Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.abitu.ru/en2002/closed/viewwork.html?work=4
Дата изменения: Fri May 5 15:25:16 2006
Дата индексирования: Tue Oct 2 02:12:11 2012
Кодировка: koi8-r
Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п

Международная научно-техническая интернет- онференция школьников
«Старт в науку»

Новые свойства точек Фейербаха.

Автор: Стреленко Игорь Олегович,

11 класс гимназия ?45, г. Барнаул,

Алтайский край, Россия.

Научный руководитель:

Мальцев Юрий Николаевич,

доктор физико-математических наук,

профессор
Алтайского Государственного Университета.

Барнаул 2002
Содержание

Введение
4
Предварительные сведения
5
Результаты, полученные в работе
6

Глава I: Нахождение попарных расстояний FFa и FaFb

1.1. Нахождение расстояния FFa.
9

1.2. Нахождение расстояний FaFb и FaFс
13

1.3. Свойства ?FaFbFc
16

Глава II: Свойства четырёхугольника FFaFbFc

2.1. Исследование четырёхугольника FFaFbFc
17

2.2. Прямая Фейербаха
17

2.3. Условия, при которых четырёхугольник FFaFbFc является трапецией
19

Глава III: Нахождение расстояний от точек Фейербаха F и Fa до других
замечательных
точек треугольник

3.1. Расстояние от точки Фейербаха F до ортоцентра
21
3.2. Расстояние от точки Фейербаха F до центр тяжести треугольника
22
3.3. Расстояние от точки Фейербаха F до центра вневписанной окружности при
стороне b
23

3.4. Расстояние от точки Фейербаха F до центра описанной окружности
23
3.5. Расстояние от точки Фейербаха Fa до центра описанной окружности
25 3.6. Расстояние от точки Фейербаха Fa
до ортоцентра треугольника 26
3.7. Расстояние от точки Фейербаха Fa до центра тяжести треугольника
27
3.8. Расстояние от точки Фейербаха Fa до центра вневписанной окружности при
стороне b
28

3.9. Расстояние от точки Фейербаха F до точки Нагеля
29
3.10. Расстояние от точки Фейербаха F до точки Жергона
30

Глава IV: Свойства треугольника ?FNI
4.1. Условия, при которых FN = FI
32
4.2. Условия, при которых FN = IN
33
4.3. Условия, при которых NI = FI
33
4.4. Условия, при которых в ?NFI угол (FIN = 90(
34
4.5. Условия, при которых в ?NFI угол (FNI = 90(
36
4.6. Условия, при которых в ?NFI угол (NFI = 90(
38

Задачи для дальнейшей работы
39

Литература
40

Введение.

Фейербах Карл Вильгельм (30.5.1800-12.3.1834)- немецкий математик,
преподаватель гимназии в Эрлангене. Доказал в 1822 году теорему об
окружности, проведённой через основания высот треугольника (теорему
Фейербаха).
Точки Фейербаха- это точки касания окружности Эйлера с вписанной
окружностью и тремя вневписанными окружностями, соответственно в точках F,
Fa, Fb и Fc. Известно, что середины сторон треугольников, основания высот и
середины отрезков, соединяющих вершины треугольников с ортоцентром, лежат
на одной окружности, называемой окружностью Эйлера или окружностью 9-ти
точек. Её центр O9 - середина отрезка OH, её радиус равен R/2, где H-
ортоцентр, O- центр описанной окружности и R- радиус описанной окружности
(см. стр.53-54 [1]). Целью данной работы было исследование
взаиморасположения и связи между точками Фейербаха и другими замечательными
точками треугольника. В работе получены новые результаты, по-видимому,
нигде в известной литературе не опубликованные.

Предварительные сведения.

Точки Фейербаха (в обозначении, F,Fa,Fb,Fc) - точки касания окружности
Эйлера с вписанной окружностью и тремя вневписанными окружностями
соответственно.
Центр тяжести (в обозначении, G) - точка пересечения медиан треугольника.
Ортоцентр (в обозначении, H) - точка пересечения высот треугольника.
Центр вписанной окружности (в обозначении, I) - точка пересечения
биссектрис треугольника.
Центр описанной окружности (в обозначении, O) - точка пересечения
серединных перпендикуляров, проведённых к сторонам треугольника.
Центр вневписанной окружности (в обозначении, Ia) - точка пересечения
биссектрис внешних углов треугольника при одной из его сторон.
Центр окружности Эйлера (в обозначении, O9) - середина отрезка от
ортоцентра до центра описанной окружности.
Точка Жергона (в обозначении, J) - это точка пересечения прямых, проходящих
через вершины треугольника и точки касания его сторон, противолежащих
вершинам, с вписанной окружностью.
Точка Нагеля (в обозначении, N) - точка пересечения прямых, соединяющих
вершины треугольника с точками, в которых вневписанные окружности касаются
противоположных сторон (эти прямые делят пополам периметр треугольника).
Точки Эйлера - это середины отрезков высот от ортоцентра до вершин
треугольника.
Окружность 9-ти точек (окружность Эйлера) - это окружность, проходящая
через основания медиан, основания высот и точки Эйлера.
a, b, c - стороны треугольника.
p- полупериметр.
R- радиус описанной окружности.
r- радиус вписанной окружности.
S- площадь треугольника.
?a, ?b, ?c- радиусы вневписанных окружностей соответственны сторонам a, b
и c.
Углы ?, ?, ? - углы треугольника при соответствующей вершине.

Результаты, полученные в работе:

Полученные теоремы:

Теорема I. Квадрат расстояния между точками Фейербаха F и Fa равен
d(FFa)ќ= Rќ/(R-2r) ћ (aќ- 4?a r)/ (R+2?a).
Теорема II. Квадрат расстояния между точками Фейербаха Fa и Fc равен
d(FaFc)ќ = Rќ/(R + 2?a)(R + 2?c) • (a + c)ќ.
Теорема III. Треугольник ?FaFbFc является равносторонним тогда и только
тогда, когда ?ABC равносторонний.
Теорема IV. Не существует треугольник, для которого четырёхугольник FFaFbFc
является прямоугольным.
Теорема VI. Точки F, I, O9, Fb лежат на одной прямой, прямой Фейербаха,
тогда и только тогда, когда ? = 60є.
Теорема VII. Если FFaFbFc является трапецией (FFaЎFcFb ), то a = (b +
c)/2, либо b = (a +c)/2, либо c = (a + b)/2.
Теорема VIII. Квадрат расстояния от точки Фейербаха F до ортоцентра равен
d(FH)ќ = (4RЁ - 2Rrќ - rЁ + pќ(R + r))/(R
- 2r).
Теорема IX. Квадрат расстояния от точки Фейербаха F до центра тяжести
треугольника равен
d(FG)ќ = [pќ(R + r) - r(4R + r)ќ]/9(R - 2r).
Теорема X. Квадрат расстояния от точки Фейербаха F до центра вневписанной
окружности при стороне b равен
d(FIb)ќ = ?bќ + R(bќ - 4r?b)/(R-2r).
Теорема XI. Квадрат расстояния от точки Фейербаха F до центра описанной
окружности равен
d(FO)ќ = [RЁ + 2r(pќ-rќ) - Rr(6R + 5r)]/(R - 2r).
Теорема XII. Квадрат расстояния от точки Фейербаха F до точки Нагеля равен
d(FN)ќ = 1/(R-2r) • [pќ(R-r) - r(16Rќ-20Rr+3rќ)].
Теорема XIII. Квадрат расстояния от точки Фейербаха F до точки Жергона
равен d(FJ)ќ=1/(R -2r) • [8/3 • pќr(8Rќ + rќ)/(4R + r)ќ - 3Rќr - 5r/9 •
(pќ - r(4R + r)) - 11pќrќR/(4R + r)ќ].
Теорема XIV. Квадрат расстояния от точки Фейербаха Fa до центра описанной
окружности равен
d(FaO)ќ = [(6Rќ + rќ - pќ)rp + RЁ(p-a) + Rrќp(3p-4a)/(p-a)]/[R(p-a) + 2rp].

Теорема XV. Квадрат расстояния от точки Фейербаха Fa до ортоцентра
треугольника равен
d(FaH)ќ = [?a[R(4(R + 3r) - ?a) + 3(rќ - pќ)] + R[R(6R - 4r) - (pќ +
rќ)]]/(R + 2?a).
Теорема XVI. Квадрат расстояния от точки Фейербаха Fa до центра тяжести
треугольника равен
d(FaG)ќ = R?a(4R - ?a)/3(R + 2?a) + (R - ?a)(pќ- rќ - 4Rr)/9(R + 2?a).
Теорема XVII. Квадрат расстояния от точки Фейербаха Fa до центра
вневписанной окружности при стороне b равен
d(FaIb)ќ = R(a + b)ќ/(R + 2?a) + ?bќ.
Теорема XVIII. FN = FI, если исходный треугольник является равносторонним,
либо pќ=(16Rќr -19Rrќ+ rЁ)/(R - r).
Теорема XIX. FN = NI тогда и только тогда, когда pќ = 17Rr - 7rќ и R/r ™
9/4.
Теорема XX. NI = FI тогда и только тогда, когда pќ = 16Rr - 4rќ и R ™ 9/4 •
r.
Теорема XXI. ?NFI является равнобедренным тогда и только тогда, когда либо
1) pќ = (16Rќr - 19Rrќ + rЁ)/(R-r), либо 2) R ™ 9/4 • r и либо pќ=16Rr -
4rќ, либо pќ=17Rr - 7rќ.
Теорема XXII. В ?NFI угол (FIN = 90,( тогда и только тогда, когда исходный
треугольник не является правельным и pќ = 18Rr - 9rќ и R ( 2r.
Теорема XXIII. ?NFI является прямоугольным ((FIN = 90() и равнобедренным
тогда и только тогда, когда R =5/2•r и p = 6r.
Теорема XXIV. В ?NFI угол (FIN = 90(, а (IFN = 30( тогда и только тогда,
когда
R = 13r/6, а p = r(30.
Теорема XXV. В ?NFI угол (FIN = 90(, а (INF = 30( тогда и только тогда,
когда
R = 7r/2, а p = 3r(6.
Теорема XXVI. Треугольник ?NFI является прямоугольным с углом (FNI = 90(
тогда и только тогда, когда исходный треугольник не является правильным и
pќ = (32Rќr + 11rЁ - 56Rrќ)/(2R - 3r).
Теорема XXVII. Прямоугольный треугольник ?NFI с углом (FNI = 90( является
равнобедренным, т.е. IN = FN тогда и только тогда, когда R = r(19/4 + (89)
и pќ = (32Rќr + 11rЁ - 56Rrќ)/(2R - 3r) либо pќ = 17Rr - 7rќ.
Теорема XXVIII. В ?NFI угол (FNI= 90(, а (IFN = 30( тогда и только тогда,
когда
R = 13r/6, а p = r(359/4(3.
Теорема XXIX. В ?NFI угол (FNI= 90(, а (FIN = 30( тогда и только тогда,
когда
R = 7r/2, а p = r(207/2.

Полученные следствия:

Следствие 1. Точки Фейербаха F и Fa совпадают тогда и только тогда, когда b
= c , т.е.
исходный треугольник является равнобедренным.
Следствие 2. Квдрат расстояния от точки Фейербаха F до центра вневписанной
окружности при стороне a равен
d(FIa)ќ = ?aќ + (b-c)ќ • R/(R-2r)
Следствие 3. FaFc = FaFb тогда и только тогда, когда исходный треугольник
является равнобедренным, т.е. b = c или aќ(a + b + c) + abc = (b + c)[bќ +
cќ + ab + ac].
Следствие 4. Ортоцентр никогда не совпадает с точкой Фейербаха F.
Следствие 5. Точка Фейербаха F и центр тяжести треугольника совпадают тогда
и только тогда, когда pќ = r (4R + r)ќ/(R + r).
Следствие 6. Точка Фейербаха F и центр описанной окружности никогда не
совпадают.
Следствие 7. Точка Фейербаха F никогда не совпадает с точкой Нагеля.
Следствие 8. R?a(4R - ?a) + (R - ?a)(pќ- rќ - 4Rr)/3 > 0.
Следствие 9. ?NFI является равносторонним тогда и только тогда, когда R=3r
и
p = 2r(11.
Предложение. Ни в одном треугольнике (NFI ( 90(.

Глава I:
Нахождение попарных расстояний FFa и FaFb.

1.1. Нахождение расстояния FFa.

Лемма 1. Квадрат расстояния от точки Фейербаха F до центра вневписанной
окружности при стороне a равен ?aќ+(1+2 ?a/R )FFaќ.

рис.1

Fc O9 Fb
F ( I

Fa

Ia

Пусть ( = (FO9Ia.
Тогда по теореме косинусов:
FFaќ = Rќ/4 + Rќ/4 -2 R/2•R/2 cos( или cos( = 1- (2/Rќ)• FFaќ ,
FIaќ= Rќ/4 + (?a + R/2)ќ - 2 R/2 • (?a + R/2) cos( или
FIaќ= Rќ/4+(?a + R/2)ќ -2 R/2 (?a + R/2)(1- 2/Rќ FFaќ)=
=(R/2-?a-R/2)ќ+ (R+2 ?a)/R• FFaќ или
FIaќ= ?aќ+(1+2 ?a/R )FFaќ.

Лемма 2: ([1], стр. 59) IO9= R/2 - r.

По теореме косинусов из ? IO9Ia имеем, что
IIaќ= IO9ќ+ O9Iaќ- 2 IO9 ћO9Ia cos(.

Лемма 3: IIaќ= aќ+(?a -r)ќ = aќ( 1+ rќ/(p-a)ќ).
Док-во:
Сначала заметим, что
x = p-b.
Действительно, из рис.2 следует, что a= x + (b-c + x) или
2x = a + c-b или x = p-b.

рис.2
c-x c-x

c

b

x
b-c + x

b-
c + x
x
a

Далее,

рис.3

c
b

a
y
a-y
y

a-y

Докажем, что y = p-c .
По рис.3 отрезок (c + y) равен отрезку (b + (a-y)) или 2y = a +b-c , т.е.
y = p-c.
Из этого следует, что
x + y= 2p-b-c = a.
Рассмотрим ? QIIa

рис.4

x
I

y
a
Q
?a-r
Ia

Из ?QIIa по теореме Пифагора следует, что:
IIaќ= aќ+(?a -r)ќ= aќ+ (pr/(p-a) - r)ќ = aќ+ rќ aќ/(p-a)ќ= aќ(1 + rќ/(p-
a)ќ).
Лемма доказана.
Следовательно,
IIaќ= aќ+(?a -r)ќ= IO9ќ+ O9Iaќ- 2 IO9 •O9Ia cos( =
= (R/2 - r)ќ+ (R/2 + ?a)ќ-2(R/2 - r)(R/2 + ?a)(1- 2/Rќ •FFaќ) =
= (R/2 - r- R/2 - ?a)ќ + 4/Rќ (R/2 - r)(R/2 + ?a) FFaќ или
aќ+(?a -r)ќ=( ?a+ r)ќ + (R-2r)(R+2?a)/Rќ• FFaќ или
FFaќ= (aќ- 4?a r)Rќ / (R-2r)(R+2?a),
Причём, R?2r, иначе исходный треугольник является правильным, и вписанная
окружность совпадёт с окружностью Эйлера, и точка F является
неопределенной.

Теорема I. Квадрат расстояния между точками Фейербаха F и Fa равен
d(FFa)ќ = Rќ/(R-2r) ? (aќ- 4?a r)/ (R+2?a).

Придадим этой формуле иной вид.
Имеем, что
aќ - 4?a r = aќ- 4prќ/(p-a) = aќ- 4pќrќ/p(p-a) = aќ- 4(p-b)(p-c) = aќ- (2p-
2b)(2p-2c) =
= aќ - (a + c-b)(a + b-c) = aќ - (aќ - (c-b)ќ) = (c-b)ќ.
Тогда,

FFaќ= Rќ/(R-2r) • (b-c)ќ/(R+2?a).

Следствие 1. Точки Фейербаха F и Fa совпадают тогда и только тогда, когда b
= c , т.е.
исходный треугольник является равнобедренным.

По данным леммы 1 и теоремы I имеем, что
FIaќ = ?aќ + (R + 2?a)/R • FFaќ = ?aќ + Rќ/(R-2r) • (b-c)ќ/(R+2?a) • (R +
2?a)/R =
= ?aќ + (b-c)ќ • R/(R-2r).
Итак, получено следствие 2 .
Следствие 2. Квдрат расстояния от точки Фейербаха F до центра вневписанной
окружности при стороне a равен
d(FIa)ќ = ?aќ + (b-c)ќ • R/(R-2r).

1.2. Нахождение расстояний FaFb и FaFc.

Рассмотрим рис.5

рис.5

Ic
Fc

O9

Fa

Ia

Пусть (FcO9Fa = ?.
Тогда, по теории косинусов:
IcIaќ=( ?c + R/2)ќ + (?a + R/2)ќ- 2( ?c + R/2)•(?a + R/2)•cos?.
(FaFc)ќ= Rќ/4 + Rќ/4 - 2•R/2•R/2•cos ? или
cos? = 1 - 2/Rќ• (FaFc)ќ.
Следовательно,
(IcIa)ќ=(?c + R/2)ќ + (?a + R/2)ќ- 2( ?c + R/2)•(?a + R/2)•(1 - 2/Rќ•
FaFcќ) =
= (?c + R/2 - ?a - R/2)ќ + 4/Rќ•( ?c + R/2)•(?a + R/2)• (FaFc)ќ или
(FaFc)ќ = Rќ/(2?c + R)(2?a + R) • ( IaIcќ - (?a - ?c)ќ).
( 1 )
Вычислим IaIc.
Рассмотрим рис.6

рис.6

c-u
Ic
c-u b
?c
E u u F
B
?a

Ia

Рассмотрим подобные треугольники ?BIcE и ?BIaF.
Из подобия треугольников следует, что
?c /BIc = ?a/BIa , т.е.
IaB = ?a/?c• IcB или
IaIc = IcB + IaB = IcB•(1 + ?a/?c) = IcB•((?a + ?c)/?c).
т.к. IcBќ = ?cќ + (p-a)ќ.
IaIcќ = (?cќ + (p-a)ќ)•(1 + ?a/?c)ќ.
Воспользовавшись равенством (1), имеем, что
IaIcќ - (?a - ?c)ќ = ?aќ + ?cќ + 2?a?c + [(p-a) + S/?c]ќ - ?aќ + 2?a?c -
?cќ =
= 4?a?c + [p-a + p-c]ќ = bќ + 4?a?c = bќ + 4pќrќ/(p-a)(p-c) = bќ + 4p(p-b)
= (2p-b)ќ = =(a + c)ќ.
Таким образом, доказана теорема II.

Теорема II. Квадрат расстояния между точками Фейербаха Fa и Fc равен
d(FaFc)ќ = Rќ/(R + 2?a)(R + 2?c) • (a + c)ќ.

Следствие 3. FaFc = FaFb тогда и только тогда, когда исходный
треугольник является равнобедренным, т.е. b = c или aќ(a + b + c) + abc =
(b + c)[bќ + cќ + ab + ac].

Действительно, имеем, что
Rќ• (a + c)ќ/(R + 2?a)(R + 2?c) = Rќ• (a + b)ќ/(R + 2?a)(R + 2?b) или
(a + c)ќ(R + 2?b) = (a + b)ќ(R + 2?c) или
[(a + c)ќ-(a + b)ќ]R = 2(a + b)ќS/(p-c) - 2(a + c)ќS/(p-b)
или
[(cќ-bќ) + 2a(c-b)]R = 2S/(p-c)(p-b) • [(a + b)ќ(p-b) - (a + c)ќ(p-c)] =
= 2Sќ/S(p-c)(p-b) • [(aќ + 2ab + bќ)(p-b) - (aќ + cќ +2ac)(p-c)] =
= 2p(p-a)/S • [ -aќb + 2apb-2abќ + bќp-bЁ + aќc-cќp + cЁ-2acp + 2acќ] =
= 2p(p-a)(c-b)/S • [aќ-2ap + 2a(c + b) + cќ +bќ + bc-p(c + b)].
Если c = b, то исходный треугольник является равнобедренным. Пусть b ? c.
Сократим на
(b - c), получим, что
(2a + b + c)RS = 2p(p - a)[aќ + bќ + cќ + bc + 2ac + 2ab - p(2a + b + c)] =
= 2p(p - a)[2aќ + 2bќ + 2cќ + 2bc + 4ac + 4ab - (2aќ + ab + ac + 2ab + bќ +
bc + 2ac + bc + cќ)]/2 =
= 2p(p-a) • [bќ + cќ + ab + ac]/2 = p(p-a)(bќ + cќ + ab + ac).
Т.к. RS = abc/4 , то наше равенство эквивалентно
abc • (2a + b + c) = (a + b + c)(b + c - a)(bќ + cќ + ab + ac) или
2aќbc + abc(b + c) = [(b +c)ќ-aќ](bќ + cќ + a(b + c)) или
2aќbc + abc(b + c) = (b +c)ќ[bќ + cќ + a(b + c)] - aќ(bќ + cќ) - aЁ(b + c).
aќ(b + c)ќ + abc(b + c) = (b +c)ќ[bќ + cќ + a(b + c)] - aЁ(b + c).
Сократим на (b + c), получим, что
aќ(a + b + c) + abc = (b + c)[bќ + cќ + a(b + c)]. (2)
Следствие доказано.

Пример.
Докажем, что существует неравнобедренный треугольник, в котором
выполняется
равенство (2).
Подставим c = 1, b = 2. Тогда равенство (2) принимает вид
aќ(a + 3) + 2a = 3[5 + 3a] = 15 + 9a или
aЁ + 3aќ - 7a - 15 = 0.
Пусть f(x) = xЁ + 3xќ - 7x - 15. Т.к. f(2) = -9<0 и f(3) = 54-21-15 =
18>0, то
уравнение f(x) = 0 имеет корень находящийся в промежутке (2;3), т.е.
существует неравнобедренный треугольник, в котором FaFc = FaFb.

1.3. Свойства ?FaFbFc.

Теорема III. Треугольник ?FaFbFc является равносторонним тогда и только
тогда, когда ?ABC равносторонний.

Пусть FaFb = FaFc = FbFc. Пусть a ? b, a ? c, b ? c. Тогда из равенства (2)
следует, что
aќ(a + b + c) + abc = (b + c)(bќ + cќ + a(b + c)) и
bќ (a + b + c) + abc = (a + c)(aќ + cќ + b(a + c)).
Вычитая неравенства, получим, что
(aќ-bќ)(a + b + c) = bќ + cќb + ab(b + c) + cbќ + cЁ + ac(b + c)-aЁ-acќ -
ab(a + c)-aќc-cЁ-bc(a + c) =
= (bЁ-aЁ) + cќ(b-a) + ab(b-a) + c(bќ-aќ) + (a-b)cќ , т.е.
(aќ-bќ)(a + b + c) = (bЁ-aЁ) + ab(b-a) + c(bќ-aќ).
Из равенства видно, что левая и правая части имеют противоположные знаки.
Противоречие!
Следовательно, пусть, например, a = b. Тогда из FaFcќ = FaFbќ следует, что
Rќ(a + c)ќ/(R + 2?a)(R + 2?c) = Rќ(a + a)ќ/(R + 2?a)ќ, p =(2a +c)/2 = a +
c/2 или
(R + 2?a) (a + c)ќ = 4aќ(R + 2?c) или
R[(a + c)ќ - 4aќ] = 8aќ?c - 2?a(a + c)ќ = 8aќ•S/(p-c) - 2(a + c)ќ•S/(p-a)
=2S[4aќ/(a-c/2) - (a + c)ќ/c/2]=
= 4S[4aќ/(2a-c) - (a +c)ќ/c] или
SR[cќ + 2ac - 3aќ] = 4Sќ[4aќ/(2a - c) - (a + c)ќ/c].
Т.к. SR = abc/4 = aќc/4 и Sќ= p(p-a)ќ(p-c) = (2a + c)/2 • cќ/4 • (a- c/2)
= (4aќ-cќ)cќ/16, то
aќc/4 • [cќ + 2ac - 3aќ] = (4aќ - cќ )cќ/4 • [4aќc - (a + c)ќ(2a - c)]/(2a-
c)c или
aќ [cќ + 2ac - 3aќ] = (2a + c)[4aќc - (aќ + cќ + 2ac)(2a - c)] или
aќcќ + 2aЁc - 3aЁ•a = (2a + c)(4aќc - 2aЁ + aќc - 2acќ + cЁ - 4aќc + 2acќ)
= (2a + c)(aќc - 2aЁ + cЁ) =
= 2aЁc - 4a4 + 2acЁ + aќcќ - 2aЁc + c4 или
a4 = 2acЁ - 2aЁc + c4
Следовательно, a4 - c4 = 2ac(cќ - aќ) или a = c или aќ + cќ = -2ac < 0
,т.е. a = b = c.

Теорема доказана.

Глава II:
Свойства четырёхугольника FFaFbFc.

2.1. Исследование четырёхугольника FFaFbFc.

Теорема IV. Не существует треугольник, для которого четырёхугольник FFaFbFc
является прямоугольным.
Действительно, если четырёхугольник FFaFbFc является прямоугольным, то FFb
и FaFc - диаметр, т.е. FFb = R ; FaFc = R.
Следовательно,
Rќ(bќ - 4r?b)/(R-2r)(R + 2?b) = Rќ и Rќ(a + c)ќ/(R + 2?a)(R +
2?c) = Rќ или
bќ - 4?br = R(R - 2r) + 2?b(R - 2r) или
bќ = R(R - 2r) + 2?b(R - 2r + 2r) = Rќ - 2Rr + 2R?b или
bќ = aќbќcќ/4ќSќ - 2abc/4S • pr/p + 2abc/4S • S/(p-b) = aќbќcќ/16Sќ -
abc/2p + abc/2(p-b) =
= aќbќcќ/16Sќ + abc/2 • [1/(p-b) - 1/p] = aќbќcќ/16Sќ + abc/2(p-b)p или
16Sќ = aќcќ + ac•8Sќ/p(p-b) = aќcќ + 8ac(p-a)(p-c).
16Sќ = aќcќ + 2ac(c + b - a)(b + a - c) = aќcќ + 2ac(bќ - (a-c)ќ).
(3)
Проанализируем второе равенство
(a + c)ќ = Rќ + 2R(?a + ?c) + 4?a?c = (abc)ќ/16Sќ + 2abc/4S • (S/(p-a) +
S/(p-c)) + 4Sќ/(p-a)(p-c).
(a + c)ќ=(abc)ќ/16Sќ + 2abќc•S/4S(p-a)(p-c) + 4p(p-b)=(abc)ќ/16Sќ +
abќc•S/2S(p-a)(p-c) + (a+c)ќ-bќ.
1 = aќcќ/16Sќ + ac•S/2S(p-a)(p-c) ( 16Sќ = aќcќ + 8Sќac/(p-a)(p-c).
16Sќ = aќcќ + 8ac(p-b)p = aќcќ + 2ac(a + c -b)(a + c + b).
(a + c - b)(a + b + c) = bќ - (a-c)ќ.
(a + c)ќ - bќ = bќ - (a-c)ќ.
(a + c)ќ + (a-c)ќ = 2bќ.
aќ+ cќ = bќ.
Следовательно,
16Sќ = aќcќ + 2ac•2ac = 5aќcќ,
S = ac/2.
Следовательно, 16Sќ = 4aќcќ ? 5aќcќ, т.е. такого треугольника не
существует.

2.2. Прямая Фейербаха.

Вернёмся к равенству (3), т.е. к условию того, что точки F, I, O9, Fb
лежат на одной прямой:
16Sќ = aќcќ + 2ac[bќ - (a-c)ќ] или
(a + b + c)(b + a - c)(b + c - a)(a + c - b) = [bќ - (a-c)ќ][(a + c)ќ - bќ]
= aќcќ + 2ac[bќ - (a-c)ќ] или
[bќ - (a-c)ќ][(a + c)ќ - bќ - 2ac] = aќcќ или [bќ - (a-c)ќ](aќ + cќ -
bќ) = aќcќ.
(bќ - aќ - cќ + 2ac)(aќ + cќ - bќ) = aќcќ.
Если bќ ™ aќ + cќ , то левая часть 0. Т.е. aќ + cќ > bќ , т.е. (? < 90є.
aќbќ + bќcќ - b4 - a4 - aќcќ + aќbќ - aќcќ - c4 + cќbќ + 2ac(aќ + cќ) -
2acbќ = aќcќ.
2aќbќ - 2aќcќ - a4 - c4 + 2bќcќ - b4 + 2aЁc + 2acЁ - 2acbќ = aќcќ.
-(aќ - ca)ќ - (ca - cќ)ќ - (bќ + ac)ќ + 2bќ(bќ + cќ) = 0.
2bќ(aќ + cќ) - (bќ + ac)ќ = aќ(a - c)ќ + cќ(a-c)ќ = (aќ + cќ)(a-c)ќ.
(bќ + ac)ќ + (aќ + cќ)[(a-c)ќ - 2bќ] = 0.
Приведём пример треугольника, удовлетворяющего этому условию.
Пусть, a = 2; c = 1.
(bќ + 2)ќ + 5(1 - 2bќ) = 0.
b4 + 4bќ + 4 + 5 - 10bќ = 0.
b4 - 6bќ + 9 = (bќ - 3)ќ = 0.
b = –3.
Итак, примером такого треугольника является треугольник, длинны сторон
которого равны: a = 2; c = 1; b = –3.
-b4 + bќ[(aќ + cќ) + (a - c)ќ] - (aќ-cќ)ќ = aќcќ + 2acbќ - 2ac(a-c)ќ.
b4 + bќ2[ac - aќ - cќ] + aќcќ + (a-c)ќ[-2ac + (a + c)ќ] =0.
b4 + 2bќ(ac - aќ - cќ) + (a-c)ќ(aќ + cќ) + aќcќ =0.
Итак, доказана следующая теорема:
Теорема V. Точки F, I, O9, Fb лежат на одной прямой, прямой Фейербаха,
тогда и только тогда, когда b4 + 2bќ(ac - aќ - cќ) + (a-c)ќ(aќ + cќ) +
aќcќ = 0.
Придадим теореме иной вид.
[bќ + (ac - aќ - cќ)] ќ = (ac - aќ - cќ)ќ - (ac)ќ - (a - c)ќ(aќ + cќ) =
= aќcќ + a4 + c4 - 2aЁc - 2acЁ + 2aќcќ - (aќ + cќ - 2ac)(aќ + cќ) - (ac)ќ =
= a4 + c4 - 2aЁc - 2acЁ + 2aќcќ - a4 - aќcќ - aќcќ - c4 + 2aЁc + 2acЁ = 0.
Т.е. bќ = aќ + cќ - ac = aќ + cќ - 2ac • cos ?.
Т.е. cos ? =1/2 и ? = 60є.
Итак, доказана теорема:
Теорема VI. Точки F, I, O9, Fb лежат на одной прямой, прямой Фейербаха,
тогда и только тогда, когда ? = 60є.

2.3. Условия, при которых четырёхугольник FFaFbFc является трапецией.

Т.к. трапеция FFaFbFc вписанна в окружность , то она равнобедренная и
условия того, что четырёхугольник FFaFbFc является трапецией эквивалентен
равенствам: FFc = FaFb,
FcFa = FFb (Мы считаем, что FFaЎFcFb ).

рис.7

Fc Fb

F Fa

FFc = FaFb; FcFa = FFb.
Rќ(aќ-4r?c)/(R-2r)(R + 2?c) = Rќ(a + b)ќ/(R + 2?a)(R + 2?b).
(a + c)ќ/(R + 2?a)(R + 2?c) = (bќ - 4?br)/(R -2r)(R + 2?b).
(a - b)ќ/(R-2r)(R + 2?c) = (a - b)ќ/(abc/4S - 2S/p)(abc/4S + 2S/(p-c)) = (a
- b)ќ/((abc)ќ/16Sќ +
+ abc/2(p-c) - abc/2p - 4Sќ/p(p-c)) = (a - b)ќ/((abc)ќ/16Sќ + abc/2 • [1/(p-
c) - 1/p] - 4(p-a)(p-b)) =
= (a - b)ќ/((abc)ќ/16Sќ + abcќ/2p(p-c) - 4(p-a)(p-b)).
(a + b)ќ/(abc/4S + 2S/(p-a))(abc/4S + 2S/(p-b)) = (a + b)ќ/((abc)ќ/16Sќ +
abc/2(p-b) + abc/2(p-a) +
+ 4Sќ/(p-c)(p-b)) = (a + b)ќ/((abc)ќ/16Sќ + abcќ/2(p-a)(p-b) + 4p(p-c)).
(a-b)ќ(abc)ќ/16Sќ + (a-b)ќabcќ/2(p-a)(p-b) + (a-b)ќ4p(p-c) = (a + b)ќ
[(abc)ќ/16Sќ + abcќ/2p(p-c) - 4(p-a)(p-b)].
-4ab(abc)ќ/16Sќ + (a-b)ќabcќ/2(p-a)(p-b) + (a-b)ќ[(a + b)ќ - cќ] = (a +
b)ќabcќ/2p(p-c) - (a + b)ќ(c + b - a)(a + c - b).
-4ab(abc)ќ/16Sќ + (a-b)ќabcќ/2(p-a)(p-b) + cќ[(a + b)ќ - (a-b)ќ] = (a +
b)ќabcќ/2p(p-c).
-4ab(abc)ќ/16Sќ + (a-b)ќabcќ/2(p-a)(p-b) + 4abcќ = (a + b)ќabcќ/2p(p-c).
-4ab(ab)/16Sќ + (a-b)ќ/2(p-a)(p-b) + 4 = (a + b)ќ/2p(p-c).
-(ab)ќ/4 + (a-b)ќSќ/2(p-a)(p-b) + 4Sќ = (a + b)ќ/2p(p-c) • Sќ.
-(ab)ќ + 2(a-b) ќp(p-c) + 16Sќ = 2(a + b) ќ (p-a)(p-b).
-(ab)ќ + (a-b)ќ/2 • [(a + b) ќ - cќ] + ((a + b)ќ-cќ)(a + c-b)(b + c-a) =
(a + b)ќ/2 • (c + b - a)(a + c -b).
-(ab)ќ + (a-b)ќ/2 [(a + b) ќ - cќ] + ((a + b)ќ-cќ)(cќ-(a-b)ќ) = (a + b)ќ/2
• [cќ-(a-b)ќ].
-(ab)ќ +[(a-b)ќ- cќ][(a-b)ќ/2 + cќ - (a-b)ќ] = -(ab)ќ +[(a-b)ќ- cќ][cќ - (a-
b)ќ/2] =(a + b)ќ/2 • [cќ-(a-b)ќ].
-2aќbќ + [(a + b) ќ - cќ][2cќ - (a-b) ќ] = (a + b) ќ [cќ - (a-b) ќ].
-2aќbќ + 2(a + b)ќcќ -(aќ-bќ)ќ - 2c4 + cќ(a-b)ќ = (a + b)ќcќ - (aќ -bќ)ќ.
-2aќbќ + 2cќ(a + b)ќ - 2c4 + cќ[(a-b)ќ - (a + b)ќ] = 0.
-2aќbќ + 2cќ(a + b)ќ - 2c4 + cќ(-4ab) = 0.
aќb ќ - cќ(a + b) ќ + c4 + 2abcќ = 0.
cќ(a + b)ќ = (cќ + ab)ќ или
cќ + ab = ca + cb.
Аналогично,
bќ + ac = ba + bc.
cќ - bќ + a(b-c) = (c-b)a.
c + b + (-a) = a.
c + b = 2a.
Теорема VII. Если FFaFbFc является трапецией (FFaЎFcFb ), то a = (b +
c)/2.

Глава III:
Нахождение расстояний от точек Фейербаха F и Fa до других
замечательных точек треугольника.

3.1. Расстояние от точки Фейербаха F до ортоцентра.

рис.8
H

O9

I

F

Рассмотрим ?FHO9,
Известно, что HIќ = 4Rќ + 3rќ + 4Rr - pќ. [5]
HO9ќ = ј[9R - 2(p - r - 4Rr)].
Применим теорему Стюарта к ? FHO9:
HIќ = HFќ • (R/2 - r)/R/2 + HO9ќ • r/R/2 - r(R/2 - r) или
4Rќ + 3rќ + 4Rr - pќ = HFќ • (1 - 2r/R) + 2r/R • ј • [9Rќ - 2(pќ - rќ -
4Rr)] - Rr/2 + rќ.
8RЁ + 4Rrќ + 9Rќr - 2pќR = HFќ • 2(R - 2r) + 9Rќr - 2pќr + 2rЁ + 8Rrќ.
8RЁ - 4Rrќ + 2pќ(R + r) - 2rЁ = HFќ • 2(R - 2r).
HFќ = (4RЁ - 2Rrќ - rЁ + pќ(R + r))/(R - 2r).
Теорема VIII. Квадрат расстояния от точки Фейербаха F до ортоцентра равен
d(FH)ќ = (4RЁ - 2Rrќ - rЁ + pќ(R +
r))/(R - 2r).

Следствие 4. Ортоцентр никогда не совпадает с точкой Фейербаха F.
Доказательство:
R ( 2r.
Следовательно, RЁ ( 2Rrќ и RЁ ( rЁ т.е. 4RЁ - 2Rrќ - rЁ > 0.

3.2. Расстояние от точки Фейербаха F до центр тяжести треугольника.

Теорема IX. Квадрат расстояния от точки Фейербаха F до центра тяжести
треугольника равен
d(FG)ќ = [pќ(R + r) - r(4R + r)ќ]/9(R - 2r).
Доказательство:

рис.9
O9

I

G
F

Рассмотрим рис.9
Известно, что
FI = r;
IO9 = R/2 - r;
GIќ = 1/9 • (pќ + 5rќ - 16Rr). (см. стр.66 [1])
GHќ = 4Rќ + 4/9 • (2rќ + 8Rr - 2pќ).
GO9ќ = 1/36 • [9Rќ - 2(pќ - rќ - 4Rr)] = јRќ - 1/18 • (pќ - rќ - 4Rr) = јRќ
- pќ/18 + rќ/18 + 2Rr/9. (см. стр.66 [1])
По теореме Стюарта:
GIќ = GFќ • (R/2 - r)/R/2 + GO9ќ• r/R/2 - r(R/2 - r) или
1/9 • (pќ + 5rќ - 16Rr) = GFќ • (1 - 2r/R) + 2r/R • (јRќ - pќ/18 + rќ/18 +
2Rr/9) - Rr/2 + rќ.
1/9 (pќ + 5rќ - 16Rr) - rќ + pќr/9R - rЁ/9R - 4rќ/9 = GFќ • (R - 2r)/R.
R [pќ + 5rќ - 16Rr] - 9rќR + pќr - rЁ - 4rќR = GFќ • (R - 2r) • 9.
-8Rrќ + pќ(R + r) - 16Rќr - rЁ = 9(R - 2r) • GFќ , т.е.
GFќ = [pќ(R + r) - r(4R + r)ќ]/9(R - 2r).
Следствие 5. Точка Фейербаха F и центр тяжести треугольника совпадают тогда
и только тогда, когда pќ = r (4R + r)ќ/(R + r).

3.3. Расстояние от точки Фейербаха F до центра вневписанной окружности при
стороне b.

рис.10

Ib

F
I O9
IIbќ = bќ(1 + rќ /(p-b)ќ).
FI = r.
FO9= R/2.
O9Ib = R/2 + ?b.
И пусть треугольник не является равносторонним (т.е. иначе точка F является
неопределённой, R = 2r).
Применим теорему Стюарта:
IIbќ = FIbќ • IO9/FO9 + IbO9ќ • FI/FO9 - FI•IO9.
IIbќ = FIbќ • (R - 2r)/R + IbO9ќ • 2r/R - r(R/2 - r).
FIbќ ((R-2r)/R) = IIbќ - IbO9ќ • 2r/R + (Rr - 2rќ)/2 или
2FIbќ (R - 2r) = 2R • IIbќ - IbO9ќ • 4r + Rќr - 2Rrќ или
2FIbќ(R - 2r) = 2R(bќ + (?b-r)ќ)-(R/2 + ?b)ќ4r + Rr(R - 2r) = 2Rbќ + 2R?bќ
- 4R?br + 2Rrќ - Rќr -
- 4R?br - 4r?bќ + Rќr - 2Rrќ = 2Rbќ + 2R?bќ - 8 R?br - 4r?bќ или
2FIbќ(R-2r) = 2(Rbќ + R?bќ - 4R?br - 2?bќr) или
FIbќ(R-2r) = Rbќ + R?bќ - 4R?br - 2?bќr или
FIbќ = [?bќ(R-2r) + R(bќ - 4r?b)]/(R-2r) = ?bќ + R(bќ - 4r?b)/(R-2r).
FIbќ = ?bќ + R(bќ - 4r?b)/(R-2r).
Итак, нами доказана теорема:
Теорема X. Квадрат расстояния от точки Фейербаха F до центра вневписанной
окружности при стороне b равен
d(FIb)ќ = ?bќ + R(bќ - 4r?b)/(R-2r).

3.4. Расстояние от точки Фейербаха F до центра описанной окружности.

OO9ќ = [9Rќ - 2(pќ - rќ - 4Rr)]/4.
OIќ = Rќ - 2Rr.
FI = r.

рис.11
O9

I

F
O

O9I = R/2 - r.
FO9 = R/2.
Применим теорему Стюарта:
OIќ = OO9ќ • r/R/2 + FOќ • (R/2 - r)/R/2 - r(R/2 - r) или
Rќ - 2Rr = 2r/R • ј[9Rќ - 2(pќ - rќ - 4Rr)] - r(R/2 - r) + FOќ • (1-2r/R)
или
FOќ • (1-2r/R) = r((R - 2r)/2) - r[9Rќ - 2(pќ - rќ - 4Rr)]/2R + Rќ - 2Rr
или
FOќ • 2(R - 2r) = Rr(R-2r) - r[9Rќ - 2(pќ - rќ - 4Rr)] + 2RЁ - 4Rќr = Rќr
- 2Rrќ - 9Rќr + 2r(pќ - rќ - 4Rr) + 2RЁ - 4Rќr = 2RЁ - 12Rќr - 2Rrќ + 2rpќ
- 2rЁ - 8Rrќ = 2RЁ - 12Rќr - 10Rrќ + 2rpќ - 2rЁ или
FOќ • (R - 2r) = RЁ - 6Rќr - 5Rrќ + 2rpќ - 2rЁ = RЁ + 2r(pќ-rќ) - Rr(6R +
5r) или
FOќ = [RЁ + 2r(pќ-rќ) - Rr(6R + 5r)]/(R - 2r).

Теорема XI. Квадрат расстояния от точки Фейербаха F до центра описанной
окружности равен
d(FO)ќ = [RЁ + 2r(pќ-rќ) - Rr(6R + 5r)]/(R - 2r).

Следствие 6. Точка Фейербаха F и центр описанной окружности никогда не
совпадают.
Пусть O = F. Тогда pќ = rќ + 5/2 • Rr + 3Rќ - RЁ/2r.
Подставим в неравенство (pќ - 2Rќ - 10Rr + rќ)ќ ( 4R(R-2r)Ё (П.Солтан
"Тождества и неравенства в треугольнике". Кишинёв "Штиинца" 1982 г. стр.
54):
(Rќ + 2rќ + (-15/2)Rr - RЁ/2r) ( 4R(R-2r)Ё.
Пусть t = R/r. Тогда по теореме Эйлера t = R/r ( 2 и (tќ + 2 - 15t/2 -
tЁ/2)ќ ( 4t(t-2)Ё или
t6/4 - t5 + 9t4/2 + 7tЁ + 49tќ/4 + 32t + 4 ( 0.
Т.к. t6 - 4t5 + 18t4 = t4(tќ - 4t + 18) = t4((t-2)ќ + 14) > 0, то получаем
противоречие.
Следовательно F ? O.
Следствие доказано.

3.5. Расстояние от точки Фейербаха F до точки Нагеля.

рис.16
N

O9
F I

NIќ= pќ + 5rќ - 16Rr. [5]
NO9ќ = јRќ + Ѕpќ + 3rќ/2 - 8Rr. [5]
FI = r.
FO9= R/2.
IO9= ЅR - r.

Воспользуемся теоремой Стюарта:
NIќ = NO9ќ • 2r/R + FNќ(R-2r)/R - (Rr - 2rќ)/2.
pќ + 5rќ - 16Rr = FNќ • (R-2r)/R + 2r/R• [јRќ + Ѕpќ + 3rќ/2 - 8Rr] + rќ -
ЅRr = FNќ • (R-2r)/R + pќr/R + 3rЁ/R - 16rќ + rќ.
FNќ • (R-2r)/R = pќ + 20rќ - 16Rr - r/R • (pќ + 3rќ) = pќ • (R - r)/R +
r(20Rr - 16Rќ - 3rќ)/R.
FNќ = 1/(R-2r) • [pќ(R-r) - r(16Rќ-20Rr+3rќ)].

Теорема XII. Квадрат расстояния от точки Фейербаха F до точки Нагеля равен
d(FN)ќ = 1/(R-2r) • [pќ(R-r) - r(16Rќ-20Rr+3rќ)].

Следствие 7. Точка Фейербаха F никогда не совпадает с точкой Нагеля.
Доказательство:
Если F = N, то
FNќ = 1/(R-2r) • [pќ(R-r) - r(16Rќ-20Rr+3rќ)] = 0.
pќ = r[16Rќ - 20Rr + 3rќ]/(R-r).
Подставим в неравенство (pќ - 2Rќ - 10Rr + rќ)ќ ( 4R(R-2r)Ё (П.Солтан
"Тождества и неравенства в треугольнике". Кишинёв "Штиинца" 1982 г. стр.
54):
[r(16Rќ - 20Rr + 3rќ) - (2Rќ + 10Rr - rќ)(R-r)]ќ 4R(R-2r)Ё(R-r)ќ.
[16Rќr-20Rrќ + 3rЁ - 2RЁ + 2Rќr -10Rќr +10Rrќ+Rrќ-rЁ]ќ =[2RЁ-8Rќr+9Rrќ-2rЁ]
4R(R-2r)Ё(R-r)ќ.
Разделим на rЁrЁ и подставим t = R/r ™ 2.
[2tЁ - 8tќ + 9t - 2]ќ 4t(t-2)Ё(t-1)ќ.
[(t - 2)(2tќ - 4t + 1)]ќ 4t(t-2)Ё(t-1)ќ.
При t = 2 = R/r (треугольник равносторонний) это неравенство выполняется.
Но, если треугольник равносторонний, то окружность Эйлера совпадает с
вписанной окружностью, а точки N = I ? F (точка F является неопределённой).
Пусть t ( 2.
Сократим на (t - 2)ќ. Получим, что
(2tќ - 4t + 1)ќ 4t(t-2)(t-1)ќ.
4t4 + 16tќ + 1 - 16tЁ + 4tќ - 8t 4t(t-2)(t-1)ќ.
4t4 - 16tЁ + 20tќ - 8t + 1 4t4 - 16tЁ + 20tќ - 8t.
1 0.
Противоречие!
Следствие доказано!

Возникает вопрос:
Верно ли, что если точки F, N, I лежат на одной прямой, то треугольник
является равнобедренным?

3.6. Расстояние от точки Фейербаха F до точки Жергона.

рис.17
J

O9
F I

FI = r.
FO9= R/2.
IO9= ЅR - r.
JIќ = rќ - 3pќrќ/(4R + r)ќ. [5]
JO9ќ=7Rќ/4 + 5(pќ - r(4R + r))/18 - 4pќ(8Rќ - r(3R - r))/3(4R + r)ќ. [5]
Воспользуемся теоремой Стюарта:
JIќ = FJќ • (R/2 - r)/R/2 + IO9ќ • r/R/2 - r(R/2 - r).
FJќ • (1 - 2r/R)= JIќ - IO9ќ • 2r/R + rR/2 - rќ = -3pќrќ/(4R + r)ќ + rR/2
- 2r/R • [7Rќ/4 +
+ 5(pќ - r(4R + r)/18 - 4pќ(8Rќ - r(3R - r))/3(4R + r)ќ] = -3pќrќ/(4R +
r)ќ - 3Rr - 5/9 • r/R • (pќ - r(4R + r)) + 8/3 • pќr/R • (8Rќ + rќ - 3Rr
)/(4R + r)ќ = -11pќrќ/(4R + r)ќ - 3Rr - 5/9 • r/R • (pќ - r(4R + r)) + 8/3
• pќr/R • (8Rќ + rќ)/(4R + r)ќ.
FJќ = 1/(R - 2r) • [8/3 • pќr(8Rќ + rќ)/(4R + r)ќ - 3Rќr - 5r/9 • (pќ -
r(4R + r)) - 11pќrќR/(4R + r)ќ].

Теорема XIII. Квадрат расстояния от точки Фейербаха F до точки Жергона
равен d(FJ)ќ =1/(R-2r) • [8/3 • pќr(8Rќ + rќ)/(4R +r)ќ-3Rќr - 5r/9 • (pќ-
r(4R + r)) - 11pќrќR/(4R + r)ќ].

3.7. Расстояние от точки Фейербаха Fa до центра описанной окружности.

O9
рис.12
Fa

O
Ia

OO9ќ = [9Rќ - 2(pќ - rќ - 4Rr)]/4.
O9Fa= R/2.
FaIa = ?a.
IaOќ = Rќ + 2R?a.
Воспользуемся теоремой Стюарта:
FaOќ = OO9ќ • FaIa/IaO9 + IaOќ • O9Fa/IaO9 - O9Fa • FaIa или
FaOќ = [9Rќ - 2(pќ - rќ - 4Rr)]/4 • ?a/(R/2 + ?a) + (Rќ + 2R?a) • R/2/(R/2
+ ?a) - R?a/2 = [9Rќ - 2(pќ - rќ - 4Rr)]?a /2(R + 2?a) + (Rќ + 2R?a)R/(R +
2?a) - R?a/2 или
2FaOќ(R + 2?a) = [9Rќ - 2(pќ - rќ - 4Rr)]?a + 2R(Rќ + 2R?a) - R?a(R + 2?a)
= 9Rќ?a - 2?a(pќ - rќ - 4Rr) + 2RЁ + 4Rќ?a - Rќ?a - 2R?aќ = 12Rќ?a - 2pќ?a
+ 2rќ?a + 8Rr?a + 2RЁ - 2R?aќ или
FaOќ(R + 2?a) = 6Rќ?a - pќ?a + rќ?a + 4Rr?a + RЁ - R?aќ = R?a(6R - ?a) +
?a(rќ - pќ - 4Rr) + RЁ или
FaOќ = [R?a(6R - ?a) + ?a(pќ - rќ - 4Rr) + RЁ]/(R + 2?a) или
FaOќ = [[(p-a)(6Rќ + rќ - pќ)rp + Rrќp(3p-4a)]/(p-a) ќ + R]/(R + 2rp/(p-a))
= [(p-a)(6Rќ + rќ - pќ)rp +
+ Rrќp(3p-4a)]/[(p-a)(R(p-a) + 2rp)] + RЁ(p-a)/(R(p-a) + 2rp) = [(6Rќ + rќ
- pќ)rp + RЁ(p-a)]/(R(p-a) + 2rp) + Rrќp(3p-4a)/[(p-a)(R(p-a) + 2rp)] =
[(6Rќ + rќ - pќ)rp + RЁ(p-a) + Rrќp(3p-4a)/(p-a)]/[R(p-a) + 2rp].
FaOќ = [(6Rќ + rќ - pќ)rp + RЁ(p-a) + Rrќp(3p-4a)/(p-a)]/[R(p-a) + 2rp].

Теорема XIV: Квадрат расстояния от точки Фейербаха Fa до центра описанной
окружности равен.
d(FaO)ќ = [(6Rќ + rќ - pќ)rp + RЁ(p-a) + Rrќp(3p-4a)/(p-a)]/[R(p-a) + 2rp].
Возникает вопрос:
Если FaO = 0, то всегда ли данный треугольник может иметь углы в 45њ; 90њ;
45њ ?

3.8. Расстояние от точки Фейербаха Fa до ортоцентра треугольника

рис.13
H O9
O

Fa
OHќ = 9Rќ - 2(pќ - rќ - 4Rr).
O9Fa= R/2.
FaOќ = [R?a(6R - ?a) + ?a(pќ - rќ - 4Rr) + RЁ]/(R + 2?a).
Воспользуемся теоремой Стюарта:
O9Faќ = ЅFaHќ + ЅFaOќ - јOHќ или
4O9Faќ = 2FaHќ + 2FaOќ - OHќ.
FaHќ = 2O9Faќ - FaOќ + ЅOHќ или
FaHќ = ЅRќ + Ѕ(9Rќ - 2(pќ - rќ - 4Rr)) - [R?a(6R - ?a) + ?a(rќ - pќ + 4Rr)
+ RЁ]/(R + 2?a) =
= Ѕ(10Rќ -2(pќ-rќ-4Rr) - [R?a(6R - ?a) + ?a(rќ - pќ + 4Rr) + RЁ]/(R + 2?a)
= [(R + 2?a)(5Rќ -(pќ-rќ-4Rr)) + ?a(rќ - 6Rќ - pќ + 4Rr - R?a ) + RЁ]/(R +
2?a) = [?a(4Rќ - 3pќ + 3rќ + 12Rr - R?a) + 6RЁ - R(pќ - rќ - 4Rr)]/(R +
2?a) = [?a[4R(R + 3r) + 3(rќ - pќ) - R?a] + R[6Rќ - (pќ - rќ - 4Rr)]/(R +
2?a) = [?a[R(4(R + 3r) - ?a) + 3(rќ - pќ)] + R[R(6R - 4r) - (pќ + rќ)]]/(R
+ 2?a).
FaHќ = [?a[R(4(R + 3r) - ?a) + 3(rќ - pќ)] + R[R(6R - 4r) - (pќ + rќ)]]/(R
+ 2?a).

Теорема XV. Квадрат расстояния от точки Фейербаха Fa до ортоцентра
треугольника равен
d(FaH)ќ = [?a[R(4(R + 3r) - ?a) + 3(rќ - pќ)] + R[R(6R - 4r) - (pќ +
rќ)]]/(R + 2?a).

3.9. Расстояние от точки Фейербаха Fa до центра тяжести треугольника.

рис.14

O9
G O

Fa
O9Fa= R/2.
OO9ќ = ј[9Rќ - 2(pќ - rќ - 4Rr)].
GO9ќ = 1/36 • [9Rќ - 2(pќ - rќ - 4Rr)].
GOќ = 1/9 • [9Rќ - 2(pќ - rќ - 4Rr)].
FaOќ = [R?a(6R - ?a) + ?a(pќ- rќ + 4Rr) + RЁ]/(R + 2?a).
Воспользуемся теоремой Стюарта:
FaGќ = O9Faќ • OG/O9O + FaOќ • GO9/O9O - OG • GO9.
FaGќ = Rќ/4 • 2/3 + 1/3 • FaOќ - 1/18 • [9Rќ - 2(pќ - rќ - 4Rr)] = Rќ/6 +
1/3 • FaOќ - 1/18 • [9Rќ - 2(pќ - rќ - 4Rr)] или
18FaGќ = 3Rќ + 6FaOќ - 9Rќ + 2(pќ - rќ - 4Rr) = 6FaOќ - 6Rќ + 2(pќ - rќ -
4Rr) или
9FaGќ = 3FaOќ - 3Rќ + (pќ - rќ - 4Rr) или
9FaGќ = [3R?a(6R - ?a) - 3?a(pќ - rќ - 4Rr) + 3RЁ]/(R + 2?a) - 3Rќ + (pќ -
rќ - 4Rr) = [18Rќ?a - 3R?aќ - 3?a(pќ - rќ - 4Rr) + 3RЁ - 3RЁ - 6Rќ?a + R(pќ-
rќ - 4Rr) + 2?a(pќ- rќ - 4Rr)]/(R + 2?a) = [12Rќ?a - 3R?aќ + R(pќ- rќ -
4Rr) - ?a(pќ- rќ - 4Rr)]/(R + 2?a) = [3R?a(4R - ?a) + (R - ?a)(pќ- rќ -
4Rr)]/(R + 2?a) или
FaGќ = R?a(4R - ?a)/3(R + 2?a) + (R - ?a)(pќ- rќ - 4Rr)/9(R + 2?a).
Теорема XVI. Квадрат расстояния от точки Фейербаха Fa до центра тяжести
треугольника равен
d(FaG)ќ = R?a(4R - ?a)/3(R + 2?a) + (R - ?a)(pќ- rќ - 4Rr)/9(R + 2?a).

Следствие 8. R?a(4R - ?a) + (R - ?a)(pќ- rќ - 4Rr)/3 > 0.
Доказательство:
Так как точка G лежит внутри ?ABC, а точка Fa лежит либо на BC, либо
снаружи ?ABC, то FaGќ > 0 и следовательно, правая часть нашего равенства
положительная, т.е. получаем искомое неравенство. Следствие доказано.
Возникает вопрос:
Что можно сказать о ?ABC, если FaG = FbG или если FaG = FbG = FcG ?

3.10. Расстояние от точки Фейербаха Fa до центра вневписанной окружности
при
стороне b.

рис.15

Ib

Fb

O9
Fa

O9Fb= R/2.
FbIb = ?b.
O9Ib =(R + 2?b)/2.
O9Fa= R/2.
FbFaќ = Rќ(a + b)ќ/(R + 2?a)(R + 2?b).
Воспользуемся теоремой Стюарта:
FbFaќ = IbFaќ • O9Fb/O9Ib + O9Faќ • FbIb/O9Ib - FbIb • O9Fb или
Rќ(a + b)ќ/(R + 2?a)(R + 2?b) = IbFaќ • R/(R + 2?b) + Rќ?b/2(R + 2?b) -
R?b/2 или
IbFaќ • R/(R + 2?b) = Rќ(a + b)ќ/(R + 2?a)(R + 2?b) - Rќ?b/2(R + 2?b) +
R?b/2 или
IbFaќ2R(R + 2?a) = 2 Rќ(a + b)ќ - Rќ?b(R + 2?a) + R?b(R + 2?a)(R + 2?b) =
2Rќ(a + b)ќ - RЁ?b - 2Rќ?b?a + R?b(Rќ + 2R?b + 2R?a + 4?a?b) = 2Rќ(a + b)ќ
- RЁ?b - 2Rќ?b?a + RЁ?b + 2Rќ?b?a + 2Rќ?bќ + 4R?bќ?a = 2Rќ(a + b)ќ + 2Rќ?bќ
+ 4R?bќ?a или
IbFaќR(R + 2?a) = Rќ(a + b)ќ + Rќ?bќ + 2R?bќ?a = Rќ(a + b)ќ + R?bќ(R + 2?a)
или
IbFaќ = R(a + b)ќ/(R + 2?a) + ?bќ.

Теорема XVII. Квадрат расстояния от точки Фейербаха Fa до центра
вневписанной окружности при стороне b равен
d(FaIb)ќ = R(a + b)ќ/(R + 2?a) + ?bќ.

Глава IV:
Свойства треугольника ?FNI.

рис. 16
I

F
N

NIќ= pќ + 5rќ - 16Rr.
FI = r.
FNќ = 1/(R-2r) • [pќ(R-r) - r(16Rќ-20Rr+3rќ)].

4.1. Условия, при которых FN = FI.

FN = FI.
FNќ = FIќ.
1/(R-2r) • [pќ(R-r) - r(16Rќ-20Rr+3rќ)] = rќ.
pќ = (16Rќr - 19Rrќ + rЁ)/(R - r).
Подставим в неравенство (pќ - 2Rќ - 10Rr + rќ)2 ( 4R(R-2r)Ё (П.Солтан
"Тождества и неравенства в треугольнике". Кишинёв "Штиинца" 1982 г. стр.
54):
(16Rќr - 19Rrќ + rЁ - (2Rќ + 10Rr - rќ)(R - r))ќ 4R(R - 2r)Ё(R - r)ќ.
(16Rќr - 19Rrќ + rЁ - 2RЁ - 8Rќr + 11Rrќ -rЁ)ќ 4R(R - 2r)Ё(R - r)ќ.
(8Rќr - 8Rrќ - 2RЁ)ќ 4R(R - 2r)Ё(R - r)ќ.
(4Rќr - 4Rrќ - RЁ)ќ R(R - 2r)Ё(R - r)ќ.
Пусть t = R/r ™ 2.
(4tќ - 4t - tЁ)ќ t(t - 2)Ё(t - 1)ќ.
((t - 2)(2t - tќ))ќ t(t - 2)Ё(t - 1)ќ.
Если t = 2, то ?ABC (исходный ) является равносторонним и a/sin60є = 2R или
a = R(3, т.е.
p = 3a/2 = 3R(3/2 или pќ = 27Rќ/4. С другой стороны pќ = (8RЁ - (219 -
1)RЁ/8)/R/2 = 27Rќ/4.
Пусть t ( 2. Тогда разделим на (t - 2)Ё.
[(t - 2)(t - 2)]ќtќ t(t - 2)Ё(t - 1)ќ.
Сократим на t(t - 2)Ё, получим, что
(t - 2)t (t - 1)ќ.
tќ - 2t tќ - 2t + 1.
0 1.
Следовательно, существует не равносторонний треугольник, где pќ=(16Rќr
-19Rrќ+ rЁ)/(R - r).
Теорема XVIII. FN = FI если исходный треугольник является равносторонним,
либо pќ=(16Rќr -19Rrќ+ rЁ)/(R - r).

4.2. Условия, при которых FN = IN.

FN = NI.
FNќ =NIќ.
(pќ + 5rќ - 16Rr)(R - 2r) = pќ(R-r) - r(16Rќ-20Rr+3rќ).
rpќ + 7rЁ - 17Rrќ = 0.
pќ = 17Rr - 7rќ.
Подставим в неравенство (pќ - 2Rќ - 10Rr + rќ)2 ( 4R(R-2r)Ё (П.Солтан
"Тождества и неравенства в треугольнике". Кишинёв "Штиинца" 1982 г. стр.
54):
(17Rr - 7rќ - 2Rќ - 10Rr + rќ)ќ 4R(R - 2r)Ё.
(7Rr - 6rќ - 2Rќ )ќ 4R(R - 2r)Ё.
Пусть t = R/r ™ 2.
(7t - 6 - 2tќ )ќ 4t(t - 2)Ё.
(t - 2)ќ(2t - 3)ќ 4t(t - 2)Ё.
Если t = 2, то исходный треугольник является равносторонним и I = N, т.е.
NI = 0 ? FN = r.
Итак, t ( 2. Сократим на (t - 2)ќ.
(2t - 3)ќ 4t(t - 2).
4tќ - 12t + 9 4tќ - 8t.
9 4t.
t ™ 9/4.
т.е. R/r ™ 9/4.
Теорема XIX: FN = NI тогда и только тогда, когда pќ = 17Rr - 7rќ и R/r ™
9/4.

4.3. Условия, при которых NI = FI.

NI = FI.
NIќ = FIќ.
pќ + 5rќ - 16Rr = rќ.
pќ = 16Rr - 4rќ.
Подставим в неравенство (pќ - 2Rќ - 10Rr + rќ)2 ( 4R(R-2r)Ё (П.Солтан
"Тождества и неравенства в треугольнике". Кишинёв "Штиинца" 1982 г. стр.
54):
(16Rr - 4rќ - 2Rќ - 10Rr + rќ)ќ 4R(R - 2r)Ё.
(6Rr - 3rќ - 2Rќ)ќ 4R(R - 2r)Ё.
Пусть t = R/r ™ 2.
(6t - 3 - 2tќ)ќ 4t(t - 2)Ё.
Если t = 2, то исходный треугольник является равносторонним и I = N, т.е.
NI = 0 ? FI = r.
Итак, t ( 2.
48tќ + 4t4 - 36t - 24tЁ + 9 4t4 - 32t - 24tЁ + 48tќ.
4t - 9 ™ 0.
t ™ 9/4.
Теорема XX. NI = FI ( pќ = 16Rr - 4rќ и R ™ 9/4 • r .
Теорема XXI. ?NFI является равнобедренным тогда и только тогда, когда либо
1) pќ =(16Rќr -19Rrќ +rЁ)/(R-r), либо 2) R ™ 9/4 • r и либо pќ = 16Rr -
4rќ, либо pќ = 17Rr - 7rќ.
Вопрос: Может ли ?NFI быть равносторонним?
pќ = (16Rќr - 19Rrќ + rЁ)/(R - r) = 16Rr - 4rќ = 17Rr - 7rќ и R ™ 9/4 •
r.
Рассмотрим равенство16Rr - 4rќ = 17Rr - 7rќ.
Rr = 3rќ.
R = 3r.
Следовательно, pќ = 44rќ.
pќ = (16 • 9rЁ - 19 • 3rЁ + rЁ)/2r = 88rќ/2 = 44rќ.
Следствие 9. ?NFI является равносторонним тогда и только тогда, когда R=3r
и p=2r(11.

4.4. Условия, при которых в ?NFI угол (FIN = 90(.

Если ?NFI прямоугольный, то N ? I. В частности, исходный треугольник не
является равносторонним. Поэтому R ( 2r (это будет использоваться в
дальнейшем).
Пусть (FIN = 90(.
По теореме Пифагора:
FNќ = FIќ + INќ.
1/(R-2r) • [pќ(R-r) - r(16Rќ-20Rr+3rќ)] = pќ + 6rќ - 16Rr.
(Rpќ + 20Rrќ - 16Rќr - pќr - 3rЁ - 38Rќr - Rpќ + 16Rќr + 12rЁ + 2rpќ)/(R -
2r) = 0.
rpќ + 9rЁ - 18Rrќ = 0.
pќ = 18Rr - 9rќ.
Подставим в неравенство (pќ - 2Rќ - 10Rr + rќ)2 ( 4R(R-2r)Ё (П.Солтан
"Тождества и
неравенства в треугольнике". Кишинёв "Штиинца" 1982 г. стр. 54):
(18Rr - 9rќ - 2Rќ - 10Rr + rќ)ќ 4R(R - 2r)Ё.
(4Rr - 4rќ - Rќ)ќ R(R - 2r)Ё.
(R - 2r)Ё(R - 2r) R(R - 2r)Ё.
Т.к. R ( 2r, сократим на (R - 2r)Ё.
R - 2r R всегда!
Теорема XXII. В ?NFI угол (FIN = 90( тогда и только тогда, когда исходный
треугольник не является правельным и pќ = 18Rr - 9rќ и R ( 2r.
Вопрос: Может ли ?NFI с углом (FIN = 90( быть равнобедренным, т.е. NI =
FI?
Если NI = FI, то pќ + 5rќ - 16Rr = rќ и pќ = 16Rr - 4rќ = 18Rr - 9rќ.
Отсюда следует, что 2Rr = 5rќ или R = 5/2 • r, p = 6r.
Теорема XXIII. ?NFI является прямоугольным ((FIN = 90() и равнобедренным
тогда и только тогда, когда R =5/2•r и p = 6r.
Вопрос: Может ли ?NFI с углом (FIN = 90( иметь углы равные 30( и 60(.
Пусть (IFN = 30(, тогда
IN = ЅFN; INќ = јFNќ.
По теореме Пифагора:
4INќ = INќ + FIќ.
3INќ = FIќ.
3pќ + 15rќ - 48Rr = rќ.
3pќ + 14rќ - 48Rr = 0.
pќ = (48Rr - 14rќ)/3.
(48Rr - 14rќ)/3 = 18Rr - 9rќ.
48Rr - 14rќ = 54Rr - 27rќ.
-6Rr + 13rќ = 0.
6Rr = 13rќ.
6R = 13r.
R = 13r/6.
pќ = (104 - 14)rќ/3 = 30rќ.
p = r(30.
Подставим в неравенство (pќ - 2Rќ - 10Rr + rќ)2 ( 4R(R-2r)Ё (П.Солтан
"Тождества и неравенства в треугольнике". Кишинёв "Штиинца" 1982 г. стр.
54):
(30 - 338/36 - 130/6 + 1)ќr4 ( 52/6 (13/6 - 2)Ёr4 или
1/18ќ ( 13/18ќ.
Верно!
Теорема XXIV. В ?NFI угол (FIN = 90(, а (IFN = 30( тогда и только тогда,
когда
R = 13r/6, а p = r(30.
Теорема XXV. В ?NFI угол (FIN = 90(, а (INF = 30( тогда и только тогда,
когда
R = 7r/2, а p = 3r(6.
Доказательство теоремы XXV аналогично с доказательством теоремы XXIV.

4.5. Условия, при которых в ?NFI угол (FNI = 90(.

Пусть (FNI = 90(. Тогда по теореме Пифагора:
IFќ = INќ + FNќ.
rќ = pќ + 5rќ - 16Rr + 1/(R-2r) • [pќ(R-r) - r(16Rќ-20Rr+3rќ)].
2Rpќ - 3rpќ - 32Rќr - 11rЁ + 56Rrќ = 0.
pќ = (32Rќr + 11rЁ - 56Rrќ)/(2R - 3r).
Подставим в неравенство (pќ - 2Rќ - 10Rr + rќ)2 ( 4R(R-2r)Ё (П.Солтан
"Тождества и
неравенства в треугольнике". Кишинёв "Штиинца" 1982 г. стр. 54):
[(32Rќr + 11rЁ - 56Rrќ - (2Rќ + 10Rr - rќ)(2R - 3r)/(2R - 3r)]ќ 4R(R -
2r)Ё.
(9Rќr + 4rЁ - 12Rrќ - 2RЁ)2 4R(R - 2r)Ё(2R - 3r)ќ.
Пусть t = R/r ( 2.
(9tќ + 4 - 12t - 2tЁ)2 4t(t - 2)Ё(2t - 3)ќ.
((t - 2)(5t - 2tќ - 2))ќ 4t(t - 2)Ё(2t - 3)ќ.
Сократим на (t - 2)ќ.
(5t - 2tќ - 2)ќ 4t(t - 2)(2t - 3)ќ.
4t4 - 20tЁ + 33tќ - 20t + 4 4t4 - 20tЁ + 33tќ - 18t.
4 2t.
2 t, всегда!
Теорема XXVI. Треугольник ?NFI является прямоугольным с углом (FNI = 90(
тогда и только тогда, когда исходный треугольник не является правильным и
pќ = (32Rќr + 11rЁ - 56Rrќ)/(2R - 3r).
Исследуем может ли этот треугольник быть равнобедренным, т.е. может ли в
нём IN = NF ?Если IN = NF, то
pќ = (32Rќr + 11rЁ - 56Rrќ)/(2R - 3r) = 17Rr - 7rќ, т.е.
2Rќ + 10rќ = 19Rr или R = r(19/4 + (89).
Теорема XXVII. Прямоугольный треугольник ?NFI с углом (FNI = 90( является
равнобедренным, т.е. IN = FN тогда и только тогда, когда R = r(19/4 + (89)
и
pќ = (32Rќr + 11rЁ - 56Rrќ)/(2R - 3r) либо pќ = 17Rr - 7rќ.
Вопрос: Может ли ?NFI с углом (FNI= 90( иметь углы равные 30( и 60(.
Пусть (NFI= 30(, тогда
NI = Ѕ FI.
4NIќ = FIќ.
По теореме Пифагора:
NIќ + FNќ = 4NIќ.
FNќ = 3NIќ.
(Rpќ - rpќ - 16Rќr + 20Rrќ - 3r)/(R - 2r) = 3pќ + 15rќ - 48Rr.
5rpќ - 2Rpќ + 32Rќr - 91Rr ќ+ 27rЁ = 0.
pќ (5r - 2R) = 91Rrќ - 27rЁ - 32Rќr.
pќ = (27rЁ + 32Rќr - 91Rrќ)/(2R - 5r).
pќ = (27rЁ + 32Rќr - 91Rrќ)/(2R - 5r) = (32Rќr + 11rЁ - 56Rrќ)/(2R - 3r).
25RrЁ - 26r4 - 6Rќrќ = 0.
Сократим на rќ.
25Rr - 26rќ - 6Rќ = 0.
Пусть t = R/r > 2.
25t -6tќ -26 = 0.
6tќ - 25t + 26 = 0.
D = 625 - 624 = 1.
t1 = 2 или t2 = 13/6.
неверно R/r = 13/6.
R = 13r/6 .
pќ = 359rќ/12.
p = r(359/4(3.
Подставим в неравенство (pќ - 2Rќ - 10Rr + rќ)ќ ( 4R(R-2r)Ё (П.Солтан
"Тождества и
неравенства в треугольнике". Кишинёв "Штиинца" 1982 г. стр. 54):
(359/12 - 338/36 - 130/6 + 1)2r4 ( 26/3 (13/6 - 2)Ёr4.
25r4/1296 ( 52r4/1296.
Верно.
Итак, имеем теорему:

Теорема XXVIII. В ?NFI угол (FNI= 90(, а (IFN = 30( тогда и только тогда,
когда
R = 13r/6, а p = r(359/4(3.
Теорема XXIX. В ?NFI угол (FNI= 90(, а (FIN = 30( тогда и только тогда,
когда
R = 7r/2, а p = r(207/2.
Доказательство теоремы XXIX аналогично с доказательством теоремы XXVIII.

4.6. Условия, при которых в ?NFI угол (NFI = 90(.
Пусть (NFI = 90(, тогда по теореме Пифагора:
NIќ = FNќ + FIќ.
NIќ= pќ + 5rќ - 16Rr. [5]
FNќ = 1/(R-2r) • [pќ(R-r) - r(16Rќ-20Rr+3rќ)].
1/(R-2r) • [pќ(R-r) - r(16Rќ-20Rr+3rќ)] + rќ = pќ + 5rќ - 16Rr.
pќ = 16Rr - 5rќ.
Проверим, не противоречит ли это равенство неравенству (35) (стр.54 [6]).
Для этого подставим в неравенство (35) (стр.54 [6]):
(16Rr - 5rќ - 2Rќ - 10Rr + rќ)ќ ( 4R(R-2r)Ё.
(3Rr - 2rќ - Rќ)ќ ( R(R-2r)Ё.
Пусть t = R/r > 2.
(3t - 2 - tќ)ќ ( t(t - 2)Ё.
((t - 2)(t - 1))ќ ( t(t - 2)Ё.
Отсюда следует, что либо t = 2 и в этом случае ?ABC является правильным и N
= I, либо t>2 и ?ABC не является правильным, т.е. N ( I.
Т.к. t > 2, то сократим на (t - 2)ќ.
(t - 1)ќ ( t(t - 2).
tќ - 2t + 1 ( tќ - 2t.
1 ( 0.
Противоречие. Итак, нами доказано предложение.
Предложение. Ни в одном треугольнике (NFI ( 90(.

Задачи для дальнейшей работы:

1) Однозначно ли определяется ?ABC, если даны F,Fa,Fb,Fc?
2) Предыдущий вопрос для равнобедренного треугольника?
3) Зная точки F,Fa,Fb,Fc,можно ли построить ?ABC с помощью циркуля и
линейки?
4) Найти необходимые и достаточные условия того, чтобы четырёхугольник
FFaFbFc являлся описанным около окружности.
5) Найти необходимые и достаточные условия того, чтобы четырёхугольник
FFaFbFc являлся трапецией, описанной около окружности?
6) Найти расстояния от точек F и Fa до J, N, L?
7) Может ли точка F совпадать с J, L?
8) Изучить ?FGO, ?FGH и.т.д., т.е. когда они равнобедренные,
равносторонние,
прямоугольные и.т.д.?
9) Если FaO = 0, то всегда ли данный треугольник может иметь углы в 45њ;
90њ; 45њ ?
10) Что можно сказать о ?ABC, если FaG = FbG или если FaG = FbG = FcG ?
11) Верно ли, что если точки F, N, I лежат на одной прямой, то треугольник
является
равнобедренным?
12) Найти необходимые и достаточные условия того, чтобы четырёхугольник
FFaFbFc превратился FaFbFc?

Литература:

1. Зетель С.И. " Новая геометрия треугольника ", Учпедгиз, 1962г.

2. Мальцев Ю.Н., Саженков А.Н., "Олимпиадные задачи по матаматике
"РЕШИ+ЕСЛИ=СИЛЁН"", г. Барнаул, издательство "День", 1994г.

3. Пайсон М.Б. " Нахождение расстояний от точки Жергона до других
замечательных точек треугольника", г. Барнаул, 1998г.

4. Полякова Г.С. " Некоторые новые свойства точки Лемуана в треугольнике",
г. Барнаул, 2001г.

5. Ракова М.Н. " Новые свойства точки Нагеля ", г. Барнаул, 1999г

6. Солтан В.П., Мейдман С.И. " Тождества и неравенства в треугольнике ",
г. Кишинёв, Штиинца, 1982г.
.