

3/2

w (ör)ö

1 =- r 4

-1/2

w(ör) + r

1/2

w (ör)ö + r

3/2

w (ör)ö

2

Ä ÎÅ

Ä ÌÅ

z 2 w (z ) + z w (z ) + [z 2 - (l + 1/2)2 ]w(z ) = 0.

Ä ÏÅ 
l + 1/2È

Ê






Ê

Jl

+1/2

(z )
Ê

J-

l-

 1/2 (z )Ê 



Ä ÅÊ



J (z ) =

n=0

(-1)n

(z /2) +2n , n!( + n + 1)

ÄÅ
l



Ê

É

Ê




2 z 2 z
l n=0 l n=0



É

Jl

+1/2

(z ) =

2 (-1)l z (z ) =

l+1/2

dl (z dz )l dl (z dz )l

sin z z co s z z

=

(l + n)! cos z + (n - l - 1) , n n!(l - n)!(2z ) 2 (l + n)! cos z + (n + l) . n n!(l - n)!(2z ) 2

ÄÅ ÄÅ

J-

l-1/2

2 z

l+1/2

=

? co s z

sin z È 2 sin z , J- z


È
1/2

È

zÊ 2 co s z - sin z - .Ä z z

J1/2 (z ) =

(z ) =


2 cos z , J3/2 (z ) = z
Ê

2 sin z - cos z , J- z z

3/2

(z ) =

Å É

Ê 



È

Ê



Ä

È



Ä ÍÅ È

Å





1 Jl+1/2 (z ) cos z - (l + 1) , 2z z 2 1 J-l-1/2 (z ) sin z - (l + 1) , nl (z ) = (-1)l+1 2z z 2 jl (z ) = hl (z ) = jl (z ) + inl (z ) = eiz z i l+
l 1 n=0

ÄÅ ÄÅ
= i
- l- 1

(l + n)! (-1)n 1 e n!(l - n)! (2iz )n z

iz -( i/2)(l+1)

z

eiz .

Ä ÌÅ


l


dö
0 l= 0 m = - l

u(r, , ) =

Ylm (, )[Cl+ (ö)jl (ör) + Cl- (ö)nl (ör)]. m m

Ä ÍÅ

Ê

Ê



È

È


Ê



Ê


2





Ä ÎÅ Ä ÎÅ

ö G(r ) + G(r ) = - (r)

ÄÍÊ

ÅÄ

Å Ä ÏÅ

1 1 2 - G(t, r ) = (t) (r ). 2 t2 v v



G(r ) = v
-

e

i t

G(t, r )dt.

ÄÅ È È 

È
- 2 Ê

É È  
G(r ) = v
-

È

Ê



1 1 (v t - r)dt = e 4 r 4 r

e

i t

iör

. G(r - r0 )

ÄÅ

È
r |r - r0 | =
2 r2 + r0 - 2r r0 =

È
2 r2 + r0 - 2rr0 cos ,

ÄÅ

Ê


cos = cos cos 0 + sin sin 0 cos( - 0 ).

ÄÅ


G(r - r0 ) = r< r>


iö eiö|r-r0 | = 4 |r - r0 | 4 r 2 2l + 1 r0 Ê ?
l m =0
Ê





(2l + 1)Pl (cos )jl (ör< )hl (ör> ),

ÄÅ É

l= 0


Pl (cos ) =

Ä

Å

(2 -

m0

)Plm (cos )Plm (cos 0 ) cos(m[ - 0 ]).

ÄÅ È
r È

Ê

?

e

iör


/r e

-iör

ÄÅ /r Ê

Ä ÌÅ

È



Ê

Ê





È

É Ä ÌÅ

u(r ) e
-i t

f

d vr

(, ) f exp(iör) + r

con

(, ) exp(-iör). r

È
f
d vr


(, ) f exp(-i[ t - ör]) + r
con

u(t, r )

(, ) exp(-i[ t + ör]). r

Ä ÍÅ È É

?

È Ä r = r + t/ö = r + v tÅ Är = r - v tÅÊ È Ê È Ê

È





È


ÿÊ
Ê ÍÊ È
r
Ê

?

Ê

È

È

Ê

É Ê Ê Ä ÎÅ

?

E = E0 exp(-i t). 0 E0 = (b1 + ib2 ) exp(i0 ), b1 b2 = 0. b
1

b2 È

Ä ÏÅ

È

Ä ÏÅÈ
0 0 ER = b1 cos 0 - b2 sin 0 , EI = b1 sin 0 + b2 cos 0 .

ÄÅ ÄÅ

È

0

Ê

Ê

b

1

b

2

È

0 0 0 0 b1 = ER cos 0 + EI sin 0 , b2 = -ER sin 0 + EI cos 0 .

È
0 0 00 b1 b2 = [(EI )2 - (ER )2 ] cos 0 sin 0 + ER EI (cos2 0 - sin2 0 ) = 0.

ÄÅ

È
tg 20 =
0 ER 0 EI Ä 00 2ER EI 0 0 (ER )2 - (EI )2

È
, 0 = /4ÅÊ

ÄÅ

0 È

Ä Ê

É È

È

È

0 0 (ER )2 = (EI )2 Å b1

È

/2Ê b2 È

È Ê ÄÅ

E = (b1 + ib2 ) exp(-i( t - 0 )).

?

È


Re E = b1 cos( t - 0 ) + b2 sin( t - 0 ).

Ä ÎÅÈ

È ÄÅ Ê? É É É

? È ÅÊ

È

È
b
1

Ê

b1 b b2

2

È
1

Ä È ÅÊ Ê Ê Ê È Ä ÎÅ È È Ä ÎÅ

b

b2 È

È

È

Ä

b

1

b

2

ÅÊ

Ä

È

ÎÊ

Ê

È
E = E0 (t) exp(-i t).

Ä ÌÅ É È

E0 (t) = 5000

Ê

É Ê È È Ê = 2 c/ = 6.28 Ç 3 Ç 1010 /(5 Ç 10-5 ) = 3.6 Ç 1015 È


Í

Ê

10

15

È Ê Å È

Ê

Ê?

É Ê È Ä É É É

Ê ?

(x, y )

È Ê
E

È
E= b
1

Ê

Ex Ey b2 È

=

0 Ex (t) 0 Ey (t)

e

-i t

.

Ä ÍÅ Ê É É

Ê ÏÊ


Ê

0

c c S= EE = 8 8

|Ex |2 Ex Ey

Ex Ey |Ey |2

.

Ä ÎÅ È È

Ä Ä

È É Ê

Ê? Å

Ä Å Ä ÎÅ
1 S= 2 I +Q U + iV

Ä ÎÅ

Å Ê Ê

È

È

É É

U - iV I -Q

. I , Q, U, V Ê

Ä ÏÅ Ê É

c c (|Ex |2 + |Ey |2 ), Q = (|Ex |2 - |Ey |2 ), 8 8 c c U= (E Ey + Ex Ey ), V = i (Ex Ey - Ex Ey ). 8 x 8 I=

ÄÅ ÄÅ Ê È

Ê Ê È



È È

Ê?

É È

Ê Ê Ê? É È

Ê

ÍÅ ?
det S =

Ê
c2 [|Ex |2 |Ey |2 - |Ex Ey |2 ] 0. (8 )2

È

É

È

Ê

É É

ÄÅ Ä  È Ä

È ÅÊ

ÅÈ Ä

Å ÄÅ

È

Ê

È

4 det S = I 2 - Q1 - U 2 - V 2 0.

ÄÅ

Ì


È Ä ÎÅ Ä Ê ÊÅ È Ê È Ä ÅÅ

 Ê? ÅÊ Ê È È Ê È È Ä ÏÅ
IÊ

ÄÅ

È

È Ê È

È

ÄÅ Ä Ê

È È

È

È Ê È È Ä ÏÅ Ê

Ê È

È

È Ê ÊÈ

Ê

É É

Å Å Å Å  Ê

I 2 - Q2 - U 2 - V 2 È

Ê

É É

È
VÈ

È

Ê

È

Ê Q2 + U 2 Ê

Ê È È
e1 = cos e1 + sin e2 ,

É É

Ê Ê
Ê

È Ä Å

Ê

È ÄÅ

e2 = - sin e1 + cos e2 .



Ê

ÈÊÊ


E = A()E ,



Ê

È ÄÅ

Ä
A() = cos sin - sin cos

Å
.

ÄÍÌÌÅ È É

È
S = A()S AT ().

ÄÍÌÍÅ
Ê

È

È È
I Q ^ = L() U V I Q U V 0 0 . 0 1

È

É

È

ÄÍÌÎÅ

È

1 0 c ^ L() = 0 - 0

0 0 os(2) sin(2) sin(2) cos(2) 0 0

ÄÍÌÏÅ

Í


Q2 + U 2 Ê

Ê
Ê

I

VÈ

È

Ê Ä È Ê È Ê È È Ê È Ä ÍÅ
Ex

Å Ê È Ê

Ê

È Ê Ê È É É È È È È É Ê È Ä


Ê È

È Ê Ê È È È
Ex Ey ei

Ê

È

È

È

È


È
xÊ

90

Ê

Ä ÍÅ Ey È
I ( , )

È



Å

É È Ê ÄÍÌ Å É È ÄÍÌ Å

E =

.

È

Ê
l= co s sin l E Ê ?
2

È

.

È
I ( , ) =



È



É

c c l (E + E ) (Re l E )2 = 4 16

=

c (l E )2 + (l E )2 + 2(l E )(l E ) . 16 e
-2i t

ÄÍÌ Å È É


e
2i t

Ê

Ê Ê

Ê È
l

È
È
= l E ,

Ê

Ê


i

l E = cos Ex + sin Ey e co s sin e-

ÄÍÌ Å ÄÍÌ Å

l =



.

?
l E = cos Ex + sin Ey e -i

= E l .

ÄÍÌ Å É ÄÍÍÌÅ

È

È
(l E )(l E ) = (l E )(E l ) = l (E E )l .

Î


Ä ÎÅ
I ( , ) = l S l .

ÄÍÍÍÅ

?

È
I ( , ) = V

Ê

ÄÍÍÍÅ

Ä ÏÅ

È ÄÍÍÎÅ

1 [I + Q cos 2 + U sin 2 cos - V sin sin ]. 2

È
Ê

Ê È Ê? È È
b co s sin , b2 = b
2 1

Ey È

Ex Ê

Ê ÍÅ È ÎÅ

È

È

Ê È

È

É È

Ê È Ê

È Ê

Q = U = V = 0È

Ê

Ê
b1 = b
1

Ê

È

È

É É

b

2

- sin co s

.

ÄÍÍÏÅ Ê

b

1

b

2

È Ä

Å

c c b1 cos + ib2 sin (b1 cos - ib2 sin b1 sin + ib2 cos ) = (b1 + ib2 )(b1 - ib2 ) = S= b1 sin - ib2 cos 8 8 2 2 c b2 cos2 + b2 sin2 (b2 - b2 ) cos sin - ib1 b2 1 1 . = 2 2 2 (b1 - b2 ) cos sin + ib1 b2 b1 sin2 + b2 cos2 8 2 c2 c2 (b + b2 ), Q = (b - b2 ) cos 2, 2 2 8 1 8 1 c2 c U= (b - b2 ) sin 2, V = 2b1 b2 . 2 8 1 8

ÄÍÍ Å

I=

ÄÍÍ Å ÄÍÍ Å

Ä V = 0Ê Å ? È

ÏÅ

Ê Ê È

Ê ÅÊ È È È
Ê

È

b

1

b

2

È

Ê Ê È

È

Q = U = 0Ê

È

Ê Ê Ê È Ê


É

Ê Ê É È È Ê Ï È Ê

È

È Ê
b b

È

Ê
1

È

2


ÍÅ ÎÅ ÏÅ
/2Ê

È
VÊ


b2 Ê

Q

UÊ

È

È
b

b b2 È

1

b

2

1

Ê

b

1

È È É Ê È

Ê

Ê Ê Ê? ÍÅ

Ê

È Ê
Rd I Q Q U = U + (I - Rd V V

È Ê È

Ê

É

Rd =

Q2 + U 2 + V 2 Ê

È

1 0 ) , 0 0

ÄÍÍ Å

Ä ÎÅ

Å


Ê


Ê? Ê


É

I Rd Rd Q I + Rd Q I - Rd -Q U = 2Rd U + 2Rd -U V V -V

.

ÄÍÍ Å Ê È È

È È ÍÌÊ
Ê

È Ê ?

Ä

ÅÈ

Ê

È

É È É É ÄÍÍ Å

Ê È
p P= p
s

Ê

PÈ

rd V Rd , p = , ps = , rd = I I I

Q2 + U 2 ,

È

È

s Ê tg 2 = U /Q, tg s = V /rd .

ÄÍÎÌÅ

ÿÊ
ÍÊ
Ê

È Ê Ê



Ê Ê Ê

È Ê Ä ÅÈ Í È È

È

Ê? È

È É

?

Ê

? 2.7

Ä

È

ÅÊ Ê ? Ê

Ê

?

ÈÊÊ

É


È

È ÄÍÎÌÅÊ

Ä

Å
x y x

Ê

Ê?
I, Q È UÊ É

ÄÍÍ Å

È
dy = tg . dx

ÄÍÎÍÅ

?
tg = 1 + tg2 2 - 1 , tg 2 Q2 + U 2 - Q . U È

ÄÍÎÎÅ

dy = dx

ÄÍÎÏÅ È É

È

ÎÊ È Ê



Ê

ÍÅ y = y0 /xÊ ÏÅ

r = r0 Ê Å

Ê Å y = y0 x2 È Å y = (y0 +ln |x|)xÈ Å y = y0 xÊ ÎÅ r = r0 e Ê Ê ÍÎ

Ê



Ê ÍÎÊ



Ê

Ê ÏÊ
Q U
Ê

Ê Ä

È

ÄÍÎÏÅ Å

È

È Ê

É

Q = qx x + qy y , U = ux x + uy y .

ÄÍÎ Å


x=

ux Q - qx U uy Q - qy U , y=- , d = qx uy - qy ux . d d

ÄÍÎ Å


uy = 0Ê È



uq uy = 0È ux = 0 pÈ

È
x y IÈ Ê Ê

Ê r = pI È

Ê

È d=0

Q = r cos 2, U = r sin 2.

ÄÍÎ Å ÄÍÎ Å


dQ = dr cos 2 - 2r sin 2d, dU = dr sin 2 + 2r cos 2d.

?

dy dx

r

Ê

ÄÍÎÍÅ ÄÍÎ Å

ux dQ - qx dU ux (dr cos 2 - 2r sin 2d) - qx (dr sin 2 + 2r cos 2d) dy =- = tg = - . dx uy dQ - qy dU uy (dr cos 2 - 2r sin 2d) - qy (dr sin 2 + 2r cos 2d) tg = t

ÄÍÎ Å

È ÄÍÎ Å

qy t3 + (qx - 2uy )t2 - (qy + 2ux )t - qx N (t) 2 d ln r = = . 2 u t3 + (u + 2q )t2 - (u - 2q )t - u dt 1+t y D(t) x y y x x

Ä

D(t) N (t) =



t

1Å

2 [qy t3 + (qx - 2uy )t2 - (qy + 2ux )t - qx ], uy ux + 2qy 2 uy - 2qx ux D(t) = (1 + t2 ) t3 + . t- t- uy uy uy

ÄÍÏÌÅ ÄÍÏÍÅ
ÁiÈ

?

Ê

t 1 , t2 , t3 Ê

D(t)

ÄÍÎ ÅÈ

D(t) = (1 + t2 )(t - t1 )(t - t2 )(t - t3 ).

ÄÍÏÎÅ ÄÍÎ Å ÄÍÏÏÅ

Ê

Ê

È
1 2 3 2t N (t) + + + . = D(t) 1 + t2 t - t1 t - t2 t - t3


1 = -

È



È

(1 + t2 ) (1 + t2 ) (1 + t2 ) 1 2 3 (1 + t2 t3 ), 2 = - (1 + t1 t3 ), 3 = - (1 + t1 t2 ). (t1 - t2 )(t1 - t3 ) (t2 - t1 )(t2 - t3 ) (t3 - t1 )(t3 - t2 ) D(t)Ê ux = t1 t2 t3 , uy qx 1 = (1 + t1 t2 + t2 t3 + t3 t1 ), uy 2

ÄÍÏ Å

?

ÄÍÏ Å

1 qy = - (t1 + t2 + t3 + t1 t2 t3 ); uy 2

N (t) = -(t1 + t2 + t3 + t1 t2 t3 )t3 + (t1 t2 + t2 t3 + t3 t1 - 3)t2 + (t1 + t2 + t3 - 3t1 t2 t3 )t - (t1 t2 + t2 t3 + t3 t1 + 1); ÄÍÏ Å

È

ÄÍÎ Å
d = qx uy - qy ux =

2 uy (1 + t1 t2 )(1 + t2 t3 )(1 + t3 t1 ). 2

ÄÍÏ Å
qy . uy

1 + 2 + 3 = -2, t1 1 + t2 2 + t3 3 = -(t1 + t2 + t3 ) - t1 t2 t3 = 2

ÄÍÏ Å

?
1 2 3 =
2 (1 + t2 )(1 + t2 )(1 + t3 ) 1 2 (1 + t1 t2 )(1 + t2 t3 )(1 + t3 t1 ). 2 (t - t )2 (t - t )2 (t1 - t2 ) 2 3 3 1

ÄÍÏ Å


ÄÍÏÏÅ

ÄÍÎ Å
3

r = r0 (1 + t2 )
j =1 3 j =1

|t - tj |j .

ÄÍ ÌÅ

r=

r0 cos2

| tg - tg j |j .

ÄÍ ÍÅ È
= Á /2È

È ÄÍÏ ÅÊ Ê
0 2 = Ê 2

È

È

Ê

ÄÍ ÍÅ Ê
Q U

Ê

É É

È
x = cos , r È

xy Ê y = sin

ÄÍ ÎÅ

ÄÍÎ Å ÄÍ ÏÅ

r cos = qx cos + qy sin , r sin = ux cos + uy sin .

=

r |d| =

2 2 ((u2 + u2 ) cos2 + (qx + qy ) sin2 - 2(ux qx + uy qy ) cos sin = x y

r
2 (qx

+ u ) co

2 x

s2

+

2 (qy

+ u ) sin2 + 2(qx qy + ux uy ) cos sin
2 y

ÄÍ Å

tg =

Ê Ê  t 1 > t2 > t 3 Ê


È È

È

qx tg - ux , uy - qy tg

tg =

ux + uy tg . qx tg + qy

ÄÍ Å È É É Ê ÄÍ Å

Ê
Ê

È


t
j

Ê

2 ÊÊ 1 + t2 t3 1 + t 1 t2 Ê ? ÍÅ 0 < t3 < t2 < t1 Ê È d > 0Ê ÎÅ t3 < 0 < t2 < t1 Ê

1 2 3 < 0, > 0, < 0, 1 + t2 t3 1 + t3 t1 1 + t 1 t2 1 + t 3 t1 È 1 3 Ê ÄÍÏ Å (1 2 3 ) 1 + t1 t2 > 0 3 < 0Ê d>0 d<0 d>0 1 < 0Ê d>0 d < 0È d>0 (- - -) (+ - -)Ê (- + -) (- - -) (- - +)Ê (- + -)

(- + -)Ê



j

Å Å Å ÏÅ t3 < Å Å Å Å t3 <

1 + t 3 t1 > 0 È 1 + t 3 t2 > 0 È 1 + t 3 t1 < 0 È 1 + t 3 t2 > 0 È 1 + t 3 t1 < 0 È 1 + t 3 t2 < 0 È t2 < 0 < t 1 Ê 1 + t 2 t3 > 0 1 + t 1 t3 > 0 1 + t 1 t2 > 0 È 1 + t 1 t3 < 0 È 1 + t 1 t2 > 0 È 1 + t 1 t3 < 0 È 1 + t 1 t2 < 0 È t2 < t1 < 0 Ê

Èd>0

(- + -)Ê


È È

È É

d Ê? Ê?

È ÈÊÊ Ê


È

É

? È t2 = a + bi, t3 = a - biÈ

t1 = cÈ

1 = -(1 + c2 )

É
R=

È

1 + a2 + b 2 < 0, (a - c)2 + b2

ÄÍ Å

2 + 3 1 (a2 + b2 - 1)(c2 - 1) + 4ac , = 2 2 (a - c)2 + b2 2 - 3 c[(a2 + b2 )2 - 1] - a(c2 - 1)(a2 + b2 + 1) M = -b . = i (a - c)2 + b2

ÄÍ Å ÄÍ Å



ÄÍÎ Å
r = r0 (t - t1 )1 (1 + t2 )[(t - a)2 + b2 ]R e (t) = b 1 arctg . b t-a ÄÍ ÌÅ È
-M (t)

,

ÄÍ ÌÅ ÄÍ ÍÅ È

?

Ê Ê

Ê? Ê Ä ãá è ÅÊ
Ê

M

ÈÊÊ È

É É É

d<0 d>0

Äç Ä

È

à ÅÈ ÅÊ

È

Ê È
20

?
D(t) = (1 + t ) t(t + 2q - 1), t1 = 0È
2 2

q x, U = y , q = 0Ê

q<0
40
10

È

0 < q < 1/2

Q= ÄÍÎ ÅÈ 2q 1-q 1 = È 2 = 3 = - Ê 1 - 2q 1 - 2q È q > 1/2 Ê
40 20

20

0

0

0 -20

-20
-10

-40
-20 -20 -10 0 10 20

-40 -40 -20 0 20

-10

0

10

20

30

40

50



Ê ÍÏÊ

È

Ê

Ê ÍÏ ÍÅ ÎÅ ÏÅ ? È

2 q = -1, t2 = 3, t3 = - 3, 1 = 2 = 3 = - È 3 q = 1, t2 = i, t3 1 q = 1 / 4 , t2 = , 2

È

Ê

È

r0 Ê | sin(/2)[sin (/2) - 3 cos2 (/2)]|2/3 r0 = -iÊ 1 = -2È 2 = 3 = 0 r = Ê sin2 (/2) | sin(/2)| 1 3 r = r0 Ê t3 = - , 1 = 1, 2 = 3 = - 2 2 | sin (/2) - (1/2) cos2 (/2)|3/2 2 È r0 È È È Ê Ê r=
2

qÊ

, rÊ

É


Ê È q = 1/2

Ê

È
Q U yÊ q = 0Ê

ÄÍÏÍÅ
r = r0 /| cos(/2)|È

Ê

É

Ê
r=

D(t) = (1 + t2 )t3 , N (t) = -3t2 - 1
(1/2) ctg(/2)

r0 e sin2 (/2)

.

ÄÍ ÎÅ È Äá è ãæÅÊ É É Å

È Ê
N (t) = -(t + 3t - t + 1)È
3 2

Ä

Q = (x - y )/2, U = y Ê r= r0 e [cos(/2) - sin(/2)]2

D(t) = (1 + t2 )t2 (t - 1)È

- ctg(/2)

.

ÄÍ ÏÅ È È ÅÊ

È
40

2 Ê
50 40

È

Ääàãé

20

30 20

0

10 0

-20

-10 -20

-40 -20

0

20

40

60

80

100

-30 -20

-10

0

10

20



ÊÍ Ê

Ê

È

Ê

ÊÍ Ê

ÿÊ
ÍÊ
É Ê

= Å = 1Ê

?

Ê?

Ê

È

È

Ê

È

T

Å
MW

=-

1 A A 1 A A =- . 4 x xÅ 4 x xÅ

ÄÍ Å È ÿ  ÄÍ Å

É
T
Å

=

1 4

-F



F

Å

1 + (F 4



F )g

Å

.

?É

È

(F



F ) = 8(H 2 - E 2 )

È Ê? É

È

ÄÍ Å

4 T

Å

= F F

Å

=

A A - x x

AÅ A - x xÅ

=

A AÅ A A A AÅ A A - - + . x x x x xÅ x x xÅ

ÄÍ Å

ÄÍ ÅÅ
4 (T
Å

Ä
-T
Å
MW

)=

A AÅ A A A AÅ - + . x x x x x xÅ

ÄÍ Å


4 (T

Å

-T

Å
MW

)=

A 2 A A A 2 A 2 A AÅ - AÅ - AÅ + A + AÅ - A . x x x xÅ x x x x x xÅ

ÄÍ Å

È
2 A = x x A = 0, A = 0. x

ÄÍ Å Ê Ê È

? È Ê ÄÍ ÅÊ È

È ÄÍ Å É

Ê

È É
xÅ

È Ê? É È

É É É É

ÄÍ ÅÊ È

È

È

Ê ÎÊ

Ê

A = ae

-i ö r

= ae

-i(öct-ör )

,

ö=

, c

ö = ön .

ÄÍ ÌÅ

a=a e
()

(0)

e

(0)

+a

(1)

e

(1)

+a

(2)

e(2) + a

(3)

e(

3)

=a

()

e() ,

ÄÍ ÍÅ

Ê
e() e(
)

=g



.

ÄÍ ÎÅ

È
e
(0)

öÈ = {1, 0}, e(
1)

= { 0 , e1 } ,

e

(2)

= { 0 , e2 } ,

e

(3)

= { 0 , e3 } ,

ÄÍ ÏÅ

Ä
e1 = (cos cos , cos sin , - sin ),

Å
e2 = (- sin , cos , 0), e3 = (sin sin , cos sin , cos ).

ÄÍ Å
e
2

È

e

0

È öÈ
e1 e
2

e

3

Ê ?

È

È

È

Ê È öe 1 = öe 2 = 0 È ö e1 = ö e2 = 0 Ê a() (0) Äa( Äa ÅÈ Ä
A = -iö A = 0 ,

È
1)

e

1

É Äa
(3)

a

(2)

Å

È

È

Å

Ê



É Å

ÄÍ Å
(0)

ö a = öa

(0)

?
ö a = öa
(0)

ÄÍ ÍÅ
- ö a = öa
(0)

- ö a = 0 , ö a = öa

.

ÄÍ Å

ÄÍ

Å

- öe 3 a

(3)

= [ö e(0) ][a

(0)

-a

(3)

] = 0, a

(0)

=a

(3)

.

ÄÍ Å

?
E=- A - A0 = i(öa - öa x0
(0)

)e

-i ö r

, H = r o t A = i ö ç ae

-i ö r

.

ÄÍ Å

Ì


ÏÊ
E E =ö
2

Ê

a a +a



(0) (0)

a

-ö a

(0)

a -a

(0)

a ö=ö

2

a
2

(1) (1)

a

+a

(2) (2)

a

+a

(3) (3)

a

+a

(0) (0)

a

- 2a

(0) (0)

a

ÄÍ Å ÄÍ ÌÅ

ÄÍ Å ? Ê
|E |2 = E E = ö |a
(1) 2

| + |a

(2) 2

|

.

|H |2 = H H = (ö ç a)(ö ç a ) = ö2 a a - (ö a) (ö a ) = ö2 (a a - a0 a0 ) = ö

2

|a

(1) 2

| + |a

(2) 2

|

ÄÍ ÍÅ

w= c c E ç H = 4 4

|E |2 + |H |2 ö2 |a = 8 4 ç (ö ç a ) =

(1) 2

| + |a

(2) 2

|

.

ÄÍ ÎÅ


S=

öa - öa

(0)

È
S=

È
c öö |a 4 a
(0) (1) 2

c ö ö a a - ö a a 4 ÄÍ Å
(2) 2

(0)

-a

ööa - ö2 a

(0)

ÄÍ ÏÅ

Ê

| + |a
(3)

|

ö = cw , ö

ÄÍ Å É
a
(0)

=a

= 0Ê
Ê

È

Ê

?

Ê Ê?

È È



a

(1)

a

(2)

È

È Ê È

(Re A)2 =

12 a +a 2R

2 I

Ä ÏÅ 1 1 = A A = (aR + iaI ) (aR - iaI ). 2 2
2

ÄÍ Å
2 2

a2 = a R

() R e()

a

( ) R e( )

=a

() ( ) R aR g

=a

(0) R

-a -a

(1) R

2

-a

(2) R

2

-a

(3) R

2

=- a

(1) R

-a

(2) R

. ÄÍ

Å

È
A A = a a = - a
(1) R 2

È
(1) I 2

-a

(2) R

2

-a

(2) I

2

= -|a

(1) 2

| - |a

(2) 2

|.

ÄÍ Å Ê

?

É

È
Å
MW

T

=-

1 A A , 4 x xÅ

ÄÍ Å Ê


È
A =a e x x
-iö x


È
= -iö ae
-iö x

= -iö A,

ÄÍ Å ÄÍ ÌÅ

A A = ö öÅ AA . x xÅ

È
T
Å
MW

?
T
00
MW

È
= 1 ö 4
2

=-

1 Å ö ö ö ö A A= 4 4
0k
MW

Å

|a1 |2 + |a2 |2 . ök 1 2 ök Sk |a1 |2 + |a2 |2 = w ö = , 4 ö ö c cÅ Ê T 11 Ê

ÄÍ ÍÅ

|a1 |2 + |a2 |2 =

|E |2 + |H |2 = w, 8

T

=

ÄÍ ÎÅ Ê

È

ìÈ

T 00 È T

01

È

Ä
=T
10

Í




Ê

ÿ ÍÊ
ÍÊ
Ê



e r = r0 (t).

È

Ê

É ÄÍÅ


(r , t) = e (r - r0 (t)), (r , t) = (r , t) r (t). 0

ÄÎÅ Ê É

tÊ ?

É
r t

Ê
r

Ä

Ê Í ÅÊ

È

Ê

.
ÊÍ Ê È

R0

r0 (t1 )

r

Ê

= 4 ,

A=

4 , c

ÄÏÅ

=

È
= (r1 , t1 )

1 2 - . c 2 t2 A= 1 c (r1 , t1 ) d3 r1 . |r - r1 |

ÄÅ

d3 r , |r - r1 | t
1

ÄÅ È

Ê È ÄÅ

È
t
1

È

c (t - t1 ) = |r - r1 |.

ÄÅ ÄÎÅÊ



È
d3 r1 . |r - r1 | t

(r , t) = e

(r1 - r0 (t1 ))

ÄÅ

È

È



c (t - t0 ) = |r - r0 (t0 )|. 1 1

ÄÅ

ÄÅ
(r , t) = e R0 (r , t0 ) 1 (r1 - r0 (t1 ))d3 r1 .

ÄÅ

Î


È
R0 = R0 (r , t0 ) = r - r0 (t0 ), R0 = R0 (r , t0 ) = |R0 | = |r - r0 (t0 )|. 1 1 1 1 e 0 r0(t1 ) R0

Ä

ÊÍ Å ÄÍÌÅ

A(r , t) =

(r1 - r0 (t1 ))d3 r1 .

ÄÍÍÅ Ê Ê? Ä ÅÊ ? È

È ÎÊ ÍÅ
?

È Ê
Ê

r0

È ÄÅ Ê
r1 - r0 (t - |r - r1 |/c) = r2 .

Ê ÄÍÎÅ
r2

r1 Ê

È


È

x (x - x1 ) x (y - y1 ) x (z - z1 ) 0 0 0 1 y0 (x - x1 ) y0 (y - y1 ) y0 (z - z1 ) , 1- c|r - r1 | z0 (x - x1 ) z0 (y - y1 ) z0 (z - z1 )

ÄÍÏÅ
t - |r - r1 |/cÊ

È

È
s = R0 - R0 ,

Ê
=
r0 . c

1-

s r0 R0 = , c R0 R0

ÄÍ Å

É (r1 - r0 (t1 ))d3 r1 = (r2 )d3 r2 R0 R0 = . s s É

ÄÍ Å È  ÄÍÊ Å

È ÎÅ ?



È È Ê

t

1

t0 Ê 1

È

ÄÍÊ

Å



(r , t) = 4 e =

d3 r1 cdt1 (r1 - r0 (t1 ))

e |r - r0 (t0 )| 1

1 (t1 - t + |r - r0 (t1 )|/c) (c(t - t1 ) - |r - r1 |) = e dt1 = 4 |r - r1 | |r - r0 (t1 )| e 1 e dt1 ( ) ÄÍ Å = . = d ( ) d d |r - r0 (t0 )| |r - r0 (t0 )| 1 - R0 /R0 1 - R0 /R0 1 1 = t1 - t + |r - r0 (t1 )| , c
1 r0(t1 ) d = 1- . dt1 c |r - r0 (t1 )|

t

1

ÄÍ Å É

ÏÅ

Ê? É

È

Ê?

È A = {, A}Ê ? É
= e , A = 0. R0

È

ÄÍ Å Ê Ê ÄÍ Å

R0 = {c (t - t0 ), r - r0 (t0 )} = {R0 , R0 } 1 1

Ï


...
ÊÍ Ê

.

...
È

.

Ê

b-a a a b a a-b

a a-b b a



ÊÍ Ê



È

Ê

?

È È
v R0 Ê

v = c{0 , 0 },

0 = (1 - 2 )-

1/2

.

ÄÎÌÅ Ê Ê
vÈ

È
A

È

È
A= e e v = {1, }. v R0 s

R0 Ê

Ê?

ÄÎÍÅ Ê c(t - t1 )È Ê È Ê Í ÅÈ È È È
bÊ

Å Ê Ê Í ÅÊ

Ê

Ê t1 = - Ê

È rÈ t

t

1


t1 = t



È

r

È

Ê



ÄÅ r1
t
1

Ä
aÈ

È Ê Ê?

È È É Ê È Ä



Ê

È Ê È

È aÊ

É



È È b - aÈ

Ê? È



bÊ

b-a b = . c v 1 b = . a 1 - v /c

ÄÎÎÅ ÄÎÏÅ Ê ÄÅ È

ÄÎÏÅ v

È


?

È
b a-b b 1 = , = . c v a 1 + v /c v



Ê

É ÄÎ Å

a 0Ê

Ê È
e (r , t) = , s

È È


a

?

Ê È

ÄÎÍÅ
A=
e r0(t1 ) , cs

s = R0 (r , t1 ) - r0(t1 ) R0 (r , t1 )/c,

R0 (r , t1 ) = r - r0 (t1 ).

ÄÎ Å

t0 È 1

Ä ÅÈ
c(t - t1 ) = R0 (r , t1 ).

È ÄÎ Å Ê

ÿ ÎÊ
ÍÊ Ê
E=- t rÈ x, y , z È 1 A - , H = ç A. c t ÄÎ Å t1 Ê Ê?É È
È Ê

ÄÎ ÅÈ

ÄÎ ÅÈ

É

ÄÎ Å È
t t

É

È È



t1 Ê

t1 È



Ê

1

2 R0 R0 1 R0 R0 R0 R0 R0 = -r0(t1 ) = -c , = = =- r0(t1 ) = - c . t1 t1 2 R0 t1 R0 t1 R0 R0

ÄÎ Å

?

t

1

r0 (t1 ) = = . t1 c s R0 R0 R0 = - - R0 = - c + c 2 - R0 . t1 t1 t1 t1 R0 t
1

ÄÎ Å

s =

ÄÏÌÅ ÄÏÍÅ

ÄÎ Å

tÊ

Ê
1- t1 t , t1 R0 1 . = = t s 1 - R0 /R0 R0 t R0 , =1- . R0 t1 R0

R0 t1 R0 = =c t t1 t

R0 =c t1

t -1 t1 t
1

= -c t

ÄÏÎÅ Ê t

È Ê

Ê

È

t

t

1

t1 È


Ê
r

È ÄÎ Å
t1 = -

t1 Ê

È



t1 Ê

R0 =

R0 R0 + t1 = -c t1 , R0 t1

R0 R0 1 =- . c R0 1 - R0 /R0 cs

ÄÏÏÅ

?
s = R0 - + s t1 , ç = t1 ç . R0

ÄÏ Å

È ÎÊ
? Ê

Ê Ê
E=- 1 t1 1 1 A - = e 2 s - c t s c t 1 1 - 2 s s s = =


Ê

ÄÏ Å

=

e s2 e s3

1 R0 R0 R0 R0 c 2 - R0 - c - R0 + -- c 2 - R0 - c R0 cs c cs R0 R0 - R0 s - R0 2 + R0


=-



R0 R0

+ R0 2 - R0 +

1 R0 R0 c

-

1 1 - R0 s - R0 R0 c c +

=-

e R0 [R0 - R0 + ( R0 ) - R0 2 - ( R0 )+ s3 R0

R0 1 2 R0 (R0 ) - R0 + R0 ( R0 ) - ( R0 ) + R0 2 - ( R0 ) + R0 c e e -R0 (R0 ) ] = 3 (R0 - R0 ) (1 - 2 ) + 3 R0 ç [(R0 - R0 ) ç ]. s sc

Ê
1 1 11 = e [ + ç ] = e[- 2 s ç + t1 ç ] = s ss s s e R0 e R0 R0 = 2( ç + s t1 ç + s t1 ç ) = 2 [ ç - (c 2 - c - R0 )+ s R0 s R0 R0 H = e ç e R0 1 ç + R0 ç ] = - 3 [ c s R0 e - 3 [(R0 ) cs e = - 3 (1 - 2 )R0 ç - s (R0 - R0 ) - 2 R0 ç + ( R0 ) R0 ç ]- R0

R0 ç + (R0 - R0 ) R0 ç ] =

e [(R0 )R0 ç + (R0 - R0 ) R0 ç ]. c s3

ÄÏ Å È É

Ê
R0 ç E, R0

Ê? É

H=

ÄÏ Å
= 0È

Ê ?É
2 1/R0 È

Ê È

È

È 1/R0 Ê ?
2 1/R0 Ê

Ê?
R0

Ê? É

È

È È

s R0 È

È

È



È

È

È

R

0

Ê

Ê

È È


ÏÊ

Ê

Ê

È

?



È
R0 + c 2 - R0 R0 R0 - s

É

e e e s t1 e 1 + A = - 2 - 2 s + = - c t c s t1 t s s cs - e s2 R0 -- R0 - c R0 + c 2 - R0 R0


2

- c



e R0 R0 e R0 - R0 - c 2 - c = cs s cs c R0

R0 1 R0 - 3 - 2 = 0. ÄÏ Å s3 s s sÊ



Ê

È

Ê

ÿ ÏÊ
ÍÊ
Ê

aÊ ?

È


R = r - rc . x = x(t1 ) = r0 (t1 ) - rc = R0 (t1 ) - R.

É

rc Ê ?

È ÄÏ Å

?

Ä ÌÅ

È

|x| aÈ R = R0 - x, = 1 1 r0 (t1 ) = x (t1 ), c c (t1 ) = 1 1 1 r0 (t1 ) = x (t1 ) = w , c c c

Ä ÍÅ

w = w(t1 )

Ê
R , R

n=

R = |R|.

Ä ÎÅ È
|x| a RÊ



È

È

Ê
R0 = R2 + x2 - 2 R x = R

1 - 2 (x/R) n + (x/R)2 R [1 - (x/R) n] = R - x n. R-x R0 = n. R0 R0

Ä ÏÅ

ÄÅ

TÈ R = c (t - T ).

ÄÅ

ÄÎ ÅÈ Ä ÏÅ

ÄÅ

È
t1 - R 1 nx = T = t - . c c

ÄÅ Å
t

? t1 È

T

È

tÈ

t1 Ê

È

R / cÊ

Ä

n dt1 (1 - n ) = dt, t1 (1 - n ) = - , c 1 n 1 t t1 = 1 - n , t1 = - = , . t t1 c 1 - n 1 -n
Ê

ÄÅ

ÄÅ È È È

ÎÊ

È

È

1/R

0


1/R Ê

È
R0 R =

È
e R-R


, A= e R-R

Ê?

È



ÄÎ Å

ÄÅ

(t1 ) = t
1

1 (t1 ) e e , A(t1 ) = . R 1 - n (t1 ) R 1 - n (t1 ) e + n A(t1 ). R

Ä ÌÅ
Ê

È

É Ä ÍÅ

(t1 ) =





RÊ

È

Ê È


-1



É

r = r t1 È

r . r

Ä ÎÅ

È
= t r
1

Ê
Ê

1 n =- . t1 c 1 - n t1

Ä ÏÅ

ÏÊ

Ê
=- = - n , c t

È

Ä ÏÅ

Ä

Å

É ÄÅ ÄÅ

n A n , A = - . c t c t

È
n A e e (1 - n ) + (n ) , . = = t R (1 - n )3 t R (1 - n )3 1 1 n A + A = - = 0. c t c t c t

ÄÅ

ÄÅ É ÄÅ É

È
A=

È
e , R = {R, R}, R

È
= {1, }/ 1 - 2 .

Ê

Ê

?

Ê

E=-

?

1 A 1 1 A n 1 e [- (1 - n ) + (n - ) n ]. - = - + = (-A + n ) = c t c t c t c t R c (1 - n )3 H =çA=- n A 1 en [ (1 - n ) + (n )]. =- c t R c (1 - n )3 1 e n ç [(n - ) ç ] , cR (1 - n )3

ÄÅ

Ä ÌÅ

È



ÄÅ

E=

Ä ÍÅ


ÄÏ Å È È È
E =nç H = n ç E. n, E H

Ä ÎÅ È Ê

É

n n A , H=- ç A. ç c t c t

Ä ÏÅ Ê

Ê
H 2 /4 Ê
Ê

È

È

È

Ê

Ê

É w = E 2 /4 =

S=

c c E2 EçH = E ç (n ç E ) = c n = w c n. 4 4 4

ÄÅ

È

È

Ê

È

È ÄÅ

w w n S w n w + S = - = - c n = 0. t t c t t c t

ÿÊ
Ê
vÊ a = v /c v cÊ a/ v Ê = c/ c a / v Ê t
1

È
v cÈ aÊ È a/ c a/ v Ê È Ê

È

È Ê

Ê

È

È È Ê Ê? È

Ä ÅÈ
x

TÈ

È

Ê ?
T t
1

É

È È
nx . c



=

e 1 e = R 1 - n x (t1 )/c R

1+

ÄÅ

?
A=

x e e = x(T ) /c Rc 1 - nx Rc

ÄÅ Å Ä ÌÅÈ
e ç n. R c2



Ä

E= e e n ç (n ç ) = [n(n ) - ], 2 Rc R c2 H= d = ex H =nçE =

ÄÅ ÄÅ



1? d ç n, E = H ç n, R c2 rc Ê

Ê
w=

1 1 12 ? E= H 2 = 4 2 |d ç n|2 , 4 4 cR

Ä ÌÅ


S=

?

c c n c ? EçH = E ç (n ç E ) = |d ç n|2 = w c n. E2 n = 4 4 4 4 c3 R 2 È È È È Ä ÍÅ W () = 1 ?2 1? |d ç n|2 = |d| sin2 , 4 c3 4 c3 Ê È Ä ÎÅ e2 ? 2 W () = |x| sin2 . 4 c3 Ê

Ä ÍÅ Ê r2 È Ä ÎÅ



Ä ÏÅ Ê? È Ê É ÄÅ È



Ä ÏÅ

È

È



È
I = 2

Ê
sin d sin2 =
0



0

e2 ? 2 |x| 2 W () sin d = 4 c3

2 e2 ? 2 |x| . 3 c3

Ê

È

Ê È

Ê



É

ÿ Ê
ÍÊ ?
Ê

Ê Ê ÈÊÊ Ê

nÊ

È È È Ê

È

n È

Ä Ê

ÊÈ È

È ÍÅ È È Ê È

É É

Ê


cos = nn = ÅÊ

È È È

È

É Ê

? ÎÊ Ê



Ê
Ê

È

Ê

n

n È n n l
1

l
ÊÍ Ê Ê

1

Ì



l1 = n - Ån , l2 = nçn


É

1 - Å2

1 - Å2

,

l1 =

n - Ån



1 - Å2

,

l2 =

n ç n

1 - Å2

.

ÄÅ

l1 =

1 - Å2 n - Ål1 ,

l1 =

1 - Å2 n - Ål1 , l
2

l2 = -l2 .

ÄÅ È
l
2

ÊÍ Ê

Ê

Ê

É É ÄÅ

E = E1 l1 + E2 l2 ,

E = E1 l1 + E2 l2 .

Ê ÏÊ
Ê

Ê È È

È

È È

È Ê?

ÄÎÊÍ ÍÅÊ

Ê

?

Ê

? mx = - e E , m -e

E = E0 e

-i0 t

,

ÄÅ

Ê

È E0
e ? x = - E. m
Ê

È

x

ÄÅ
R

ÄÅ

Ê

?
E=- e ? n ç (n ç x). c2 R

Ä ÌÅ

È
E= re = e2 /mc
2

re n ç (n ç E ), R

Ä ÍÅ Ê ÅÊ Ä ÍÅ É Ä ÎÅ É

Ä Ê È

È

È
Ê



n ç (n ç l1 ) = n ç (-Ål2 ) = Ål1 ,

n ç (n ç l2 ) = -l2 = l2 .

E=

È

ÄÅ

Ä ÏÅÈ
E1 E2 = re A R

re (ÅE1 l1 + E2 l2 ). R È
E1 E2

Ä ÏÅ Ä
Å0 01

Å

Ê

,

A(Å) =

.

ÄÅ Ê É

Ê

È

Í


re /RÅÈ

È

È

È

È

Ä

Ê

É É

Ê Ê Ê
2 c re ? ? c r2 ? ? EE = A E (E ) A = e2 A S A . S= 8 8 R 2 R

ÄÅ È É ÄÅ

È
I=

2 re ^ R(Å)I . R2




I 2 Q re U = R2 V



Å2 + 1 2 Å2 - 1 2 0 0

Å2 - 1 2 Å2 + 1 2 0 0

0 0 0 Å 0 0Å 0

I Q . U V

ÄÅ

Ê

É È
R

R Ê
1.5 1.0

0.08

0.04
0.5 0.0 -0.5

0.00

-0.04
-1.0 -1.5 -2.0

-1.0


0.0

1.0

2.0

-0.08 -0.15
Ê

-0.10
È

-0.05

0.00

0.05

0.10
Ê

0.15

ÊÍ Ê

1 + cos2

( )/4
2 re /R 2

( ) sin /(4 )

È Ê

Ê

U

V

Ê?
Ê

È

È Ê R2 È È

Ê

È

È

Ê

È
(Å) =
2 re 2 (Å + 1). 2



ÄÅ È

Í
T = n

d2 n (Å) =

8 2 r. 3e

ÄÅ ÅÈ È
s e f (s) = e
- s - s

ne T ds dS/S = - dsÈ S = S0 e - s Ê È È È

Ê = ne T Ê

È

e

Ä ds
S0 È È s F (s) = 1 - e-s È Ä ÅÊ

É

SÈ

Ê

Ê

È È

Ê

Î




s=
0

s e

- s

ds =

1 1 . = ne T

Ä ÌÅ Ä ÍÅ

(Å) 3 3 1 = (Å2 + 1) = (cos2 2 + 1) = ( ) T 16 16 4

Ê È

4 ( )

( )È d2 n 3 = (cos2 + 1) sin d d 4 16

Ä ÎÅ
d2 nÊ

È

ÍÊ È ÊÍ
( )/(4 )

1 + cos2 È

ÊÍ Ê Ê?

ÊÍ sin ( )/(4 )Ê
re = 2.8 Ç 10
-13

?
2 re Ê



T = 6.65 Ç 10

-25

2

È

Ê
8/3

È

È È íîÊ È

ÿÊ
ÍÊ
Ê

È

Ê È

È Ê Ê



É



Ê

È
dx = {cdt, 0}, dP = {dP0 , 0} = I {dt/c, 0} = = (I /c2 ){cdt, 0} = (I /c2 )dx, I = (2/3)(e2 /c3 )w2 ,

È

dx = {cdt1 , dx(t1 ), } dP = {dP0 , P } = I {dt1 /c, dx(t1 )/c2 } = = (I /c2 ){cdt1 , dx(t1 )} = (I /c2 )dx(t1 ), I = (2/3)(e2 /c3 )(-w 2 ). Ä Å È Ä Ê Ê Ê ÅÊ
t1 È

Ä ÏÅ

Ê Ê Ê? Ê
I w

É

È



É É É

È È

È Ê

È É É

-w 2 Ê ?

Ê È

Ê

È
I= 2 e2 6 2 2 e2 6 2 [w - ( ç w)2 ] = w (1 - 2 sin2 ), 3 c3 3 c3 wÊ
Ê

ÄÅ



ÎÊ



È
I= 2 e2 3 c3 6 w2 , w , 4 w2 , w .

Ê?

É Ê ÄÅ

Ï


È
F= d dp = (m v ). dt dt

Ê ÄÅ

d d d = = 3 v w/( c) = 3 v w /c, dt d dt F = m w + m 3 ( w ) = m w w + 22 w w w

ÄÅ

.

ÄÅ

?
F = m w 2 , w, 1, w.

ÄÅ

Ä

Å

ÄÅ
I= 2 e2 |F |2 3 m 2 c3 1, w, 2 , w.

ÄÍÌÌÅ É



È

Í

1Ä

1ÅÈ

ÄÍÌÌÅ Ê

Ê Ê È Ê È È

Ê È Ê

È

È È ÏÊ
Ê


E= e n ç [(n - ) ç w ] . cR (1 - n )3
2

ÄÍÌÍÅ
d2 n tÈ

È
dI (n) = W d2 n =

n

e2 |n ç [(n - ) ç w ]|2 2 c 2 22 d n. E R d n= 4 4 c3 (1 - n )6 nÈ

ÄÍÌÎÅ É É

È
R t1 Ê

ÍÈ
tÊ tÊ

t1 È

t1 Ê ? t W

(t1 )È

n R

t

1

W

t/ t1 = 1 - n Ê

W (n) = (1 - n )W =

e2 w2 (1 - n )2 + 2(nw )( w )(1 - n ) - (1 - 2 )(nw )2 c22 . R |E | (1 - n ) = 4 4 c3 (1 - n )5 w Ä

ÄÍÌÏÅ

Å
çw w / w - co s / , e2 = e2 ( , w ) = , e3 = . sin w sin = e3 , w = w(sin e1 + cos e3 ).

e1 = e1 ( , w ) =

ÄÍÌ Å

ÄÍÌ Å



n = sin (cos e1 + sin e2 ) + cos e3 . n = cos , w = w cos , nw = wÅ, Å = cos cos + sin sin cos .

ÄÍÌ Å ÄÍÌ Å

È
dI (n) = W (n)d2 n, W (n) =
Ê


e2 w 4 c3

ÄÍÌÏÅÈ
1 co s 1 - 2 +2 Å- Å2 . (1 - cos )3 (1 - cos )4 (1 - cos )5

2

ÄÍÌ Å

Ê

Ä ÅÊ
1

ÄÍÌ Å

È

Im n ( ) =
-1

m d . (1 - )n

ÄÍÌ Å

Im n ( ) =

Im

-1 n

( ) - Im

-1 n-1

( )

,

Im n ( ) = n Im

+1 n+1

( ).

ÄÍÍÌÅ

È
2 (3 + 2 ) 6 , I0 5 = 2(1 + 2 ) 8 , 3 8 2 I1 3 = 2 4 , I1 4 = 6 , I1 5 = (5 + 2 ) 8 , 3 3 2 2 26 28 I2 4 = (1 + 3 ) , I2 5 = (1 + 5 ) , I3 5 = 2 (1 + 2 ) 8 , 3 3 2 4 2 2 4 10 = (5 + 10 + ) , I1 6 = (5 + 3 2 ) 10 , I2 6 = (5 + 38 2 + 5 4 ) 10 . 5 5 15 I0 2 = 2 2 , I0 3 = 2 4 , I0 4 =

ÄÍÍÍÅ

I0

6

È
2

È



Ê

d
0 1 0

sin d

1 co s 1 - 2 +2 Å- Å2 = (1 - cos )3 (1 - cos )4 (1 - cos )5 2 cos2 + sin2 1- 2
2

= 2
-1

d

cos2 1 - 2 1 +2 - (1 - )3 (1 - )4 (1 - )5

cos2 sin2 I0 5 - I2 5 = I2 5 - 2 2 2 8 8 1 1 = 4 4 + cos2 2 6 - cos2 6 (1 + 5 2 ) - sin2 4 = (1 - 2 sin2 ) 6 . 3 3 3 3 = 2 I0 3 + 2 cos2 I1 4 -

ÄÍÍÎÅ

Ä ÅÈ

e 2 w 2 / 4 c3 È dI (n) = W (n)d2 n = I .

IÈ

É ÄÍÍÏÅ

È
ndI (n)d2 n =

È
d2 nW (n)n = I .

ÄÍÍ Å
nÈ

È

ÄÍÍÎÅÊ

È

É


n

e2 È È

sin È
2

Ê
1 co s 1 - 2 +2 Å- Å2 = (1 - cos )3 (1 - cos )4 (1 - cos )5 cos sin 1 - 2 - cos sin = (1 - cos )4 (1 - cos )5

e1 Ê

É

sin2 d cos d
0 0 1

= 2
-1

d (1 - 2 )
1

ÄÍÍ Å

= 2 cos sin
-1

1 - 2 ( - ) = 2 cos sin [ (I0 5 - I2 5 ) - (I1 5 - I3 5 ) = 0. (1 - )5

È
Im
n

È

co s = Ê

È

È

ÄÍÍÎÅÈ



ÄÍÍÎÅ

cos2 sin2 I1 5 - I3 5 e2 2 = w 2 I1 3 + 2 cos2 I2 4 - I3 5 - 4 c3 2 2 2 e2 2 2 2 e2 2 6 = 3 w2 [2 4 + 2 cos2 6 (1 + 3 2 ) - 2 cos2 6 (1 + 2 ) - sin2 6 ] = w (1 - 2 ) = I . ÄÍÍ Å 2c 3 3 3 c3 d2 nW cos =

È Ê

ÄÍÍ Å
Ê

Ê È ÄÍÍÏÅ ÄÍÍ Å
1



È ÄÍÍ Å É ÄÍÍ Å ÄÍÍ Å

dP =

I dt I I dx(t1 ) = 2 {cdt1 , dx(t1 )} = dt1 {1, (t1 )} = c2 c c c

W d2 n{1, n}.

È
(t1 ) = (t1 ){1, (t1 )},


w(t1 ) = 2 { 2 w , w + 2 ( w ) }, ö = ö{1, n},

Ê

Å

É È È È ÄÍÍ Å

È

öÊ

Ä

ö

Ê

È

È

dP = - dt1 / È ö2 d2 n

e2 d1 4 c3

(ö )2 w2 + (ö w )2 2 2 ö d n ö. (ö )5

ÄÍÎÌÅ
d1 =

öÊ ?

È

Ê
ö

È

È

È
e2 ö3 (ö )2 w2 + (ö w )2 . 4 c3 (ö )5

É

dP = dt

1

d2 nW {1, 0},

W=-

ÄÍÎÍÅ È
= 0È Ä ÏÅÊ

Ê

w 2 = - w 2 , ö = ö0 , ö = ö0 , ö w = - ö 0 n w
Ê



ÄÍÎÍÅ È

Ê



W



||w W=

e2 2 sin2 w . 4 c3 (1 - cos )5

ÄÍÎÎÅ


Ê
co s
max

È
5




1

W 2 1 + 3 +
2

È

=

1 + 15 2 - 1 = 3

1 + 15 + 1

2

,

sin

max

=

1 + 15

2

.

ÄÍÎÏÅ É Ê É

ÄÍÎÎÅ ÅÊ
= /2Ê
0.04 0.08

È

sin2 Ä

È

Ê

0.02

0.06

0.00

0.04

-0.02

0.02

-0.04 -0.02

0.00 0.00 0.02 0.04 0.06
2

0.08

u

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0



Ê ÎÌ Ê

1 sin (1 - cos )5 32 = 0È 0.5È 0.8È 0.9È 0.95 0.98
Ê

8



Ê ÎÌ Ê Ê ÎÌ È

È

u = ( )

2

1.0Ê

1 - co s

ÄÍÎÎÅ È

È


È

Ê

Ê È

Ê

0 < 1È Ê

1 - cos = 1 - + (1 - cos ) =

2 1 1 + 2 2 1 - 2 . + 2 sin2 2 + = 1+ 2 2 2 2 2

ÄÍÎ Å

ÄÍÎÎÅ
W e2 2 w 4 c3
2

È
2 2 1 + 2
5 2

=

u e2 2 5 8 w2 , u = ( )2 . 3 4 c (1 + u)5

ÄÍÎ Å
Ê ?

È

u/(1 + u)5 28 /55 Ê 5 u/(1 + u) = 27 /55 Ê u = 0.0530368616763 = 0.2302973331941/ = 0.9064509625378/ Ê

u = 1/4È



max

= 1/(2 )È

ÄÍÎÏÅÊ

È

É

u = 0.8216533474857Ê

Ê ÎÌ
= 1.154, 1.167, 2.294, 3.203, 5.025Ê 32 8 È Ä Å





Ê


Í

Ê

sin2 1 È (1 - cos )5 32 8 = 0, 0.5, 0.8, 0.9, 0.95, 0.98Ê ÄÍÎÎÅÈ Ê É 32, 1.01 Ç 102 , 1.91 Ç 103 , 2.46 Ç 104 , 3.54 Ç 105 , 1.30 Ç 107 Ê Ê É Ê Ê ÎÌ u = ( )2 Ê Å Å u/(1 + u)5 È = 1, = Ê ? È È






Ê

È
1

È

È




È

È

0

sin3 d = (1 - cos )5

-1

1 - 2 4 d = I0 5 - I2 5 = 6 , (1 - )5 3

2

5 10 0

3 d = 25 6 I2 (1 + 2 2 )5

35

=

46 . 3

ÄÍÎ Å

É


È
v m dv 1 m+1 m+1 = B n- , p )n (1 + v p p p

y = 1/(1 + v p )

Ip

mn

=
0

=

1 m+1 n- p(n) p



m+1 p

.

ÄÍÎ Å È

È
10 0

È
+3 d = 24 I2 (1 + 22 )5 -4 < < 6Ê ? < >= 2 4

3 < > = 6 25 4


+3 5

1 2+ = 1- = 3- 2 2 2 2 4

1-

. sin( /2)

ÄÍÎ Å

È
55

9 1 0.8835729338221 24 = , < 2 >= 2 I2 32

=

1 . 2

ÄÍÎ Å

D =

0.219298870617 0.4682935731109 D = , . 2

ÄÍÏÌÅ È È É

È Ê È
1/

È

È Ê

ÿÊ
ÍÊ
Ê

?

È

Ê


Ê



=
-

e

it

(t1 )dt, A =
-

e rÈ

it

A(t1 )dt.

ÄÍÏÍÅ

?

È


ÄÅ
e = R e
- it

Ê Ä ÅÈ


t, t e dt1 , A = e R

1


e
i (t1 -x n/c)

È
dt1 .

dt 1 - n

=e

i R/c -

e

i (t1 -x n/c)

i R/c -

ÄÍÏÎÅ

È
A = { , A } = e e R
i R/c

G(ö),

ÄÍÏÏÅ

Ä

Å
G(ö) = {G0 (ö), G(ö)} = e
iöx

dx/c.

ÄÍÏ Å


?
ö = {ö, ö}, ö = ö n, ö = /c,

ÄÍÏ Å ÄÍÏ Å ÄÍÏ Å É n

È
x = {c t1 , x(t1 )},

Ê
dx/c = {dt1 , (t1 )dt1 },

ÄÍÏÎÅ

ÄÍÏÏÅ Ê

È ÄÅ

Ê Ê ? ÄÍÏÍÅ ÄÍÏÏÅ

A = 0,

n A 1 n A i n 1 + A = 0, A = - , - = 0, - + i A = 0, ö = ö A , ö A = 0, c t c t c t c t c c

ÄÍÏ Å

Ä

Å

ÄÍÏ Å
ö G(ö) = 0, ö G0 (ö) = ö G(ö),

ÄÍÏ Å

Ê
1 A(t1 ) = 2


e
-

-i t

A d .

ÄÍÏ Å

È
A- = A ,

ÄÍ ÌÅ Ê

ÎÊ Ê
E =

Ê

È
i ö ç (A ç ö) = iön ç (A ç n) = i ö [A - n (A n)] = i ö [A - n ]. ö H = i ö ç A = n ç E .

É

ÄÍ ÍÅ ÄÍ ÎÅ È

? ? ÄÍ ÌÅ

Ê


-

1 |E | dt = 2
2



-

1 |E | d =
2



0

|E |2 d .

ÄÍ ÏÅ

È
|E |2 = ö2 [|A |2 + | |2 - n(A + A )]

ÄÍ Å
G

ÄÍÏ Å

ÄÍÏÏÅ
|E |2 = ö2 [|A |2 - | |2 ] = -ö2 A A = - e2 2 ö G G . R2

ÄÍ Å É

ÏÊ

Ê

Ê


ÄÍ ÏÅ


È
2 0 2 0

-

W dt1 =

-

c R W dt = 4

c |E | dt = 2 R 4
2

e2 c d |E | = - 2 4
2

d ö2 G G .
0

ÄÍ Å


ÄÍÍ Å
P= 1 c2 I dx = 1 c


1 c 1 c

Ä ÏÅ
1 c

ÄÍÍÏÅ

{1, (t1 )}I dt1 =

{1, }dt

1

W d2 n =

d2 n

{1, }dt1 W =

d2 n{1, n}

dt1 W .

È
e2 c P =- 2 4
2

ÄÍ

Å


È
ö2 döG G


ÄÍ Å

d n{1, n}

0

=-

e2 c 4 2

d3 ö ö (G G ). ö

ÄÍ Å





ö e2 c 4 2

Äö
d3 ö G G . ö



Ê



ÅÈ

N =-

ÄÍ Å Ê È È
T f (t1 + T0 ) = f (t1 )Ê ? t1 t t
0

Ê



Ê

È È
t1 Ê f Ä

È È

È
t1 È

È
T t1 Ê È

È
t t1 È

Ê

È

Ê
t

ÅÈ t fÈ f1 (t) = f (t1 )Ê ÄÅ È f1 (t + T0 ) = f (t1 + T0 ) = f (t1 ) = f1 (t)Ê
t
1

f1 È

È

0

Ê

È
2

0 = 2 / T

0

È È Ä


È Ê È

Ê
T0 Ê



È
A=

Å

Ê

È

È

È

È

É É

l= -

exp (-i 0 l t)Al .

ÄÍ ÌÅ

T0 /2

0 Al = 2
-T0 /2

A exp (i l0 t)dt.

ÄÍ ÍÅ È ÄÍ ÌÅ ÄÍ ÎÅ Ä ÅÈ ÄÍ ÏÅ È ÄÍ ÌÅÈ É É

È
A-l = A . l


nAl = l .

Ä ÏÅÈ ÄÍ ÍÅ

i i i El = - l0 n ç (n ç Al ) = - l0 [n(nAl ) - Al ], Hl = l0 n ç Al . c c c

ÄÍ Å

Ì


ÄÍÏÏÅÊ
T0 /2



Ä
T0 /2

Å

ÄÍ ÍÅ

0 e Al = 2

(i l0 R/c) -T0 /2

Ae

i l0 (t1 -nx/c)

0 e e dt = 2 R

(i l0 R/c) -T0 /2

e

(i l0 (t1 -nx/c)

{1, }dt1 .

ÄÍ Å

Al =
T0 /2

e0 e R

(i l0 R/c)

Gl ,

ÄÍ Å

1 Gl (n) = {G0l , Gl } = 2
-T0 /2

e

i l0 (t1 -nx/c)

{1, }dt1 , G0 l (n) = nGl (n).

ÄÍ Å

È Ê
|El |2 = |Hl |2 =
Ê

Ê ÄÍ Å
l2 2 l2 2 0 (|Al |2 + |l |2 - nAl - nA l ) = 2 0 (|Al |2 - |l |2 ) l l c2 c

Gl Ä |El |2 = -

Å
l 2 4 e2 l2 2 A A = - 2 0 2 Gl G . l 20ll c c R E

ÄÍ Å

T0 /2



E 2 dt = T
-T0 /2

0 l= -

|El |2 = -T

0

4 e2 0 2 2 c2 R



l2 Gl G . l
l= 1

ÄÍ ÌÅ

T0 /2

T0 /2

c R W dt1 = 4
-T0 /2

2 -T0 /2

E 2 dt = -

e2 c

3 0 l= 1

l2 Gl G . l

ÄÍ ÍÅ Ê

ÄÍ Å

È

ÄÍ ÍÅ
T0 /2

È

È

1 P= c

d n{1, n}
-T0 /2

2

dt1 W = -

e2 c2

3 0

d2 n{1, n}

l2 Gl G . l
l= 1

ÄÍ ÎÅ

È È lÉ

Ê

ÄÍ ÎÅ
1/0 Ê ? È Wl = - P =
0

Ê È
e2 2 2 l 0 Gl G , l c2


ÄÍ ÏÅ ÄÍ Å
Gl Ê

d2 n{1, n}

Wl .
l= 1

Wl 0 {1, n}
2 Wl /0 Ê



ÄÍ ÏÅ 2 È 0 d2 n

È
G

Ê

È



Í




Ê

ÿ ÍÊ 
ÍÊ Ê Ê Ê È Ê È È È Ê Ä È ÊÈ È ÊÊ
e m

ÈÊÊ È È ÍÅÊ È Ä È É É

È ? Ê È

Ê

ÅÊ Ê Ê

e

3

=0 = /2 e
Ê ÎÍÊ ?
1

=

e

2

Ê

eH = mc ÎÊ Ä È

?

T = 2 / Ê
Ê

H > 0

Ê È e1 , e2 , e3 Ê H = H e3 Ê ÄÊ Ê ÎÍÅ É

ÅÈ É

?
e
1

e2 È

È

r = r () = R (e1 sin - e2 cos ), R

ÄÍÅ

Èt

È
r = { c t, r } .

È

Ê

= t,

ÄÎÅ È
z = ,


z= =

Ä

È

Å ÄÏÅ

dr 1 dr = = { , z }, c d c dt

È
1 dr = (e1 cos + e2 sin ), c dt = R d R = . c dt c

ÄÅ

Î




= 1 1-
2

= 1 + z 2.

z

ÄÅ È É ÄÅ
T = T Ê

È
= = t = Ê t , t

=

,

ÈÊÊ R = c / Ê

È

È


Ê

Ê
w = R 2 = c = c

È

w=c

dz = {0, 2 w }, w = w(-e1 sin + e2 cos ), d



2 R . = 2

ÄÅ ÄÅ

ÏÊ Ê Ê Ä È Ä Ê ÏÅÈ Ê

24 -w2 = 4 w2 = R .


È

È
dt 2 e2 [-w 2 ], 3 c3
1

È
dtÅÈ

È ÄÊ Å

Ê

I= w = 2 { 2 w , w + ( w ) }

w 2 = - 6 [w2 - ( ç w )2 ],

ÄÅ Ê


I=

Ä ÅÈ



Ä ÅÈ

2 e2 2 2 2 2 e2 2 2 4 2 e2 2 4 R. = = 3c 3c 3 c3

ÄÍÌÅ Ê
H

ÍÅ


Ê

Ê

È
1 I 1 2 e2 2 2 . 3c

ÄÍÍÅ Ê

ÎÅ

È

Ê

È 1, 1È
I 2 e2 2 2 . 3c

ÄÍÎÅ È È È

È Ê


È
Ê

È


Ê?

Ê
e2 mc
2 2

?

TÈ

ÄÎÊ

ÅÊ

É

IT 1 2 e2 2 2 4 2 4 = = Ekin 3c mc2 ( - 1) 3

H 2 3 . e -1

ÄÍÏÅ

Í
H = e 2 . T ( + 1)

ÄÍ Å

Ï





e/T È È

2 T = (8 /3)re =0 ÍÈ

È È


7.21 Ç 1014 2/ 2 Ê



Ê È

È Ê Ê Ê

È

È

ÿ ÎÊ
ÍÊ
Ê



È
R


=

È

Ä Ê ÏÅ

Ä ÊÍÌÍÅ

Ê

E= R

d n e ç nç cR dt1 1 - n 1 - n

e n ç [(n - ) ç w ] . cR (1 - n )3
2

ÄÍ Å È n = R /R È
t

È

È w t1 È
t = t1 + R nr (t1 ) - , c c

ÄÍ Å È
R

r (t1 )

É

È
dt = (1 - n )dt1 .

ÄÍ Å È È


?

Ê È

ÄÍ Å

t

1

ÈÊÊ
e2 w2 (1 - n )2 + 2(nw )( w )(1 - n ) - (1 - 2 )(nw )2 . 4 c3 (1 - n )5

É

W (n) =

ÄÍ Å

ÎÊ È

Ê

nÊ n

È



e1 e3 È Ê?

ÄÍ Å

R

È

Ê

n = e1 sin + e3 cos = (sin , 0, cos ).

ÄÍ Å Ê É ÄÎÌÅ ÄÍ Å



È
= (cos , sin , 0), w = -w(sin , - cos , 0).

È
nw = -w sin sin ,


n = sin cos , Ê w = 0.

ÄÎÍÅ

?
W (, ) =

2 e2 2 (1 - n )2 - (1 - 2 )(nw )2 /w2 e2 e2 H 2 (1 - sin cos )2 - (1 - 2 ) sin2 sin2 w . = 4 c3 4 c3 m 2 2 (1 - sin cos )5 (1 - n )5

ÄÎÎÅ

Ê
W (, ) =

1È

2 e2 e2 H 2 (1 - sin2 sin2 ) 4 c3 m 2

ÄÎÏÅ


1/(2 2 )

È Ê

È

È

È
Ê

= /2È = Á /2 È = /2 = 0Ê 2 e2 e2 H 3 4 W (, ) 2, 3 m2 4 c ÄÎÏÅÊ È Ê È

Ê
1- = (1- 2 )/(1+ )

ÄÎ Å È ÅÊ È Ê È Ä È È

Ä Ê ÄÎÎÅ Å È Ê È

ÏÊ È È

2

0

2 d 2 + 1 = 2 )5/2 , (1 - 1 cos )3 (1 - 1

2

0

2 4 + 1 d sin2 = 2 )7/2 . (1 - 1 cos )5 4 (1 - 1

ÄÎ Å

t = T /(2 ) 1 W () = T
T

0

1 W (, )dt = 2

2

0

W (, )d =

2 e2 e2 H 8 c3 m 2

2 2

sin2 4 + 2 sin2 2 + 2 sin2 . - 2 4 2 (1 - 2 sin2 )7/2 (1 - 2 sin )5/2

ÄÎ Å

È

= / 2 - Ê W ( /2 - ) =

È
2 2

e2 2 8 c

È

2 + 2 cos2 cos2 4 + 2 cos2 - . 4 2 (1 - 2 cos2 )7/2 (1 - 2 cos2 )5/2

ÄÎ Å Ä = Á /2Å ÄÎ Å ÄÎ Å

Ä = 0 Å
2

W ( /2) 4 + 3 . = 5 8 W (0) W ( /2 - ) = e2 2 2 (1 + cos2 ), 8 c

Å

Ê Ê
Ê



Ä Ê ÍÅÊ È

Ê ÄÎ Å

1/2Ê

È

È
1 - 2 cos2 = 1 - 2 + 2 sin2

Ê

? ÄÎ Å 7 5 /8Ê ÄÏÌÅ
/2

1 1 + 2 2 + 2 = . 2 2 2 22 3 e 7 + 12 2 W ( /2 - ) W as ( /2 - ) = , 8 c 4 (1 + 2 2 )7/2

ÄÏÌÅ ÄÏÍÅ
È

Ê 2 2 = u = 1 / t - 1

È

È




É


Ê

È

W ( /2 - )2 cos d 2
- /2

-

e2 2 2 W as ( /2 - )d = 2 2 8 c 4
2

0

7 + 12u du = (1 + u)7/2 2 u e2 2 2 3 2 2 e2 2 2 = , ÄÏÎÅ 16c 3 3 c

=

e2 2 16c

1 2 0

t2 dt(1 - t)-

1/2

7 + 12

e2 2 1-t = t 16c

B 3,

3 1 + 12B 2, 2 2

=

ÄÍÎÅÊ


Ê

Ê

È
1 - 2 cos2 = 1 - 2 + 2 sin2 =

È



ÄÎ Å

È

É Äz = Å ÄÏÏÅ

1 + 2 2 sin2 1 + z 2 sin2 1 + 2 sin2 = = . 2 2 2

È w = c / Ê
e2 2 5 W ( /2 - ) = w W ( , ), W ( , ) = 8 c3 1 1 3 + z 2 2 sin2 - 1 + 2 + 2 + 2z 2 + 4 2 (1 + z 2 sin2 )7/2
2

1 +z 4

2

sin4 .

ÄÏ Å

2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 -0.5 -1.0 -1.5 -2.0 0.0
Ê ÎÎ Ê

2.0

1.5

1.0

0.5

0.0 1.0 2.0 0.0


0.2
Ê ÎÎ Ê

0.4


0.6

0.8

1.0

u

W ( , ) = 0, 0.5È 0.8, 0.9, 0.95 0.98Ê

u = ( )2 (7/4 + 3u)/(1 + u)

7/2

Ê

Ê ÎÎ Ê ÎÌ 

È = 0, 0.5, 0.8, 0.9, 0.95, 0.98Ê W ( , 0) = È = /2 Ä Å Ê È Ê ÅÊ

W ( , ) Å 1 + 3 2 /4È



5È 5 = 1, 2.053, 12.86, 63.55, 336.9, 3205Ê W ( , /2) = 2/ 5 Ê Ê ÎÎ Å È ÎÌ  ÎÎ È È

Å

È

Ê ÎÎ
1.20Ê

u = ( )2 = 2 Ê 0 (7/4 + 3u)/(1 + u)7/2È È

Í

Ä u = 0.219



ÿ ÏÊ
ÍÊ Ê È  Ä ÊÍ Å
T0 /2
Ê

?

È È
t

È È
t
1

È Ê

È Ê
Gl È

È

É È T = 2 / Ê Ê



1 Gl (n) = 2
-T0 /2

exp i l0 (t1 - nr /c) dt1 .

ÄÏ Å



El = -i e22 l 0 e R
il0 R/c

n ç (n ç Gl ).

ÄÏ Å Ê
e
1

ÄÏ Å
e3 Ê

ÄÏ Å Ê?
n = sin e1 + cos e3 , t1 = t = / Ê r=

n

É

É È

c (sin e1 - cos e2 ),


= (cos e1 + sin e2 ),

ÄÏ Å

ÄÏ Å
Gl = 2 (cos e1 + sin e2 ) e
- i l -iz sin

d,

ÄÏ Å

z = l sin Ê




È


È


Gl È





1 Jn (z ) = 2

e
-

in-iz sin

z d = 2 n

e
-

in-iz sin

cos d,

Jn

i (z ) = - 2

e
-

in-iz sin

sin d.

ÄÏ Å

ÄÏ Å
Gl = 1 Jl (z ) e1 + i Jl (z ) e sin
2

.

Ä ÌÅ È
n ç [n ç e2 ] = -e2 . n

ÎÊ

Ê





É Ä ÍÅ

n ç [n ç e1 ] = sin n - e1 = - cos (cos e1 - sin e3 ),

È
e1 (n) = cos e1 - sin e3 , lÉ El = e il e cR
il R/c

e2 (n) = e2 .

Ä ÎÅ Ä ÌÅÈ Ä ÍÅ Ä ÎÅ Ä ÏÅ



ÄÏ ÅÈ

[ctg Jl (z ) e1 (n) + i Jl (z ) e2 (n)] .

È
T /2

Ä ÏÅ
W dt1 =
-T /2


T /2

Ä ÊÍ ÍÅÈ
c 2 e2 2 W dt = R 2 c2 R 2


Ê



l
l= -

2

ctg

2

Jl2

(z ) +

2

Jl 2

(z ) =
l= 1

Wl .

ÄÅ

-T /2

lÉ

Ä
2

Å Wl
Wl = e2 l wl , c

ÄÅ ÄÅ É Å

wl = wl ( , ) = ctg2 Jl2 (z ) + 2 Jl2 (z ).

È Ä ÏÊ Å Ê


cn Ê l

z = l sin Ê ? R

|El |2 /(4 ) = e2 l2 2 wl /(4 c2 R2 ) È Ä

È

Í ÍÎ Ê È  ÏÊ É


È Ä ÎÅ Ä ÍÅ Ê

È È Ê
i ctg Jl (z ) - Jl (z )

Ä

Ê lÈ Ê Ê

È El Ê Å

É



El [i ctg Jl (z )e1 (n) - Jl (z )e2 (n)] =

.

ÄÅ
l

c ^ Sl = El El 4

ctg2 Jl2 (z ) -i ctg Jl (z )Jl (z ) i ctg Jl (z )Jl (z ) 2 Jl2 (z )

,

ÄÅ È

Ä ÅÈ



Ul = 0 È
Ql =

È

e2 e2 2 l [ctg2 Jl2 (z ) - 2 Jl2 (z )], Vl = 2 l2 ctg Jl (z )Jl (z ). c c

ÄÅ Ê É

È

ÈÊÊ

È

È Äctg /2 = 0ÅÈ ÈÊÊ È

Wl2 = Q2 + Ul2 + Vl2 È l

È
=0 = È

Ê?
Il = -Ql =

e2 [z Jl (z )]2 Ê c

È Ê
z0Ä

É

È

Ê

Ä ÍÅÅÊ

Ê

È

e2 2 I1 = V1 = Ê c2

Jl (z ) (z /2)l /l!

Ê

Ê Ä ÅÈ Ê Ê
W l ( ) = 2

È


È

É Ä ÌÅ É

sin dWl .
0





Ä
2

È

1



Å


È

W l ( ) = 4

l e l J2l (2l ) - 2 c

0

È

J2l (2l y )dy .

Ä ÍÅ Ê
V l = 0È Ê Ê

?

1 e2 2 Ql ( ) = -4 l J2l (2l ) + l J2l (2l y )dy 1 + 2 - = c y 0 1 1 1-y e2 l = -4 l J2l (2l ) - 2 J2l (2l y )dy + 2l J2l (2l y ) dy . c y
0 0

È

Ä ÎÅ

J (z ) (z /2) /( + 1) W l 4

Äl 1 Å z +0È



e2 l(l + 1) (l )2l , c (2l + 1)!

Ql -4

e2 l2 (l )2l . c (2l + 1)!

Ä ÏÅ


W l ( )/(4 e2 /c)
1.0

-Ql ( )/W l ( )
1.0 0.9

0.8 0.8 0.6 0.7 0.6 0.5 0.2 0.4 0.0 0 10 20 30 40 0.3

0.4

l

50

0

10

20

30

40

l

50



Ê ÎÏÊ



ÊÎ Ê Ê

É



Ê

È Ê ÎÏ Ê È

lÈ (2/e)2l

+1

È

l

È


l
2l

Ê É Ê É

ÊÈ = 0.4, 0.5(0.05)0.9, 0, 925, 0.95, 0.97È 0.99, 1.0Ê l -Ql ( ) Ê Ql ( ) l - È l ÍÈ l+1 W l ( )  Ê È


È

W l ( )

4 e2 / c

Ê Å



Ê Ê È

ÊÎ
0

Ê

Ê?

ÿÊ
ÍÊ 



Ê È


È

Ê Å
J (z ) =

Ä


m =0

(-1)m

z 1 m!( + 1 + m) 2

+2 m

.

ÄÅ

(x)

É

Ê
z
2

J (z ) d2 J (z ) dJ (z ) +z + (z 2 - 2 )J (z ) = 0. dz 2 dz

 ÄÅ
J- (z )È



Ê?



Ê Ä



Å

J (z )



Y (z ) =

J (z ) cos ( ) - J- (z ) , sin ( )

ÄÅ

Ê



? ÄÅ
z
2

Ê
z i zÈ

d2 w dw +z - (z 2 + 2 )w = 0, dz 2 dz

ÄÅ






Ê
I (z ) = e
-i /2



Ê






Ä
z 2

Å
+2 m

È
.



É

J (e

i /2

z) =
m =0

1 m!( + 1 + m) I- (z )Ê 

ÄÅ È ÄÅ É Ä ÌÅ

È



K (z ) =

I- (z ) - I (z ) . 2 sin ( )

È
2K (z ) = -K -1

(z ) - K

+1

(z ).



È
-1 -


z .

z +0 J (z ) I (z )

z 2



1 , ( + 1)

K (z )

ÎÊ È Ê 


(z /2)- = ( )2 2 (1 - ) sin( )

Ä ÍÅ

É

Ê É

Ê
1 2 e
- in-iz sin


d.

Jn (z ) =

Ä ÎÅ
zÊ ?



È




É

1 In (z ) =

e
0

-z sin

cos n d.

Ä ÏÅ




K (z ) =
0

e

-z ch t

ch( t)dt.

ÄÅ Ê
z

ch t = 1 + 2 sh2 (t/2) tÈ




z È


É

K (z ) = e

-z 0

e

-2z sh2 (t/2)

ch( t)dt e

-z 0

e

-z t2 /2

dt =

e 2z

-z

. z È

ÄÅ

z Ê

È
? Ê

ÍÌÈ È Ê



Ê ?

J (z )È

ÏÊ



È



?

È



È

u + f (z )u = 0.

ÄÅ Ê?
s1 zÊ ?



f (z ) = z / sÈ 1 d2 u + f u = 0. s2 d 2

É

ÄÅ

Ì


u(z ) = e d du = uis , d d

is ( )

.

ÄÅ

d d2 u = u is d 2 d
2

2

+ uis

d2 , d 2

ÄÅ

ÄÅ
- d d

+

i d2 + f = 0. s d 2

Ä ÌÅ È È É

ÄÅ Ä Å

È Ä ÅÊ

È È Ê



Ä ÌÅ

i = 0 + 1 + ... s 1 / sÊ d0 d
2

Ä ÍÅ Ê È Ä ÎÅ

= f,

-2

d0 d1 d2 0 = 0. + d d d 2

?

? Ê

0 = Á

f d .

Ä ÏÅ

?
d2 0 2 d1 2 = d , d0 d d 1 d0 1 ln = ln f . 2 d 4

1 =

ÄÅ


u(z ) = exp Áis f d - (1/4) ln f =f

Ä
-1/4

ÅÈ
(z ) exp Ái f
1/2

(z )dz .

ÄÅ

Ê
u(z ) = f
-1/4

(z ) C1 exp i

f

1/2

(z )dz

+ C2 exp -i

f

1/2

(z )dz

.

ÄÅ È È É

È È



f È

È Ä

Ê

Ê


Å
1 d2 0 s d 2

0 È
1/2

2



d0 d

2

,

1d f s d

|f |,

d f dz

-1/2

1.

ÄÅ É



È

Ê

? È



Ê

È

Í


Ê

?







Ê

z

y



Å

ÄÅ z = ey , y 0 Ê

? Ê

d2 J - 2 u2 J = 0, dy 2 u= 1 - z 2 / 2 = 1-e
Á 2y

ÄÅ

, z=



?

ÄÅ

1 - u2 .

ÄÅ

1 w= e u

R

udy

.

Ä ÌÅ

?


0 0

v=
y

udy =
y

1-e

2y

dy =

1 1+u ln - u, 2 1-u

Ä ÍÅ

ÄÅ

?
J (z ) = u
-1/2

(C1 e

v

+ C2 e

- v

).

Ä ÎÅ Ê Ä ÍÅÊ
z0


C1

C2

u 1 - z 2 /(2 2 ) 1È

È É 1 2 2 v ln 2 - 1 = ln Ê 2 z /(2 2 ) ze
z 2






É

J (z )

È

1 z ( + 1) 2 C1 = 0, C2 = 1/ 2 Ê



1 2

e



, J (z ) C1

2 ze

+ C2

ze 2



.

Ä ÏÅ

È
- v

1 J (z ) = e 2 u

.

ÄÅ Èv Å ÄÅ Ê Ê

È Ê

Ê?

? Ä Å

È

È

uÈ È



Ä

1 J (z ) = F (v ). u


dv du d d = = dz du dz dv 1 -1 1 - u2


-z d ud =- . 2 dv u z dv z
2 5/2

ÄÅ

z

1 -z 1u dJ (z ) = z - 3/2 2 F - F uz dz 2u u F F - 2 F = - z2 4 2 u
6

=

2 2 u

F-

uF



.

ÄÅ



5

z2 + 4u 2

2

F =-

1 - u2 u 4

-6

(5 - u2 )F.

ÄÅ Ê?

È

v u3 /3Ê

uÈ

Ä

Å
5 v 36
-2

F - 2 F +

F = 0.

ÄÅ È

È

vÊ

Ä

ÅÈ

Î


ÄÅ
F (v ) =

È
v G( v ).

Ä ÌÅ


x2 G (x) + xG (x) - (1/9 + x2 )G(x) = 0,

Ä ÍÅ
v

È



 G
J (z ) = J ( ) =

ÍËÏÊ
K v1 K u
1/3 1/3

Ê

ÄÅ

( v ).
-2/3 -1/6 -1/3

Ä ÎÅ
3



Ä ÎÅ

u3 /3u[(1/3)/ ]2-2/3( u3 /3)-1/3 = [(1/3)/ ]2  J (z )
J (z ) =

Ê

1 u vK

2/3

( v ).

Ä ÏÅ

J ( ) = [(2/3)/ ]2

-1/3 -1/6 -2/3

3



]

Ê

ÿÊ
ÍÊ Ê Ê È
1, 1Ê = /2 - Ê z = l sin 1 - 2 co s 2 = l 1 - 2 + 2 sin2 1 / 2 + 2 = 1 + 2 0 1.

Ê

É È

= 0 / 1 Ê u=


1 - 2 sin2 =

1 - z 2 /l 2 = u

ÄÅ

v u3 /3 = (1 + 2 )3/2 /3 3 Ê 0 1 + 2 0 K Jl (z ) 3
1/3

È
3 2 1 + 0 , Jl (z ) K 3 2 2/3

l(1 + 2 )3/2 /3 0

l(1 + 2 )3/2 /3 0

3

ÄÅ

Äctg = tg Å
Wl e2 2 1 + 2 2 0 K l c 3 2 4 0
2 1/3

l(1 + 2 )3/2 /3 0 l

3

+ (1 + 2 )K 0

2 2/3

2 l(1 + 0 )3/2 /3

3

.

ÄÅ È

ÍÅ l 3 3 Ê ?

Ê Ê
Wl e2 3 c

Ê

ÄÅ K (z )

Ä ÍÅ

1/3 -2/3 2

2

(2/3)

l2/3 . 1 + 2 0 l
2/3

ÄÅ Ê
l 2 / 4 9 2 Ê . 2È l

l

ÎÅ l 3 3 Ê ÏÅ l 3 3 Ê Wl

Ê



È


Wl

ÍÈ

Wl

È ÄÅ

e2 1 l 1 + 2 2 l 2 0 exp - (1 + 2 )3/2 3 0 2 )1/2 c 2 (1 + 0 3 l

l

Ê

È

3 È
3

Ê

È Ï

È

É


Ê




l / 3 2 Ê Ê ÅÈ

Ê



È È
l 3

3

È

È

È Ê

È

1/ È

È È

Ä È Å

É

Ê ÎÊ
1, v u3 /3 = 1/3
3

È

Ê

Ê
1 J2l (2l ) K 3 2
2/3

u= (x), x= 2l . 3 3

Ä ÍÅ 1 - 2 = 1/ ÄÅ

Ê?
u=


1-

2y2

u 2 du u y dy u dy 1 1 + u 1 - u , dv = = - 2 = - , v = ln , dy = - 2 2 1 - u 1 - u 2 1 - u 2 1-u


1 - u 2 dv . u

ÄÍÌÌÅ


1

Ä ÎÅ


0

1 J2l (2l y )dy

v K u

1/3

1 - u 2 (2lv ) dv . u


ÄÍÌÍÅ

1/3

3

x = 2lv
1



0

1 J2l (2l y )dy 2l



x

v (1 - u 2 )K u 3

1/3

(x )dx ,

ÄÍÌÎÅ É

?
u 1

x È 3 v u /3È
0


1

Í

Ê


v = x /2l 1Ê ? K
x 1/3

1 J2l (2l y )dy 2l 3

(x )dx .

ÄÍÌÏÅ




Ä ÍÅÈ
1 (x) - 2


È

4 e2 l K Wl 3 c 2 Wl

2/3

K
x

1/3


2 W

(x )dx .



ÄÍÌ Å Ä ÌÅ ÄÍÌ Å

e 3 f c

2l 3 3

,




È

fW (x) = x
x

K

5/3

(x )dx .

ÄÍÌ Å





0

8 fW (x)dx = . 93

ÄÍÌ Å


x fW (x) = x 3 x 2
-2/3 n=0

(x/2)2n x - n!(n - 2/3)(n - 1/3) 2 0.91801

È
-x n=0

(x/2)2n 25/3 1/3 -1 x. n!(n + 8/3)(n + 4/3) 3 (1/3) n=0 ÄÍÌ Å x = 0.28581Ê È x
m- 1 n k =0 m =0

8/3

k+

fW (x)

x e 2

(-1)n

(2n - 1)!! 2n xn

1 2

2

-

25 9

m!(2m - 1)!!

,

ÄÍÌ Å

Ê? ÏÊ
W lÈ 1-y = - 1-u
2
Ê

ÊÎ Ê Ä ÎÅ
2 2 2

Ê
= 2 - 1 + u +

Q

l

È
u - 1/ 2 1 2 2 3 x 2l
2/3

y= - 1 . 2

Ä ÍÅ 1 - u 2 / 1È ÄÍÍÌÅ Ê ÍÊÍÎ


Ê

1-u

È
1

È




2/3

Í

2l
0

J2l (2l y )

2l 1-y dy y 4l 3

K
x

1/3

(x )dx

3 x 2l

2/3

-

1 2

=

?
Ql = - e2 2 l K c 2 3 x
2/3


(x) = - e2 3 fQ (x), c

1 K 2 3 2

(x) -

K
x

1/3

(x )dx . ÄÍÍÍÅ

fQ (x) = xK

2/3

(x).

ÄÍÍÎÅ
fQ (x)



fQ (x) ÊÎ Ê

2 /3 3È

È p(x) = fQ (x)/fW (x)Ê ?

ËÏ

È

fW Ê 



È p(0) = 0.5, p() = 1Ê

1.0

fW (x)
0.8 0.6 0.4

p (x )

fQ (x)
0.2 0.0 0
ÊÎ Ê

1


2

3

4

5

x

fW (x)È fQ (x)

p (x )

Ê

Ê È Ê ÍÍÅÊ Ê

Ê

Ê?

È Ê Ä Ê ÏÅÈ

È É É Å

Ä

Ê

Ê

Ä

È


E 1/2 2 e dne = ne (kB T )3/2 ne m = 9.11 Ç 10
-28

-E /(kB T )

dE ,

ÄÍÍÏÅ
E E + dE È 22 ËÈ Å



È

È dn ÈT Ê

e

È
E
M

È kB = 1.38 Ç 10- -273 Ê
Cp
E
m

16

Ë

Ä

=

dne = ne Cp E dE ,

p

E m E EM ,

E p dE = 1.

ÄÍÍ Å

ÍÍÊ Ê ? È È ÅÊ ? Ê? Ê Ä ? È È È È Ê Ê È È È Ê? Ê È È Ê ÅÈ Ê Ê?  È Ä È È Å
10
Ê

Ä? ÅÊ ?
10

È



É Ê É È

? 10

11

M Ê

105 M



Ä

É

Ê Ê? Ê? È È È È Ê È
10
6

È É È È È Ê É Ê É

Ê?

È

È

Ê

È Ê Ê Ê? È Ê Ä È

È

È

ÍÌ 7 Ç 1010

Ê È È È È È ÊÊ Ê ÍÌ Ê

É ÅÈ

È

Ê

È ?Ê?Ê Ê

È

É

È




Ê?

ÿ ÍÊ
ÍÊ
Ê

È Ê È

Ê

Å = 1È

= (r )Ê ?

Ê È

È
1 B , c t 1 D . c t

div B = 0, rot E = -

div D = 0, rot H =

ÄÍÅ

D(r , t) = (r )E (r , t),

B = H.

ÄÎÅ È ÄÏÅ

ÎÊ ÄÍÅ

Ê

? ÄÎÅ

Ê

div D = div(E ) = grad Ç E + div E = 0,

1 div E = - grad Ç E .

È
rot rot E = grad div E - E = -

ÄÍÅ
1 (r) 2 E . rot H = - 2 c t c t2

ÄÅ

È
c (r ) = v (r ),

ÄÅ Ê

ÄÅ
2

È

ÄÏÅÈ

1 2E - E - grad(E Ç grad ln ) = 0. v (r ) t2

ÄÅ

?
rot rot H = grad div H - H = -H = 1 1 rot D = rot(E ) = (grad ç E + rot E ) = c t t c t 1 E 2H 1 2H = grad ç -2 = grad ç rot H - 2 , c t c t c t 1 2H - H - grad ln ç rot H = 0. v 2 (r ) t2

ÄÅ

ÄÅ È É

È Ê ÏÊ ÄÍÅÈ
div H = 0,

È
Ê

È



È

ÄÅ
rot E =

ÄÅ
div E = - grad ln Ç E , rot H = - i E , c

-i Ê

ÄÍÅ ÄÅ

i H, c

ÄÅ

ÄÅ
[- - k 2 (r )]E - grad(E Ç grad ln ) = 0, [- - k 2 (r )]H - grad ln ç rot H = 0.

ÄÍÌÅ

k (r ) = /v (r)Ê

È

Ä ÅÊ


ÿ ÎÊ 
ÍÊ
Ê

È
ln

È

Ê

Ê?

È

1 2u - u = 0 . v 2 (r ) t2

ÄÍÍÅ
e
-i t

?
-k 2 (r )u - u = 0. k (r ) (r ) = 2 v (r )/ È

È ÄÍÎÅ

ÄÍÍÅ
Ê

È ÄÍÎÅ

t = 2 v t/ Ê

ÎÊ


u=e
i (r ,t)

ÄÍÍÅ
,

ÄÍÏÅ

1Ê ? u = ui , t t u = ui , 2u = -u t2 t
2

+ iu

2 , t2

u = 2 u = -u( )2 + iu .
2

ÄÍ Å Ê È ÄÍ Å

? È

È

È

2u = -u t2

t

,

u = -u( )2 .

ÄÍÍÅ
1 2 (r ) v t
2

- ( )2 = 0.

ÄÍ Å
(r , t)

È È ÏÊ

È

È Ê È

È

Ê? É

Ê

È

Ê

?
= - t + (r). c

ÄÍ Å



(r) ()2 = n2 (r ). n(r) = (r ) = c v (r )

ÄÍ Å ÄÍ Å È

È Ê
Ê

Ê È  Ê Ê ÄÍ Å

H(r , p) = p2 - n2 (r ),

ÄÎÌÅ


p

È

Ä
p = r .

È

Å ÄÎÍÅ
È



H dr = p H = 2p, dt

È

dp = -r H = 2n(r)r n(r) dt dpx dpy dpz = = . nn nn nn x y z

ÄÎÎÅ ÄÎÏÅ

dx dy dz = = , px py pz

Ê

Ê

ÄÍÏÅ
- t + (r) = c c
0

ÄÎ Å

(r ) = 0 + ct.

ÄÎ Å Å È È ÄÎÏÅ È È É Ê Ê

Ê È Ê ÍÅ
Ê

Ä È Ê

grad (r ) = pÊ

Ê

Ê

n

È

px = p È py = p Ê
0 x 0 y

= p0 x + p0 y + p0 z + 0 , x y z

(p0 )2 + (p0 )2 + (p0 )2 = n2 . x y z

ÄÎ Å É

ÎÅ Ê

Ê ÄÍ Å

Ê

È

È n(r) = n(z ) =

(z )Ê

(r) = x (x) + y (y ) + z (z ).

ÄÎ Å



È
[ (x)]2 + [y (y )]2 + [ (z )]2 = n2 (z ). x z

ÄÎ Å

(x) = , x

(y ) = , y

x (x) = x,

y (y ) = y .

ÄÎ Å

ÄÎ Å
2 + 2 + [ (z )]2 = n2 (z ), z (z ) = Á z n2 (z ) - 2 - 2 ,

ÄÏÌÅ

z (z ) = Á

n2 (z ) - 2 - 2 dz . n2 (z ) - 2 - 2 dz .

ÄÏÍÅ

?
(r ) = x + y Á

ÄÏÎÅ

È
(r ) = x + y Á


n2 (z ) - 2 - 2 dz = 0 + ct,

ÄÏÏÅ


ÄÎÏÅ

Ê

È
dx dy = =Á dz n (z ) - 2 -
2 2

È
.

È ÄÏ Å

y x = + C1 = Á

dz + C2 . n2 (z ) - 2 - 2

ÄÏ Å

É

Ê

ÏÅ



Ê

n(r ) = n(r)È r n(r) = n (r) . r

ÄÏ Å

ÄÎÏÅ

dy dz dx = = , px py pz

dpx dpy dpz = = . x y z

ÄÏ Å


= (r), (r) = Án(r), r (r) = (r) , r (r) = Á n(r)dr.

ÄÏ Å ÄÏ Å É É

Ê

Ê

È Ê ÉÍÌ È Ê

È Ä Ê Å Ê?
10

È

È

Ê

ÍÌÌ

-5

Ê?

Ê ÊÈ

È

È

10

-3

È

È Ê

È

É

ÿ ÏÊ E É
ÍÊ
Ê

HÉ

È

(r ) = (z )È grad = (0, 0, (z )).

ÿÍ

Ê Ä ÌÅ Ê

ÎÊ E É

Ê

ÄÍÌÅÊ
E E = E (z )(0, 1, 0)e
iöx

È

È

ì

îÈ

xÈ

.

Ä ÍÅ Ê? Ä ÎÅ É

?
E (z ) + f (z )E (z ) = 0,

z f (z ) = k 2 (z ) - ö2 .

ÄÅ È

È
i H = rot E = (-E (z ), 0, iöE (z ))e c
iöx

.

Ä ÏÅ È Ê É

È

ÍÌÌ


ÏÊ H É

Ê

È
H = H (z )(0, 1, 0)e
iöx

.
iöx

ÄÅ ÄÅ
.

Ä ÏÅ È È
H (z ) H (z ) + f (z )H (z ) - rot H = (-H (z ), 0, iöH (z ))e

grad ln ç rot H = (0, - H /, 0)e

iöx

ÄÅ

È

Ä ÎÅ

(z ) H (z ) = 0. (z )

ÄÅ

È
H=
1/2

Ä ÎÅÈ
-3/2

w, H =

1 2

-1/2

w+

1/2

1 w , H = - 4

1 ( )2 w + 2

-1/2

w+

-1/2

w +

1/2

w ,

ÄÅ

w + g (z )w = 0,

g (z ) = f (z ) +

1 3 - 2 4



2

.

ÄÅ

i (z )E = - rot H . c

Ä ÌÅ

Ê È Ê
Ê

È È Ä ÎÅ
zÊ E (z ) = e

È È È ? È g (z ) È É

Ê Ê

Ä È Ê

Å



sÊ

f (z )

É

Ä ÎÅ Ä ÍÅ È

i0 (z )-1 (z )

.

È
d0 dz
2

= f (z ),

0 (z ) = Á

f

1/2

(z )dz ,

Ä ÎÅ

-2

d0 d1 d2 0 = 0, + dz dz dz 2

1 (z ) =

1 ln f (z ). 4

Ä ÏÅ

E (z ) = f

-1/4

(z ) C+ exp i

f

1/2

(z )dz

+ C- exp -i

f

1/2

(z )dz

.

ÄÅ È É

Ê

Ê

ÄÊ

ÅÈ

Ä ÎÅ 1/ f (z ) 1/k (z ) = 1/(z )È = /(2 )È



Ê

È

d(z ) 1, dz

ÄÅ

ÍÌÍ


f k 2 = / cÈ

Ä 2Å = 1/k = v / = c/( )È
z

È

È È ? ÄÅ

1/s Ê

Ä
f
2

Ê ÅÈ

Ä Ê


Å
g

Ä

Å

È

zÊ

Ê Ê É È É

È Ê È



Ê È ? È
f (z )

È



Ê

ÿÊ
ÍÊ
Ê

È É È

Ê

È

È Ê

È Ê Ê

È

Ê

Ê



È

Å È

Ê Ê
D = 0 E

Ê

È ÄÅ

t

D(t) =
-

(t - t )E (t )dt .

?É
t

È (t - t ) t È t È È È È Ê ÄÅ È Ê

È È

tÊ

Ê

Ê È È È

È

È Ä Å

É È

?É Ê ?É ÍÅ ÎÅ

Ê tÈ

È È È
E D(t) = 0 E (t),

È È Ê É Ê

É É É

È





ÄÅ (t) = 0 (t)È

Ê
0 =



(t)dt.
0

ÄÅ Ê

ÎÊ
Ê



0

Ê



Ä

Å




(t)

E (t)Ê

È ÄÅ ÄÅ

D( ) =
-

e

i t

D(t)dt,

E ( ) =
-

e

i t

E (t)dt,

( ) =
0

e

i t

(t)dt,

D( ) = ( )E ( ).

ÍÌÎ


Ê È

È È

È

Ê Ê

È

É

È

É

È È ( )

(t)Ê ?


(t) = (t) + (t), ( ) D(t) = E (t) +
-

( ) = 1 + ( ),

( ) =
0

e

i t

(t)dt.

Ä ÌÅ

ÌÊ
t

(t - t )E (t )dt ,

D( ) = [1 + ( )]E ( ).

Ä ÍÅ

?
B ( ) = Å( )H ( ).

Ä ÎÅ

ÿ Ê?
ÍÊ
Ê





É Ä ÏÅ

( ) =
0

e

i t

(t)dt Ê


(t)

È

Ê Ê È

Ä ÏÅ Ê ( )


È É Ê? Ê


È
= 0Ê

È ( ) 0

Ê ÄIm > 0Å

1 ( ) = 2 i

( )
-

d . -

ÄÅ

ÎÊ

?

Ê

( ) = R ( ) - 1 + iI ( ),


( ) = R ( ) + iI ( ),


ÄÅ

R ( ) - 1 =

(t) cos tdt,
0

I ( ) =
0

(t) sin tdt. Ê


ÄÅ È
I (0) = 0Ê

?

R ( )

È

I ( )





?

1 1 R ( ) - 1 = [ ( ) + ( )] = 2 2 1 1 I ( ) = [ ( ) - ( )] = 2i 2i


e
0

i t

(t)dt +
0

e

-i t

1 (t)dt = 2


-

(|t|)e

i t

dt.

ÄÅ



e
0

i t

(t)dt -

e
0

-i t

1 (t)dt = 2i

-

(|t|) sgn(t)e

i t

dt.

ÄÅ

ÍÌÏ


Ê
sgn(t) 1 (|t|) =




È

É

-

[R ( ) - 1]e

-i t

i d = sgn(t)

I ( )e

-i t

d .

ÄÅ

-




ÄÅ

ÄÅ





1 R ( ) - 1 = 2 1 I ( ) = 2i


e
-

i t

i dt sgn(t) 1


I ( )e



-i t

- -i t

i d = 2


I ( )d
-



-

e

i( - )t

sgn(t)dt,

Ä ÌÅ

sgn(t)dte
-

i t

-

[R ( ) - 1]e

1 d = 2 i



-

d [R ( ) - 1]

e

i( - )t

sgn(t)dt.

Ä ÍÅ É É

-

?

È

È
i t




È

Ê

Ê
-



1 1 . - - i + i

J ( ) = e
-

sgn(t)dt = lim

+0 -
Ê

e

i t

sgn(t)e

-|t|

ÏÊ

dt = lim e
+0 0



(i -)t



dt - e
0

-(i +)t

Ê
b

È
z

dt lim =

+0



Ä ÎÅ

I (z ) =

f (x)
a

dx . x-z

Ä ÏÅ Ä ÅÈ É Ê

Ê? É ÅÊ ? É È

È È

Ê
f (x)

È

Ä

|f (x ) - f (x)| A|x - x| , A = constÈ È x (a, b)È > 0 I (x + i) =
a

ÄÅ È
(a, b)È

> 0Ê

Ä ÏÅ È
b

È

Ê

f (x )

dx . x - x - i

ÄÅ

?

> > 0È
x -

I (x + i) =

f (x )
a

dx + - x - i x

b

f (x )
x +

dx + - x - i x

x +

x -

f (x ) - f (x) dx + f (x) x - x - i

x +

x

x -

dx . - x - i

ÄÅ

x +

x
x -

dx = ln(x - x - i) - x - i È

x + x -

= ln

- i e-i = ln i+i = -i - i - i = - i - 2i , - - i e

ÄÅ


co s = , 2 + 2 sin = . 2 + 2

ÄÅ

ÍÌ


È

0Ê

È
x -

È
0
b

È
0Ê ?
x +

Ê

È

I (x + i0) =

a

dx + f (x ) x -x


x +

dx + f (x ) x -x

x -

f (x ) - f (x) - if (x). x - x

ÄÅ È

È Ê È
x - i0

0Ê

È

Ê È

È

È Ê Ê
b

È

È È Ê È
b

É

b

I (x Á i0) = I (x) if (x),

a

dx = f (x ) x - x i0


a

dx if (x), f (x ) x -x


I (x) =

f (x )
a

dx . x - x

Ä ÌÅ Ê É Ä ÍÅ







È

É

Ê



1 P = Á i (x - x), x - x Á i0 x -x

Ê Ä ÎÅ Ê
-


P
Ê

È

x

Ê

?
0Ê ?



Ä ÌÅ

Ä ÍÅÊ ? -iÈ

Ä ÍÅ
=

iÊ

È

J ( - ) = -

i 1 1 i - = -i + - - i0 - + i0 - - i0 - + i0 P P P = -i - i ( - ) + + i ( - ) = -2i . - - -

Ä ÎÅ


R ( ) - 1 =

Ä ÌÅ
1


Ä ÍÅÈ
I ( ) d , - I ( ) = - 1


-

-

[R ( ) - 1]

d . -


Ä ÏÅ



Ä ÏÅÈ





I ( )
-

ÄÍ Î ÅÊ I ( )È
d . 2 - 2

É ÄÅ È
R ( )È

2 R ( ) - 1 =

É ? È

Ê

ÅÈ


I ( )

I ( ) Ê
= 0È


I ( )

È ÄÅ

Ê


È



Ä È È

É

È

R (0) =
0

2 (t)dt = 0 = 1 +

I ( )
0

d .

ÄÅ

ÍÌ


È



21 R ( ) 1 - 2



I ( )d .
0

ÄÅ

?



Ê

È

ÿ Ê?
ÍÊ
div B = 0,
Ê

rot E = -

1 B , c t Ê

div D = 0,

rot H =

1 D c t

ÄÅ

Ä

Å

Ä ÎÅ
div B = 0, rot E =

i B, c

div E = 0,

rot B = -

i ÅE . c

ÄÅ È É


rot rot E = grad div E - E = -E = ö 2 ÅE = ö2 E . c2

ÄÅ

Ê
ö2 ( ) = 2 ( )Å( ) c2

Ä ÌÅ

Ê
ö( ) = öR + iöI , E = E0 e ö2 = ö2 - ö2 + 2iöR öI , R I = E0 e
iöR r -öI r

Ä ÍÅ Ä ÎÅ

iör

.

?

Ê?

ö

Ê
Ê

È  È

È

È
öI ö
R

É

ÎÊ
I R Ê öR + i öI = (nR + inI ), c

È
2 n2 - n2 nR = R , R I

ö

I

öR Ê



Å = 1Ê É

n2 - n2 + 2 i nR nI = R + i I , R I

nR =

R > 0 ,

I nI = . Ä ÏÅ 2 R

l exp i (nR + inI )lr = exp i nR lr exp - nI lr . c c c ö= nR = c v

ÄÅ ÄÅ

È È
ö = öl

n

R

È v = c/ n Ê
I

R

È

n c

È

Ê? É

È

È

È

I > 0 Ê ?

= 2 nI . c ÄnR ( ), nI ( )È ö( ), ( )Å

ÄÅ Ê Ê Ä ÏÅ ÄÅ

ÍÌ


ÿÊ
ÍÊ
Ê

È

?

È

Ê

Ê È
rot H = 1 D . c t

É ÄÅ

rot E = - HÈ

1 B , c t

E

È ÄÅ

1 H rot E - E rot H = div(E ç H ) = - (E Ç D + H Ç B ). c 1 c div(E ç H ) = - (E Ç D + H Ç B ). 4 4

div S =

ÄÅ

È ÎÊ
Ê

Ê ? È Ê
e
-i t

È

Ê



div S = -

1 4

Re E Ç Re D + Re H Ç Re B .

ÄÍÌÌÅ

?
Re E = 1 (E + E ), 2 Re H = 1 (H + H ). 2

ÄÍÌÍÅ

Re D = Re (-i (R + iI )E ) = [iR (E - E ) + I (E + E )]. 2

ÄÍÌÎÅ

Re E Ç Re D = i 4

R

(E )2 - (E )2 + I 2E Ç E



=

I |E |2 . 2

ÄÍÌÏÅ

? I 0È ÅI 0Ê È
div S = -

Ê
I |E |2 + ÅI |H |2 . 8

È

ÄÍÌ Å È Ä È É Ê

È

È Ê

È

Å

È

ÿ Ê
È
u(z , t) =
-

Ä


È

È



È

Å

É

A( )e

-i t+iöz

d .

ÄÍÌ Å

?

Ê?



A( )

= 0 È



È

Ê ÍÌ

È

Ê

É


 ö = ö( )È ö0 = ö(0 )Ê
u(z , t) =

öÈ ÄÍÌ Å




È

= (ö)È 0 = (ö0 ) ö = ö( )

A( (ö))e
-

-i (ö)t+iöz

(ö)dö.

ÄÍÌ Å

È

È

ö0 Ê

È


ÄÍÌ Å

(ö) 0 + (ö0 )(ö - ö0 ).




u(z , t)

A( (ö))e
-

-i[0 + (ö0 )(ö-ö0 )]t+iöz

(ö)dö.

ÄÍÌ Å É

?


È

È

u(z , t)

A( )e
-

-i0 t+i (ö0 )ö0 t+iö[z - (ö0 )t]

d = e

-i[0 + (ö0 )ö0 ]t

u(z - (ö0 )t, 0).

ÄÍÌ Å ÄÍÌ Å ÄÍÍÌÅ

È
|u(z , t)|2 |u(z - (ö0 )t, 0)|2 .

È

Ä

È

z z

t

Ä Å

(ö0 )tÈ

Å

È

vgr =

1 d . = dö dö d

ÄÍÍÍÅ ÄÍÍÎÅ È ÄÍÍÍÅ ÄÍÍÏÅ È È Ê É

È


vp
hs

Ê
= c . n

È
vgr = c . d( n) d



Ê È

È È ÄÍÍÏÅ

Ê

È

È

É Ê

?

ÿÊ
ÍÊ È È Ê Ê Ê ÍÌ È
Ê

É

Ê? È Ê

È É È

È

É É Ê É


n

e

j

Z

j

nj Ê

j

Z j nj - ne = 0 .
Ê

ÄÍÍ Å É

ÎÊ

È
E = E0 e
-i t

.

ÄÍÍ Å È É É

Ê Ê È

È

Ê

È È

Ê È Ê Ê È

Ê? É Ê? É È

È
r

Ê È É È Ê

È È

È
m? = -eE - col mr. r

É ÄÍÍ Å É É

È ÅÊ

Ê ÄÍÍ Å

Ê?

È È Ê
r = r0 e
-i t

Ä È
.

É ÄÍÍ Å


r0 =

ÄÍÍ ÅÈ
eE0 , m ( + icol ) r= eE . m ( + icol )

ÄÍÍ Å È É ÄÍÍ Å

ÏÊ

Ê

É
-en
e

P = - e ne r .

?

È
D = E + 4 P = ( )E , 1 1 4 e 2 ne 4 e2 ne col 4 e 2 ne =1- +i = R + i I . 2 + 2 2 + 2 m ( + icol ) m m col col
2 p 2, 2 + col 2 p col , 2 2 + col

ÄÍÎÌÅ

( ) = 1 -

ÄÍÎÍÅ

È
R = 1 -

I =

ÄÍÎÎÅ

È
p = 4 e 2 ne . m

ÄÍÎÏÅ

ÍÌ


Ê

Ê

Ê

È
R = 1 -

È
2 p , 2

I =

2 p col . 3

ÄÍÎ Å

nR ( ) =

R =

1-

2 p . 2

ÄÍÎ Å


vp
hs

= c

c , nR ( ) = cnR ( ).

ÄÍÎ Å

vgr =

d 2 - d

2 p

ÄÍÎ Å

È

Ê


Ê Ä
= 1 2
2 p 2

È Å
ol

É

nI ( ) =

I

2nR ( )

2 1 p col c 2 2 3 2 - col

ÄÍÎ Å

Ä

Å
2 1 p = 2 nI = c c


c
ol

2 2 - col



2 p col . 2 c

ÄÍÎ Å

È



ÄÍÎ Å


Ä

Å
2 2 2 e2 p = ne . 2 m

I ( )d =
0

ÄÍÏÌÅ

ÿ ÍÌÊ
ÍÊ Ê Ê È  Ê ÎÊ
 Ê Ê

È È Ê

È Ê? Ê È Ê È

È

Ê

Ê?

É

Ê

2 m 0 r È

Ê
m

Èr

È



0

Ê
2 m? = -m0 r . r

È

È



0

É

ÄÍÏÍÅ ÄÍÏÎÅ ÄÍÏÏÅ

r = C+ e

i0 t

+ C- e

-i0 t

r = Cc cos(0 t) + Cs sin(0 t).

ÍÍÌ


ÏÊ

Ê

E = E0 e
-i t

.

ÄÍÏ Å Ê Ê È È

È Ä

È Å È È

Ê?

È
-
col

È
mr Ê

2 m? = -m0 r - mcol r - eE . r

ÄÍÏ Å È È

Ê
col + 2 l2 - 4 col - 2 l2 - 4

r = C+ exp -

2 0

t

+ C- exp -

2 0

t

C+ e

-[col /2+i0 ]t

+ C- e

-[col /2-i0 ]t

Ê Ê
Ê

ÄÍÏ Å

È

È

È

r = r0 e e E, m

-i t

Ê ÄÍÏ Å

2 (- 2 - i col + 0 )r = -

r=

Å

e E . 2 m 2 - 0 + i col Ne e2 , 2 m 2 - 0 + i col

ÄÍÏ Å Ê? ÄÍÏ Å Ê ÄÍ ÌÅ ÄÍ ÍÅ È È È
col Ê ? È

P = -eNe r = - N
e

È

D = E + 4 P = ( )E , ( ) = 1 - 1 4 e2 Ne . 2 - 2 + i m col 0

Ê

Ê

0 Ê

?

É È ÄÍ ÎÅ

ÄÍÏ Å 0 Ê ? ÄÍ ÍÅ

È

È
2 2 - 0 = ( - 0 )( + 0 ) 20 ( - 0 ).

( ) = 1 -


R ( ) = 1 -

4 e2 E . 2m0 - 0 + icol /2

ÄÍ ÏÅ

ÄÍ ÏÅÈ

- 0 4 e2 Ne , 2 2m0 ( - 0 )2 + col /4

I =

col 4 e2 Ne . 2 2m0 ( - 0 )2 + col /4

ÄÍ Å

È


nR ( ) = 1- 4 e2 - 0 Ne , 2 2m0 ( - 0 )2 + col /4

ÄÍ Å

ÍÍÍ



( ) = 2

0 Ä
2

È

nR = 1 Å

È
1 Ê 1 + x2 Ê

col 0 2 e 0 nI = I ( ) = Ne . 2 c c m ( - 0 )2 + col /4

ÄÍ Å É É

È

col /2 = 0 +

col 2

Ê xÈ

Ê



col



ÄÍ

Å

Ê



ÄÍ ÍÅ

È

È

È
4 e2 1 Ne . m 2

Ê ÄÍ Å

( )

Re

( ) 1 -

Ä ÅÈ


I ( )d =
0

2 2 e2 Ne . m

ÄÍ Å

È ? ÄÍÏÌÅÊ Ê

Ê

È

Ê ? È È Ê È È Ê? È Ê È

Ê

È Ê Ê È É Ê È

È

É È É

È

Ê

É

Í Î Ï  ÈÍ

Ê ÊÈ



Ê Ê

Ê Ê ÊÊ Ê



È È

ÑÑÊ ÞÑÑÑÊ Ê Ê ÍÊ

Ê

ÊÈ

È ÎÌÌÏÈ ÏÏ Ê Ê Ê Ê ÊÈ È È

Ê ÊÈ ÎÈ ÎÌ Ê

?Ê ?ÊÈ Ê ÎÌÌÏÊ ÊÊ Ê ÎÌÌ Ê à èí ã è ç àà â

Ê ÎÊ Ê ÞãàÊ ÍÍ Ê Ö Ê ØÊ ÍÌ Í ÍÌ Ì Í ÍÊ Ê ÊÈ È ÍÍÌ Ê

Ü ææ àà ÒÊ Ñâê ç 

Ôãæ âèîÉ ãâèæ è ãâ ËË Ø íçÊ Ú êÊ Í Ýâ ê æç Ê çèæãÉä Ë È È Ê Ê

Ê Ûä à æ à è ê èí è è ãâ â è Ê ÊÈ

Ê

Øæéâ è ÛÊÈ Û è ÛÊÓÊÈ ãé è Ê ÚÊ ãçá á æãë ê æãéâ äãà æ î è ãâ è â à è ãæ æãéâ ç çè á è ãâç ã ãçáãàã à ä æ á è æç ËË ÕãâÊ ÖãèÊ ÚãíÊ çèæãâÊ Ûã Ê ÎÌÌÌÊ ÞãàÊ ÏÍ Ê Ö ÎÊ ØÊ Ï Ï ÏÊ ãà ãê Ê ÊÈ ãæãç ê Ê ÊÈ Öãê ãê Ê ÑÊÈ Öãê ãê ÑÊ Ê à çç è ãâ ã ç â éà æ äã âèç â äãà æ î è ãâ à ã ãçá á æãë ê æãéâ â âê èãæç ã Ûèã ç á èæ ì ËË Ê Ê Ê ÊÍ Ê Ê ÊÖ Ê ÊÏ ÌÍÊ ÍÌ ÍÍ  ?Ê ?ÊÈ ?Ê Ê Ê Ê Ê Ê ÊÈ ÊÈ ÈÍ ÈÍ È ÈÏ Î Ê Ê

ÍÍÎ