Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.abitu.ru/en2002/closed/viewwork.html?work=40 Дата изменения: Fri May 5 15:25:45 2006 Дата индексирования: Tue Oct 2 02:20:02 2012 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п п

Рассмотрение нагрузок на бесконечно
малых площадях.


Министерство народного образования Республики Башкортостан

МУ УНО г.Салават гимназия ?2
Выполнил: Вахитов Валера, ученик 10 А класса
Руководитель: Фролов Константин Васильевич, учитель физики


В детстве я очень любил ходить в цирк. Я с искренней радостью наблюдал
выступления гимнастов, фокусников, глотающих огонь факиров, но особенно
меня удивляли и завораживали необыкновенные люди, которые не только стояли,
но и прыгали, лежали и делали всевозможные акробатические номера на лезвиях
острых мечей. Это пугающее зрелище не просто восхищало, но и заставляло
задуматься, возможно ли все это? Почему ступни ног выдерживают такие
нагрузки, и кожа не разрывается под тяжестью человека? Первое, что
приходило в голову - тренировка мышц, самовнушение, что все происходящее не
причиняет боли. Но ведь внушить мышцам не разрываться невозможно, значит
есть какое-то физическое объяснение этому: можно просчитать площадь
контакта, давление, число опорных атомов. Но как бы это ни объяснялось с
точки зрения физики, магия происходящего не исчезнет, и преклонение перед
необыкновенными человеческими способностями всегда будет приводить нас в
трепет.
Попытаемся сначала рассмотреть физическую сторону этого уникального
зрелища с помощью предельно простого подхода. Измерив S0 - площадь ступни
человека, например с помощью прорисовки ее контура на бумаге в клеточку,
получим, что S0~10-2 м2. При массе человека M~102 кг имеем силу тяжести F =
Mg ( 103 H, которая является внешней нагрузкой для площади S0, если человек
стоит на плоской опоре. В этом случае давление
P0 = F / S0 ~ 105 H / м2 = 1 атм.
(1)
Когда человек стоит на лезвии меча, такая же внешняя нагрузка
приходится на существенно меньшую площадь контакта. Для ее оценки
воспользуемся известным фактом, что при полировке и притирки металлов можно
достичь высоты поверхностых шероховатостей порядка долей микрона. Поэтому
примем, что заточка лезвия перед его употреблением приводит к ширине края
лезвия b~10-7 м. Полагая длину ступни человека a~10-1 м, получим площадь
соприкосновения ступни и меча S1~10-8 м2 , и давление
P1 = F / S1 ~ 106 атм.
(2)
Оценка (2) попадает в диапазон давлений, которые, например, имеют
место в центре Земли под толщей ее многокилометровых пластов. Этот
результат настораживает. А может ли человек вообще стоять на «остром как
бритва» лезвии меча без разрыва мышечных тканей его ступней? То есть, не
надувательство ли это типа приклеивания тонких прочных подметок или
массового гипноза? Давайте разбираться, для чего вновь рассмотрим данную
ситуацию, но теперь уже с точки зрения атомистической структуры материи.
Вспомним, что человек состоит из атомов. Кожа - тоже. Поэтому уместно
поставить следующий вопрос. На скольких атомах стоит человек? И прежде чем
на него ответить, сделаем оценки числа атомов, образующих площади контактов
S0 и S1.
Характерное значение объема, приходящегося на 1 атом в
конденсированных состояниях вещества, составляет величину V ~ 10-29 м3.
Следовательно, один поверхностный атом образует элементарную площадку s ~ V
2/3 ~ 10-20 м2. Тогда число атомов на площади S0, соответствующий стоянию
человека на полу,
n0 = S0 / s ~ 1018,
(3)
а на площади S1, соответствующей стоянию на мече,
n1 = S1 / s ~ 1012.
(4)
Получается, что переход человека с пола на меч эквивалентен замене
1018 опорных атомов на 1012. Это разочаровывает. Различие между двумя этими
величинами трудно себе представить. Однако являются ли n0 и n1 числом
атомов, на которых человек стоит? Оценки (3) и (4) соответствуют контурным
площадям контактов. Именно для подчеркивания этого факта предлагаю (с
боязнью вызвать неодобрение подготовленного специалиста) оценить одну из
этих площадей прорисовкой контура на бумаге. Но где гарантия того, что все
атомы, попавшие внутрь контура, являются опорными?
Оценки (3) и (4) не показывают также, до какого предела можно
уменьшать n1. Другими словами, где же те критические значения атомов n1 и,
соответственно, ширины лезвия b, после которых прогулки по мечу могут
оказаться принципиально невозможными?
Для ответа на накопившиеся вопросы обратимся к идее английского физика
И.Томлинсона, высказанной им еще в 1929 году. Коротко суть идеи состоит в
том, что контакт тел обеспечивается ограниченным числом атомов, зависящим
от внешней нагрузки. Эти атомы Томлинсон назвал «кариатидами» (от
греческого karya`tis - женская статуя, поддерживающая, подобно колонне, что-
либо). Число кариатид является основной характеристикой контакта твердых
тел, и нам следует провести его оценку и сравнить с величинами n0 и n1. Для
этого рассмотрим следующую модельную ситуацию.
Представим, что твердое тело, имеющее произвольный микрорельеф
поверхности, приближено к плоскости статической абсолютно жесткой опоры до
ее соприкосновения с одним из атомов. Воздействуя на твердое тело небольшой
силой F, направленной перпендикулярно плоскости опоры, можно получить
упругую деформацию выступа поверхности, которому принадлежит атом-
кариатида. Если же сила F будет превосходить некоторое критическое значение
f, обусловленное характером межатомных связей, то атом совершит
диффузионный переход. Иначе говоря, атом выдавится из первого атомного слоя
опирающейся поверхности. Диффузионное разрушение первого атомного слоя, а
затем и последующих, будет происходить до тех пор, пока число кариатид не
станет равным
n = F / f.
(5)
Критическая сила f не должна превосходить величину работы E по
перемещению атома, отнесенную к межатомному расстоянию:
f = E / V 1/3.
(6)
Величина E называется также энергией диффузии. Для грубой оценки E
можно принять, что она равна электростатической энергии, приходящейся на
один атом:
E ~ ke2 / r ~ ke2 / V 1/3.
Для металлов характерное значение E ~ 10-18 Дж.
Подстановка выражения (6) в (5) позволяет получить формулу для оценки
числа кариатид:
n = F V 1/3 / E.
(7)
Сразу же обратим внимание, что n не зависит от контурной площади
контакта. Это согласуется с рассуждениями Томлинсона, экспериментальное
подтверждение которых проявляется в существовании линейной зависимости силы
трения от внешней нагрузки для случая силового взаимодействия двух твердых
тел (Fтр = (N).
Результат (7) позволяет определить фактическую площадь контакта Sr,
которая должна быть равна произведению числа кариатид n на элементарную
площадку s. Используя формулу (7), получим
Sr = ns = F V / E.
(8)
Величина Sr, как видно, так же как и n, определяется только атомными
свойствами деформируемого на жесткой опоре тела и внешней нагрузкой.
А теперь на лезвие меча попытается встать я, делая количественные
оценки по полученным формулам и качественные выводы, из них вытекающие.
Используя характерные значения атомного объема V, внешней силы F и
энергии E, по формуле (7) получим
n ~ 1011.
(9)
Таким образом, статическое положение человека в гравитационном поле
Земли обеспечивается числом кариатид, равным по порядку величины 1011, и не
зависит ни от формы или площади опоры, ни от того, каким местом своего тела
человек на нее опирается. Эта величина на 7 порядков меньше, чем число
атомов, попадающих в контур ступни:
n0 / n ~ 107.
(10)
Результат (10) говорит о том, что из каждых 107 атомов поверхности
ступни лишь один атом выполняет функции кариатиды. Но, пожалуй, самое
любопытное здесь то, что данное число кариатид устанавливается не сразу, а
в процессе разрушения поверхностных слоев кожи путем перераспределения ее
атомов. Представьте, вы пальцем надавили на пол, допустим, с силой 1 Н.
Критическая сила для отрыва поверхностного атома кожи пальца от других
атомов равна f ~ 10-8 H, что следует из формулы (6) и принятых значений E
и V. Очевидно, усилие в 1 Н ломает межатомные связи катастрофически,
приводя в итоге к установлению равновесного числа кариатид, равного в этом
примере величине ~ 10-8.
Сравнение результатов (9) с числом атомов n1, содержащихся внутри
опорного контура на мече, позволяет предположить, что принятая выше заточка
лезвия оказалась более широкой, чем та, которая соответствовала бы плотному
размещению равновесного числа кариатид (9). Ширину лезвия меча возможно
уменьшить без нарушения условия (9) до величины br = Sr / a. Используя
формулу (8), получим
br = F V / (Ea) ~ 10-7 - 10-8 м2.
(11)
Из приведенных оценок следует, что статическое равновесие человека на
лезвие меча без существенной деформации мышечной ткани невозможно при
ширине края лезвия не менее 10-8 м. А переход человека с пола на меч в этом
случае эквивалентен замене кариатид, хаотично распределенных в плоскости,
на такое же число плотно упакованных кариатид, выстроенных шеренгой с
поперечным числом атомов n( = br / V 1/3 ~ 102 и продольным - n|| = a / V
1/3 ~ 109. Произведение n( ( n|| = n ~ 1011 и соответствует оценке (9).
Данный вывод может объяснить древнее таинство. Жаль только, что он не
вполне согласуется с природой. В действительности тепловое движение атомов
размывает плоские поверхности кристаллов, приводя к образованию одноатомных
ступенек и исчезновению ребер, что не позволяет заточить меч до образования
стройной ограненной шеренги шириною в сотню межатомных расстояний. По-
видимому, именно это естественное уширение br позволяет не только
заботиться о заточке меча, но и, предоставляя избыточную площадь, прыгать
на нем, выполняя, например, сальто-мортале.

В заключение несколько замечаний:
1. Мне неизвестны прямые экспериментальные измерения, которые могли бы
подтвердить или опровергнуть приведенные оценки. Метод
атомносиловой микроскопии, наиболее близкий описываемой ситуации и
реализующий контролируемый контакт твердой поверхности с
одноатомным острием, не дает пока возможности исследовать динамику
образования многоатомного контакта.
2. Надо признать, что приведенные оценки довольно-таки грубы, во-
первых, из-за использования свойств средних по таблице Менделеева
элементов и, следовательно, без учета элементарного строения кожи
человеческого тела. Во-вторых, из-за ошибки округления до порядка
величины значения параметров, вычисленных возведением в степени 1/3
и 2/3 атомного объема V. Улучшение точности оценок лишено смысла в
силу первого замечания.
3. Не следует из написанного делать вывод о том, что человек может
безболезненно опираться на лезвие меча любой частью своего тела.
Разные участки кожи и мышечных тканей под ними различаются упругими
и прочностными характеристиками, что не принималось в расчет. По-
видимому, кожа ступней обладает некоторыми преимуществами в этом
смертельном эксперименте, проводимом на границе человеческих
возможностей.
4. Изменением огранки кристаллов в зависимости от температуры
интересовались такие знаменитости, как П.Эренфест и Л.Ландау, но
лишь последние 10 лет удалось достичь его количественного описания.

5. Проблема разрыва мышечных тканей под воздействием внешних тел более
сложна. Очевидно, она связана с переходом от трения покоя к трению
скольжения, к раскрытию загадки которого физики приблизились лишь
недавно.



Список используемой литературы.
1. Ильченко В.Р. На перекрестках физики, химии и биологии. - М.:
Просвещение, 1986
2. «Московский комсомолец», 1992
3. Силин А.А. Трение и мы. - М.: Просвещение, 1990
4. Бокштейн Б.С. Атомы блуждают по кристаллу. - М.: Просвещение, 1989
5. Слободецкий И.Ш. Сухое трение. - М.: Просвещение, 1986