Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.abitu.ru/en2002/closed/viewwork.html?thesises=193 Дата изменения: Fri May 5 15:25:12 2006 Дата индексирования: Tue Oct 2 03:33:28 2012 Кодировка: koi8-r

Определение знакопеременной группы.


Хорошо известно, что знакопеременные группы [pic] играют важную роль в
теории симметрических групп [pic] и многочисленных применениях этой теории.
При определении [pic] обычно исходят из инверсий подстановок или из
разложения подстановок в про-изведение транспозиций. Знакопеременную группу
определяют также как группу перестановок элементов [pic], которая не
меняет значений четносимметричного многочлена [pic] . Группа [pic] может
быть введена и как ядро соответственного гомоморфизма [pic] в двуэлементную
группу.
Если называть гомоморфизм [pic] отображением, которое задает
«ориентацию», то знакопеременная группа [pic] как раз состоит из
подстановок «положительной ориен-тации», которые переходят при отображении
[pic] в +1.
Интересно попробовать определить группу [pic], не используя
специальные понятия теории симметрических групп, такие как транспозиция,
инверсия и другие.

Поставленная задача решается с помощью следующей теоремы.

Теорема. Для любого натурального [pic] существует только одно
отображение [pic] группы [pic] на группу [pic] такое, что
[pic] (1)
для любых ( и ( из [pic]. Группа [pic] совпадает с подгруппой, которая
переходит при этом отображении в +1.

Интересен также вопрос, будут ли верны аналоги этой теоремы для
групп, отлича-ющихся от [pic]. То есть для каких групп существует
единственное отображение на [pic] такое, что выполняется (1).
Выполняются следующие утверждения.
1. Для групп [pic]- положительных действительных чисел, [pic]-
комплексных чисел, отличных от нуля и Т - поворотов плоскости
около фиксированного центра, не существует ни одного такого
отображения.
2. Для группы [pic]- действительных чисел, не равных нулю, существует
един-ственное такое отображение.
3. Для группы Клейна четвертого порядка [pic], которая состоит из
тождественной подстановки и подстановок ( 1 2 ) ( ( 3 4 ) ; ( 1 3
) ( ( 2 4 ) ; ( 1 4 ) ( ( 2 3 ) , суще-ствует ровно три таких
отображения.

Для более подробного ознакомления с темой, советую прочитать всю
работу.