Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://qsft.phys.msu.ru/biblioteka/lecturesPS/cw1.pdf Дата изменения: Thu Oct 18 10:08:38 2012 Дата индексирования: Sat Apr 9 22:42:11 2016 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: магнитный момент

ФНБИК, Кафедра математики и математической физики "Теория вероятностей и математическая статистика" 2012 Кр1
1. Физический тест сложных молекул правильно различает молекулы A и B в 95% случаев, т.е. P (a|A) = P (b|B ) = 0.95, где a и b означают результат тестирования для соответствующей молекулы, а вероятности ошибочных результатов равны P (b|A) = P (a|B ) = 0.05. Эти цифры характеризуют аппаратную надежность тестов. Предположим, что молекулы типов A и B в потоке частиц встречаются с вероятностями P (A) = 0.8 и P (B ) = 0.2 соответственно. Используя формулу Байеса, вычислите P (A|b). 1. Физический тест сложных молекул правильно различает молекулы A и B в 96% случаев, т.е. P (a|A) = P (b|B ) = 0.96, где a и b означают результат тестирования для соответствующей молекулы, а вероятности ошибочных результатов равны P (b|A) = P (a|B ) = 0.04. Эти цифры характеризуют аппаратную надежность тестов. Предположим, что молекулы типов A и B в потоке частиц встречаются с вероятностями P (A) = 0.7 и P (B ) = 0.3 соответственно. Используя формулу Байеса, вычислите P (B |a). 1. Физический тест сложных молекул правильно различает молекулы A и B с вероятностями P (a|A) и P (b|B ), где a и b означают результат тестирования для соответствующей молекулы, а вероятности ошибочных результатов равны P (b|A) = 1 - P (a|A), P (a|B ) = 1 - P (b|B ). Предположим, что молекулы типов A и B в потоке частиц встречаются с вероятностями P (A) и P (B ) соответственно, так что P (A) + P (B ) = 1. Используя формулу Байеса, покажите, что P (A|b) + P (B |b). 1. Вычислить характеристическую функцию h(u) = E ein u случайной величины n , n имеющей биномиальное распределение pN (n) = CN pn (1 - p)N -n и найти с ее помощью среднее значение и дисперсию n .
n n n 1. Пользуясь комбинаторным тождеством CN +n = CN +n-1 +CN-1 -1 , доказать по индукции, +n что характеристическая функция h(u) = E ein u случайной величины n , имеющей отрицательное N p n биномиальное распределение pN (n) = CN pn (1 - p)N -n , n = 0, 1, . . . , равна h(u) = 1-(1-p)eiu . p 1. Пользуясь характеристической функцией h(u) = 1-(1-p)eiu случайной величины n , nn имеющей отрицательное биномиальное распределение pN (n) = CN p (1 - p)N -n , n = 0, 1, . . . , найти среднее значение и дисперсию случайной величины n . N

1. Вычислить характеристическую функцию h(u) = E ein u случайной величины n , n имеющей пуассоновское распределение p(n) = ! e- и найти с ее помощью среднее значение n и дисперсию. 1. Вычислить характеристическую функцию h(u) = E ein u случайной величины n , xa-1 имеющей гамма-распределение p(n) = (a)ba e-x/b и найти с ее помощью среднее значение и дисперсию. 1. Вычислить характеристическую функцию h(u) = E e a 1 имеющей распределение Коши p(n) = a2 +(x-ч)2 .
in u

случайной величины n ,

1. В объеме V находится N невзаимодействующих частиц равномерно распределенных по всему объему. Пусть V0 V некоторая выделенная часть объема V и n (V0 ) случайное число частиц, попавших в V0 в некоторый момент времени. Найти среднее и дисперсию случайной величины n (V0 ). Каково наиболее вероятное значение n (V0 ) ?


1. Пусть x, y [0, 1] независимые действительные случайные величины с плотностями распределения px (r) 1 и py (r) 1. Вычислить плотность вероятности случайной величины z = x + y. 1. Пусть x , y [0, 1] независимые действительные случайные величины с плотностями распределения px (r) 1 и py (r) 1. Вычислить распределение P (x y < a) вероятности произведения x ћ y . Чему равно наиболее вероятное значение x ћ y ? 1. Пусть x [0, 1] случайная величина с плотностью распределения px (r). Вычислить плотность вероятности случайной величины a ex . 1. Пусть x [0, 1] случайная величина с плотностью распределения px (r). Вычислить плотность вероятности случайной величины b log x. 1. Пусть x, y Rn независимые действительные случайные величины с плотностями распределения px (r) и py (r). Вычислить плотность вероятности случайной величины z = Ax + B y для обратимых матриц A и B . 1. Пусть x = {n }N RN , где n независимые случайные величины со стандартным 1 нормальным распределением. Вычислить распределение случайной величины r = |x|2 R+ . 1. Показать, что корреляционная функция действительных случайных величин и , связанных линейным соотношением = a + b , равна Cor ( , ) = b/|b|. 1. Показать, что из существования абсолютного момента порядка n следует существование всех абсолютных моментов более низших порядков. 1. Вычислить все моменты стандартного нормального распределения. 1. Вычислить все моменты экспоненциального распределения на R+ . 2. Получить случайную величину, имеющую распределение P ( < x) = e-e , x R методом преобразования случайной величины, равномерно распределенной на отрезке [0, 1]. 2. Получить случайную величину, имеющую распределение P ( < x) = e-x , x R+ методом преобразования случайной величины, равномерно распределенной на отрезке [0, 1]. 2. Для массива из N = 100 экспериментальных точек определено выборочное среднее чN = 0.98 и известна дисперсия оценок = 0.2. Какую абсолютную погрешность можно гарантировать для ч - чN с вероятностью P = 0.95? Воспользуйтесь центральной предельной теоремой и графиком кумулятивного распределения стандартной нормально распределенной случайной величины.
1.0

-ax

-a

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5 0 1 2 3 4

2. Для массива из N = 81 экспериментальных точек определено выборочное среднее чN = 1 и известна дисперсия оценок = 0.3. Какую погрешность для разности ч - чN


можно гарантировать с вероятностью P = 0.95? Воспользуйтесь центральной предельной теоремой и графиком кумулятивного распределения стандартной нормально распределенной случайной величины.
1.0

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5 0 1 2 3 4

2. Показать, что функция распределения максимума из N независимых одинаково распределенных величин N = max{1 , . . . , N } имеет вид
P (N x) = N x

p( )F

N -1

( ) d = 1 - F (x)N .

Функция p(x), стоящая под знаком интеграла, является плотностью этого распределения. 2. Показать, что функция распределения минимума из N независимых одинаково распределенных величин = min{1 , . . . , N } имеет вид
x

P ( x) = N
-

p( )F

N -1 c

( ) d = 1 - Fc (x)N .

Функция p(x), стоящая под знаком интеграла, является плотностью кумулятивного распределения F (x), а Fc (x) = 1 - F (x). 2. Распределение F (x) = P ( < x) называется max-устойчивым (или M -устойчивым), если для любого n = 2, 3, . . . существуют постоянные an > 0 и bn R, такие, что F n (an x + -x bn ) = F (x). Нужно показать, что распределение Гумбеля P ( x) = e-e , x R является M -устойчивым. 2. Распределение F (x) = P ( < x) называется max-устойчивым (или M -устойчивым), если для любого n = 2, 3, . . . существуют постоянные an > 0 и bn R, такие, что F n (an x + - bn ) = F (x). Нужно показать, что распределение Фреше P ( x) = e-x , x > 0, является M -устойчивым. 2. Счетчик регистрирует случайный поток средним числом N частиц в единицу времени, число частиц , регистрируемых в единицу, n p( = n) = N ! e-N , найти средний ток I и его n заряженных частиц, который характеризуется а заряд равен 2e. Предполагая, что случайное времени имеет пуассоновское распределение дисперсию.

2. Счетчик регистрирует случайный поток заряженных частиц, который характеризуется средним числом N частиц в единицу времени, а заряд равен 2e. Предполагая, что случайное число частиц , регистрируемых в единицу времени, имеет пуассоновское распределение n p( = n) = N ! e-N , найти средний заряд Q(t), зарегистрированный за время t и его дисперсию. n 2. Вероятность ориентации собственного магнитного момента молекул вдоль (+) и против (-) направления внешнего магнитного поля равна

e+ kT p+ ( T , H ) = 2 cosh

чH

чH kT

.


Вычислить намагниченность M и ее среднее значение по распределению p + (T , H ) для газа, состоящего из N молекул. Для вычисления среднего воспользуйтесь распределением Бернулли. 2. Вероятность ориентации собственного магнитного момента молекул вдоль (+) и против (-) направления внешнего магнитного поля равна

e+ kT p + (T , H ) = 2 cosh

чH

чH kT

.

Вычислить намагниченность M и ее дисперсию по распределению p+(T , H ) для газа, состоящего из N молекул. Для вычисления дисперсии воспользуйтесь распределением Бернулли. 2. Вероятность ориентации собственного магнитного момента молекул вдоль (+) и против (-) направления внешнего магнитного поля равна

e+ kT p+ ( T , H ) = 2 cosh

чH

чH kT

.

Вычислить намагниченность M и ее среднее значение по распределению p + (T , H ) для газа, состоящего из N молекул. Для оценки среднего воспользуйтесь теоремой МуавраЛапласа. 2. Вероятность ориентации собственного магнитного момента молекул вдоль (+) и против (-) направления внешнего магнитного поля равна

e+ kT p + (T , H ) = 2 cosh

чH

чH kT

.

Вычислить намагниченность M и ее дисперсию по распределению p+(T , H ) для газа, состоящего из N молекул. Для оценки дисперсии воспользуйтесь теоремой МуавраЛапласа. 2. Пусть x, y [-1, 1] независимые действительные случайные величины с плотностями 1 распределения px (r) 2 и py (r) 1 . Вычислить плотность вероятности случайной величины 2 z = max{x, y }. 2. Пусть x, y [-1, 1] независимые действительные случайные величины с плотностями 1 распределения px (r) 2 и py (r) 1 . Вычислить плотность вероятности случайной величины 2 z = min{x, y }. 2. Найти такое преобразование T : T = случайной величины равномерно -ax распределенной на отрезке [0, 1], чтобы P ( < x) = e-x , a > 0, x > 0. 2. Найти такое преобразование T : T = случайной величины равномерно -ax распределенной на отрезке [0, 1], чтобы P ( < x) = e-e , a > 0, x > 0. 2. Для выборки размера N c помощью неравенства Чебышева оценить вероятность 1 отклонения выборочной оценки N = N N=1 nk параметра пуассоновского распределения k n P (n) = ! e- не более, чем на 5% при k = 2. n 3. Вычислить характеристическую функцию нормального распределения со средним a и дисперсией 2 и получить формулу плотности вероятности для суммы и среднего значения N независимых величин с такими распределениями. 3. Доказать, что выборочное среднее независимых случайных величин, имеющих распределение 1 1 Коши p(x) = 1+x2 , также имеет распределение Коши.


3. Показать, что если функция h(z ) положительно определена в том смысле, что

h(zk - zj )ck cj 0,
k,j

то h(x - y ) h(y - x) h(0)2 и |h(x)| h(0) для любых x, y . В частности, если h(0) = 1, то |h(x)| 1. 3. Доказать, что если h(u) характеристические функция, то h(u) = e является характеристической функцией.
1 u u 0

h(z ) dz -1

также

3. Доказать, что если h(u) характеристические функция, то h(u) = e также является характеристической функцией.

c (h(u)-1)

,c>0

3. Найти распределение случайной величины, имеющей характеристическую функцию hq (u) = (1 + q |u|2 )-1 , q > 0. 3. Найти распределение, имеющее характеристическую функцию hc (u) = cos2 u. 3. Найти распределение, имеющее характеристическую функцию hs (u) =
sin au u

.
-
1 2

3. Найти распределение, имеющее характеристическую функцию h(u) = det(I +2iuC T C ) где I единичная матрица, C вещественная матрица того же размера. 3. Используя лемму Шура, показать, что если h (u), h (v ), h (z ) характеристические функции действительных случайных величин, то h(u, v ) = h (u)h (v )h (u - v ) характеристическая функция двумерной случайной величины. 3. Показать, что функция hq (u) = (1 + q |u|2 )-1 , q > 0, положительно определена. 3. Показать, что сумма независимых случайных величин, имеющих безгранично делимые распределения, является безгранично делимой случайной величиной.

,

3. Показать, что сумма независимых случайных величин, имеющих устойчивые распределения, является случайной величиной с устойчивым распределением.
N 1, где xn независимые 3. Вычислить предельное распределение 1 k=1 (xk - ), N N случайные величины, имеющие целочисленное пуассоновское распределение P (xk = n) = n - e. n! N 3. Вычислить предельное распределение 1 1, где xn независимые n=1 (xn - ), N N случайные величины, имеющие экспоненциальное распределение на R+ : P (xk > x) = e-x/ .

3. Вычислить предельное распределение

1 N

N n=1

(xn - ), N

1, где xn независимые
xa e-x/b (a)ba

случайные величины, имеющие гамма-распределение на R+ с плотностью p(x) =

.

1 3. Вычислить предельное распределение N N=1 xn , N 1, где xn независимые случайные n величины, имеющие распределение Коши на R с плотностью p(x) = (a2a x2 ) . +

4. Показать, что если абсолютные моменты {mn } д.с.в. x удовлетворяют условию 1

limn n-1 mn < ,
то ее характеристическая функция аналитична в некоторой открытой окрестности вещественной оси. 4. Выразить моменты стандартного нормального распределения через гамма-функцию.


4. Вычислить все моменты экспоненциального распределения на R+ . 4. Вычислить все моменты распределения Вигнера на отрезке [-2, 2]: p(x) = 4. Используя формулу реконструкции распределений на отрезке [0, 1]
1 2



4 - x2 .

P ( < x) = lim

N n<[N x]

n CN (-N

-n

)ч

n

найти вероятностное распределение, соответствующее моментам чn = 3/(n + 3), x (0, 1). 4. Используя формулу реконструкции распределений на отрезке [0, 1]

P ( < x) = lim

N n<[N x]

n CN (-N

-n

)ч

n

найти вероятностное распределение, соответствующее моментам чn = 2/(n + 2), x (0, 1). 4. Используя формулу реконструкции распределений на отрезке [0, 1]

P ( < x) = lim

N n<[N x]

n CN (-N

-n

)ч

n

найти вероятностное распределение, соответствующее моментам чn = 1/(n + 1), x (0, 1). 4. Используя формулу реконструкции распределений на отрезке [0, 1]

P ( < x) = lim

N n<[N x]

n CN (-N

-n

)ч

n

найти вероятностное распределение на отрезке x [0, 1], соответствующее моментам чn = pn , p (0, 1). 4. Используя формулу реконструкции распределений на отрезке [0, 1]

P ( < x) = lim

N n<[N x]

n CN (-N

-n

)ч

n

вывести формулу реконструкции распределения случайной величины, принимающей значения на произвольном отрезке [a, b], по ее моментам {чn }. Рассмотреть частный случай [-1, 1]. 4. Используя необходимое условие (-)m чn 0, которому удовлетворяют моменты случайных величин на [0, 1], получить необходимое условие для моментов случайной величины, принимающей значения на произвольном отрезке [a, b]. Рассмотреть частный случай [-1, 1]. 4. Плотность распределения вероятностей случайной величины, имеющей моменты {чn } аппроксимируется кривой Пирсона p(x), зависящей от параметров a, b0 , b1 , b2 :
4 1

p ( x) =

x-a p(x). b0 + b1 x + b2 x 2

Построить систему линейных уравнений для параметров a, b0 , b1 , b2 .