Астронет > 1.3 Построение сохраняющихся токов и суперпотенциалов на произвольном вспомогательном фоне. Проблема единственности

по текстам по ключевым словам в глоссарии по сайтам перевод

<< 1.2 Суперпотенциал Каца-Крушциела ... | Оглавление | Литература к лекции 1 >>

Разделы

1.3 Построение сохраняющихся токов и суперпотенциалов на произвольном вспомогательном фоне. Проблема единственности

Рассмотрим произвольную ковариантную теорию с лагранжианом [20] (сначала он в неявно ковариантном виде): $\hat L = \hat L (A_B; A_{B,\alpha}; A_{B,\alpha\beta})$ , где A_B -- это набор динамических переменных, произвольных тензорных плотностей. Внешнее заданное фоновое пространство-время введем простой тождественной заменой: $A_{B,\tau} \equiv \overline D_\tau A_B - \overline \Gamma^\sigma_{\tau\rho} \left. A_B \right\vert _\sigma^\rho$ . Тогда лагранжиан перепишется в явно ковариантной форме:

$\begin{displaymath} \hat L = {\hat{\cal L}}_c = {{\hat{\cal L}}}_c (A_B; \overline D_\alpha A_{B}; \overline D_\beta \overline D_\alpha A_{B}). \end{displaymath}$

(1.36)

Мы следуем Мицкевичу [8], чтобы определить производную Ли:

$\begin{displaymath} {\pounds_\xi} A_B \equiv - \xi^\alpha \overline D_\alpha A_B... ...left.A_B\right\vert^\alpha_\beta \overline D_\alpha \xi^\beta. \end{displaymath}$

(1.37)

Поскольку лагранжиан (1.36) -- это скалярная плотность, составляем для него тождество Нетер: ${\pounds_\xi} {\hat{\cal L}}_c +\partial_\alpha \left(\xi^\alpha {\hat{\cal L}}_c\right) \equiv 0$ , которое тождественно преобразуется в

	-	$\displaystyle \left[{{\delta {\hat{\cal L}}_c} \over {\delta A_B}} \overline D_... ...} \over {\delta A_B}} \left.A_B\right\vert^\beta_\alpha\right)\right]\xi^\alpha$
	+	$\displaystyle \overline D_\alpha \left[\hat u^\alpha_\sigma\xi^\sigma + \hat m^... ...\beta}_\sigma \overline D_{\beta} \overline D_{\tau}\xi^\sigma\right] \equiv 0,$	(1.38)

где коэффициенты однозначно определены лагранжианом следующим образом:

$\displaystyle \hat u^\alpha_\sigma$	$\textstyle \equiv$	$\displaystyle {\hat{\cal L}}_c \delta^\alpha_\sigma + {{\delta {\hat{\cal L}}_c} \over {\delta A_B}} \left.A_B\right\vert^\alpha_\sigma$
	-	$\displaystyle \left[{{\partial {\hat{\cal L}}_c} \over {\partial (\overline D_\... ...ine D_\beta \overline D_\alpha A_{B})}}\right) \right] \overline D_\sigma A_{B}$
	-	$\displaystyle {{\partial {\hat{\cal L}}_c} \over {\partial (\overline D_\beta \... ...A_{B}- \hat n^{\alpha\tau\beta}_\lambda \overline R^\lambda_{ \tau\beta\sigma},$	(1.39)

$\displaystyle \hat m^{\alpha\tau}_\sigma$	$\textstyle \equiv$	$\displaystyle \left[{{\partial {\hat{\cal L}}_c} \over {\partial (\overline D_\... ...ta \overline D_\alpha A_{B})}}\right)\right] \left.A_{B}\right\vert^\tau_\sigma$
	-	$\displaystyle {{\partial {\hat{\cal L}}_c} \over {\partial (\overline D_\tau \o... ...rline D_\alpha A_{B})}} \overline D_\beta (\left.A_{B}\right\vert^\tau_\sigma),$	(1.40)

$\begin{displaymath} \hat n^{\alpha\tau\beta}_\sigma \equiv {\textstyle{\frac{1}{... ...D_\alpha A_{B})}} \left.A_{B}\right\vert^\beta_\sigma\right]. \end{displaymath}$

(1.41)

1.3.1 Обобщенный ток

Подробный анализ (1.38) дает другое сильное тождество:

$\begin{displaymath} {{\delta {\hat{\cal L}}_c} \over {\delta A_B}} \overline D_\... ...delta A_B}} \left.A_B\right\vert^\beta_\alpha\right) \equiv 0, \end{displaymath}$

(1.42)

использование которого в тождестве (1.38) приводит его к виду

$\begin{displaymath} \overline D_\alpha \left[\hat u^\alpha_\sigma\xi^\sigma + \h... ...erline D_{\beta} \overline D_{\tau}\xi^\sigma\right] \equiv 0. \end{displaymath}$

(1.43)

Выражение под дивергенцией в этом тождестве вполне может быть интерпретировано как обобщенный ток:

$\begin{displaymath} \hat i^\alpha \equiv - \left[\hat u^\alpha_\sigma\xi^\sigma ... ...sigma \overline D_{\beta} \overline D_{\tau}\xi^\sigma\right], \end{displaymath}$

(1.44)

а само тождество Нетер (1.43) переписывается в виде:

$\begin{displaymath} \overline D_\alpha \hat i^\alpha \equiv \partial_\alpha \hat i^\alpha \equiv 0. \end{displaymath}$

(1.45)

1.3.2 Обобщенный суперпотенциал

Перепишем тождество (1.43) в виде:

$\begin{displaymath} \hat{\cal O}_\sigma\xi^\sigma + \hat{\cal O}^\alpha_\sigma \... ...ta}_\sigma \overline D_{(\alpha\tau\beta)}\xi^\sigma \equiv 0. \end{displaymath}$

(1.46)

Поскольку компоненты $\xi^\mu$ и производные от них произвольны в каждой точке, то коэффициенты в (1.46) по отдельности также тождественно равны нулю. Это дает набор тождеств:

$\displaystyle \overline D_\alpha \hat u^\alpha_\sigma + {\textstyle{\frac{1}{2}... ...\tau\beta}_\lambda \overline D_\beta \overline R^{ \lambda}_{\sigma \tau\alpha}$	$\textstyle \equiv$	0,
$\displaystyle \hat u^\alpha_\sigma + \overline D_\lambda \hat m^{\lambda \alpha... ...r 3}} \hat n^{\lambda\tau\beta}_\sigma \overline R^{\alpha}_{ \tau\beta\lambda}$	$\textstyle \equiv$	0,
$\displaystyle \hat m^{(\alpha\tau)}_\sigma + \overline D_\lambda \hat n^{\lambda(\alpha\tau)}_\sigma$	$\textstyle \equiv$	0,
$\displaystyle \hat n^{(\alpha\tau\beta)}_\sigma$	$\textstyle \equiv$	0.	(1.47)

Сама форма тождества (1.45) говорит о том, что обобщенный ток должен выражаться в виде:

$\begin{displaymath} \hat i^\alpha \equiv \overline D_\tau \hat \Phi^{\alpha\tau}(\xi), \end{displaymath}$

(1.48)

где суперпотенциал в правой части тождественно удовлетворяет: $\overline D_{\alpha\tau} \hat \Phi^{\alpha\tau}(\xi) \equiv 0$ . Действительно, используя тождества (1.47) в определении тока (1.44) мы представляем его в виде (1.48), где обобщенный суперпотенциал имеет вид:

$\begin{displaymath} \hat \Phi^{\alpha\tau} (\xi) \equiv \left(\hat m^{\tau\alpha... ...n^{[\alpha\tau]\lambda}_\sigma \overline D_\lambda \xi^\sigma. \end{displaymath}$

(1.49)

Учет третьего из тождеств (1.47) говорит, что суперпотенциал (1.49) явно антисимметричен.

1.3.3 Вклад от дивергенции в лагранжиане

Простым, но очень важным является вопрос о вкладе в ток и суперпотенцил от дивергенции в лагранжиане. Ответ был дан еще Кацем [14]. Здесь мы кратко даем результат. Поскольку $\Delta_{(div)} \hat L = \partial_\nu \hat k^\nu$ также является скалярной плотностью, то для этой добавки отдельно выполняется тождество Нетер: $\partial_\alpha ({\pounds_\xi} \hat k^\alpha + \xi^\alpha \partial_\nu \hat k^\nu ) \equiv 0$ , простой анализ которого приводит к добавкам в коэффициентах (1.39) - (1.41) и в суперпотенциале (1.49):

$\displaystyle \Delta_{(div)}\hat u^\alpha_\sigma$	=	$\displaystyle 2 \overline D_\tau\left(\delta^{[\alpha}_\sigma \hat k^{\tau]} \right),$
$\displaystyle \Delta_{(div)}\hat m^{\alpha\tau}_\sigma$	=	$\displaystyle 2 \left(\delta^{[\alpha}_\sigma \hat k^{\tau]} \right),$
$\displaystyle \Delta_{(div)}\hat n^{\alpha\tau\beta}_\sigma$	=	0,
$\displaystyle \Delta_{(div)}\hat \Phi^{\alpha\tau}$	=	$\displaystyle -2 \left(\xi^{[\alpha} \hat k^{\tau]} \right).$	(1.50)

Необходимо отметить, что форма этих добавок никак не зависит от структуры векторной плотности $\hat k^{\tau}$ !

1.3.4 Неопределенность и единственность в определении токов и суперпотенциалов

Хорошо известно, что без изменения тождества (1.45) к току $\hat i^\alpha$ может быть добавлена произвольная величина $\Delta \hat i^\alpha(\xi)$ , лишь бы дивергенция от нее тождественно обращалась в нуль: $\partial_\alpha \left(\Delta \hat i^\alpha(\xi)\right) \equiv 0$ . Однако, ,,испорченный'' ток тем же самым способом может быть ,,исправлен''. Величина $\Delta \hat i^\alpha(\xi)$ не связана с лагранжианом и процедурой Нетер. С другой стороны, в определении (1.44) все коэффиценты (1.39) - (1.41) строго определены лагранжианом, заданным в общей (неявной) форме. В формуле (1.44) нет ни одного члена дивергенция от которого явно бы обращалась в нуль. Тождество (1.45) выполняется как все выражение в целом, как и должно быть для единого сохраняющегося тока Нетер. Таким образом, можно сделать утверждение:

Ток (1.44) -- $\hat i^\alpha$ -- в смысле процедуры Нетер определяется единственнным образом лагранжианом теории.

Подобные выводы справедливы и для определения суперпотенциала (1.49). В принципе, без изменения тока $\hat i^\alpha$ к суперпотенциалу в (1.48) может быть добавлена произвольная величина $\Delta \hat \Phi^{\alpha\tau}(\xi)$ , лишь бы дивергенция от нее тождественно обращалась в нуль: $\partial_\tau \left(\Delta \hat \Phi^{\alpha\tau}(\xi)\right) \equiv 0$ . Однако, эта добавка никак не связана с лагранжианом и процедурой Нетер. Как ее добавили, точно также легко уничтожить. С другой стороны, в определении (1.49) все члены строго определены лагранжианом и описанной процедурой -- их невозможно откинуть. Поэтому мы делаем утверждение:

Суперпотенциал (1.49) -- $\hat \Phi^{\alpha\tau}(\xi)$ -- в смысле процедуры Нетер определяется единственнным образом лагранжианом теории.

Сделав это утверждение, мы, кроме того, проиллюстрируем, что двусмысленность в суперпотенциале не опасна, во всяком случае для построения глобальных сохраняющихся величин. Так, тождество