Äîêóìåíò âçÿò èç êýøà ïîèñêîâîé ìàøèíû. Àäðåñ îðèãèíàëüíîãî äîêóìåíòà : http://www.abitu.ru/en2002/closed/viewwork.html?thesises=84 Äàòà èçìåíåíèÿ: Fri May 5 15:25:08 2006 Äàòà èíäåêñèðîâàíèÿ: Tue Oct 2 03:06:19 2012 Êîäèðîâêà: koi8-r

ÑÈÑÒÅÌÛ ÎÁÐÀÇÓÞÙÈÕ ÃÐÓÏÏ Sn è Àn
Êîòåíêî Àëåêñåé
Ëèìàíñêèé Âëàäèìèð Âàñèëüåâè÷
Óêðàèíà, ã. Äîíåöê, îáùåîáðàçîâàòåëüíàÿ ñðåäíÿÿ ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêàÿ
øêîëà
I-III ñòóïåíåé ? 17, 11 êëàññ

Ñèñòåìîé îáðàçóþùèõ ãðóïïû íàçûâàåòñÿ òàêîé íàáîð ýëåìåíòîâ ýòîé
ãðóïïû, ÷åðåç êîòîðûé ìîæíî âûðàçèòü âñå îñòàëüíûå åå ýëåìåíòû, ïðèìåíÿÿ
èìåþùóþñÿ â ãðóïïå îïåðàöèþ. Â ðàáîòå áóäóò ðàññìàòðèâàòüñÿ ãðóïïà
ïîäñòàíîâîê Sn è ãðóïïà ÷åòíûõ ïîäñòàíîâîê Àn. Ðåøàåòñÿ çàäà÷à: êîãäà öèêë
( = (1, 2, ., n) è íåêîòîðûé öèêë ( ïîðîæäàþò (ò.å. ÿâëÿþòñÿ ñèñòåìîé
îáðàçóþùèõ äëÿ) Sn èëè Àn. Â ïðîøëîì ãîäó íà êîíôåðåíöèè äîêëàäûâàëîñü
ðåøåíèå çàäà÷è äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ( = (1, 2, .,k). Áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ïðè
íå÷åòíûõ k è n, ( è ( îáðàçóþùèå Àn, à â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ Sn.  íàñòîÿùåì
äîêëàäå áóäåò ðàññìàòðèâàòüñÿ ñëó÷àé ëþáîãî öèêëà (. Çàìåíÿÿ ÷èñëà 1, 2,
., n ëþáîé èõ ïåðåñòàíîâêîé ïîëó÷èì çàäà÷ó è äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ( = ((1,(2,
., (n).
Ïóñòü â öèêë ( âõîäÿò ÷èñëà S1, S2, ., Sk, ïðè÷åì 1˜ S1 Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ( ( (t1, ., tk), ãäå {ti}1n ïåðåñòàíîâêà
{Si}1n. Ïóñòü l1= S2-S1, l2 = S3-S2, ., ln­1 = Sn-Sn­1, ln = n+S1-Sn
Ïîñòðîèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü l1, l2, ., ln, l1+l2, l2+l3, ., ln­1+ln,
ln+l1, l1+l2+l3, l2+l3+l4, ., ln+l1+l2, ., l1+.+ ln­1+l2+.+ln, ., ln+ l1+
l2+.+ln­2.

Ñïðàâåäëèâà òåîðåìà: Åñëè â ïðèâåäåííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè åñòü
÷èñëî âñòðå÷àþùååñÿ îäèí ðàç, òî ( è ( ïîðîæäàþò Àn ïðè íå÷åòíûõ n è k, è
Sn â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ. Äàëåå áóäóò ïðèâåäåíû ñëåäñòâèÿ èç ýòîé òåîðåìû
äëÿ k = 3, 4, 5. Ïðè ýòîì ïåðå÷èñëÿþòñÿ ñëó÷àè, êîãäà åå óñëîâèÿ íå
âûïîëíåíî.

Ñëåäñòâèå 1. (ñëó÷àé k = 3). Óñëîâèå òåîðåìû âûïîëíåíî âñåãäà, çà
èñêëþ÷åíèåì äâóõ ñëó÷àåâ: 1) l1=l2=l3; 2) l3=2l1=2l2 (ñ òî÷íîñòüþ äî
öèêëè÷åñêèõ ïåðåñòàíîâîê).
Ñëåäñòâèå 2. (ñëó÷àé k = 4). Óñëîâèå òåîðåìû âûïîëíåíî âñåãäà, çà
èñêëþ÷åíèåì 6 ñëó÷àåâ (ñ òî÷íîñòü äî öèêëè÷åñêèõ ïåðåñòàíîâîê è èçìåíåíèåì
ïîðÿäêà íà ïðîòèâîïîëîæíûé):
1) l1=l2=l3=l4; 2) 2l1=2l2=2l3=l4; 3) 3l1=3l2=3l3=l4; 4) 2l1=2l2=l3=l4; 5)
6l1=6l2=3l3=2l4; 6) l1=l3, l2=l4.
Ñëåäñòâèå 3 (äëÿ ñëó÷àÿ k=5). Óñëîâèå òåîðåìû âûïîëíåíî âñåãäà, çà
èñêëþ÷åíèåì 33 ñïåöèàëüíûõ ñëó÷àåâ: 1) l1=l2=l3=l4=l5; 2)
2l1=2l2=2l3=2l4=l5; 3) 3l1=3l2=3l3=3l4=l5;
4) 4l1=4l2=4l3=4l4=l5; 5) 3l1=3l2=3l3=2l4=2l5; 6)
2l1=2l2=2l3=l4=l5; 7) 3l1=3l2=3l3=l4=l5; 8) 2l1=2l2=l3=2l4=l5.