Астронет > Геофизические методы исследования земной коры. Часть 1

по текстам по ключевым словам в глоссарии по сайтам перевод

Геофизические методы исследования земной коры

4.3.3. Прямая и обратная задачи над намагниченным вертикальным бесконечно длинным столбом (стержнем).

1. Прямая задача. Пусть на глубине $h$ залегает вершина бесконечно длинного столба (вертикального цилиндра или стержня) сечением $s$ (рис. 2.4). Его можно представить как тело одного полюса ( $m$ ) с интенсивностью намагничения ( $J$ ), направленной вдоль оси z, и "магнитной массой" $m = Js$ . Так как нижний полюс столба расположен очень далеко, то его влиянием можно пренебречь и считать, что вся "масса" сосредоточена на вершине столба.

Необходимо найти напряженность поля вдоль профиля x над телом. Потенциал от верхнего полюса столба в точке P будет равен потенциалу точечной массы (см.2.4):

$U= \frac{m}{\mu r} = \frac{m}{\mu \sqrt{{x}^{2} +{h}^{2} } } .$

(2.7)

Составляющие поля выражаются производными потенциала по соответствующим осям координат:

${Z}_{a} =- \frac{\partial U}{\partial h} = \frac{Jsh}{\mu ({x}^{2} +{h}^{2} {)}^{3/2} } , {H}_{a} =- \frac{\partial U}{\partial x} = \frac{Jsx}{\mu ({x}^{2} +{h}^{2} {)}^{3/2}} ,$

(2.8)

${T}_{a} =\sqrt{Z_{a}^{2} +H_{a}^{2} } = \frac{Js}{\mu ({x}^{2} +{h}^{2} {)}^{5/2} } .$

Используя полученные формулы, можно построить графики напряженности поля (рис. 2.4). Легко видеть, что над столбом будут максимумы $T_{ a}$ и $Z_{a}$ , а значения их будут одного знака, положительные при вертикальной $J_{ a}$ . Горизонтальная составляющая ( $Н$ ) слева будет иметь максимум, а справа - минимум. Вдалеке от столба аномалии исчезают. В плане над таким столбом изолинии $T_{ a}$ и $Z_{ a}$ будут иметь вид концентрических окружностей одного знака.

Рис. 2.4. Магнитное поле вертикального бесконечно длинного столба

2. Обратная задача. Решение уравнений (2.8) дает возможность по характерным точкам на графиках определить глубину залегания верхней кромки вертикального бесконечно длинного столба ( $h$ ). Так центр столба находится в точке, где $x = 0,$ а $Z_{ max} = T_{ max} = Js / mh^{ 2}.$

Для точек, удаленных на расстояния $x_{Z1/2}$ от начала координат, в которых $Z$ равно половине максимального

${Z}_{1/2} Jsh/2{h}^{2} \mu = Jsh/\mu ({x}^{2} + {h}^{2} {)}^{3/2}$

Решив это уравнение, получим $x_{Z1/2} = 0,7$ h. Аналогичным образом находятся связи и между другими характерными точками $x_{T1/2}$ , $x_{ HЭ}$ (экстремумы на составляющей $Н$ ), $x_{ ZH}$ (абсциссы точек пересечения $Z$ и $H$ ). В результате получаются следующие формулы для расчета $h$ по абсолютным значениям этих параметров:

$h = 1,4|{X}_{HЭ} | = 1,3|{X}_{Z1/2} | = |{X}_{T1/2}| = |{X}_{ZH} |$

(2.9)

Зная $h$ , можно оценить величину магнитной массы:
$m = Js = {Z}_{\max } \cdot \mu {h}^{2} = {T}_{\max } \mu {h}^{2}= 3,67{H}_{\max } \cdot \mu {h}^{2} .$

Так как $J \approx T_{ ср} \kappa$ , где $T_{ ср}$ - среднее значение полного вектора напряженности поля в изучаемом районе, а $\kappa$ - магнитная восприимчивость столба, то

$\kappa s = m / T_{ ср}.$

Отсюда, если известно \kappa по измерениям на образцах, можно определить площадь поперечного сечения столба ( $s$ ).

4.3.4. Прямая и обратная задачи над вертикально намагниченным шаром.

1. Прямая задача. Пусть вертикально намагниченный шар с центром на глубине $Н$ залегает под началом координат (рис. 2.5). Необходимо определить напряженность поля вдоль профиля $x$ . Потенциал шара можно представить как потенциал диполя, помещенного в его центре. Поэтому, согласно (2.7), потенциал шара с магнитным моментом $M = JV$ (или магнитной массой $m = M$ ), равен:

$U = \frac{Mcos\theta }{\mu {r}^{2} } = \frac{MH}{\mu {r}^{3} } = \frac{JvH}{\mu ({x}^{2} + {H}^{2} {)}^{3/2} } .$

(2.10)

Рис. 2.5. Магнитное поле шара

Отсюда, взяв производные, найдем элементы магнитного поля шара:
${Z}_{a} = - \frac{\partial U}{\partial H} = \frac{JV(2{H}^{2} - {x}^{2} )}{\mu ({x}^{2} + {H}^{2} {)}^{5/2} } , {H}_{a} = - \frac{\partial U}{\partial x} = \frac {3JVHx}{\mu(x^2+H^2)^{5/2}}, T_a=\sqrt{Z^2+H^2}=\frac{JV\sqrt{4H^2+x^2}}{\mu(x^2+H^2)^{5/2}}$ (2.11)

Анализ этих формул и построенных по ним графиков показывает, что над центром шара ( $х = 0$ ) будут $Z_{max} = T_{ max} = 2 JV / mH^{3},$ а $H = 0$ . При $x \rightarrow \pm\infty$ аномалии исчезают. При $x=\pm\sqrt{2} H$ $Z_{a} =0,$ при $x\lt\sqrt{2}H$ $Z_{a} \gt 0$ , а при $x\gt\sqrt{2} H$ $Z_{a}\lt 0 .$

Таким образом, в плане над шаром изолинии $Z_{ a}$ и $T_{ a}$ будут иметь вид концентрических окружностей. При этом изолинии $Z_{ a}$ будут двух знаков, а $T_{ a}$ - одного.

2. Обратная задача. Решение уравнений (2.11) теми же приемами, что и для столба, дает возможность по характерным точкам на графиках найти глубину центра вертикально намагниченного шара:

H_a=1,8|x_Z1/2|=1,8|x_ZH|=1,5|x_T1/2|=0,7|x_Z0|=0,5|x_Zmin|=

(2.12)

где $x_{Z1/2}$ и $x_{T1/2}$ - абсциссы точек половины $Z_{ a}, T_{ a}; x_{Z0}$ - точки с $Z_{ a} = 0; x_{Zmin}$ точки с $Z_{ a} = Z_{ min}.$

Зная $H$ , можно оценить магнитную массу шара ( $m$ ):

$m = JV = {Z}_{\max } \mu {h}^{3/2} = {T}_{\max } \mu {h}^{3/2}$

Отсюда, так как $J \approx \kappa T_{ ср},$ то $\kappa V \approx m / T_{ ср}.$ Если известны $Т_{ ср}$ и $\kappa,$ можно определить объем шара.

4.3.5. Прямая и обратная задачи над вертикально намагниченным тонким пластом бесконечного простирания и глубины.

Пусть на глубине $h$ параллельно оси y расположен бесконечно длинный вертикальный пласт (с толщиной $l$ , меньшей глубины залегания), намагниченный вертикально (рис. 2.6). Определим для простоты лишь $Z_{ a}$ вдоль оси $x$ .

Рис. 2.6. Магнитное поле тонкого пласта бесконечного простирания

Поскольку нижняя часть пласта расположена глубоко, то влияние магнитного полюса глубоких частей пласта будет мало, и можно считать, что магнитные массы сосредоточены вдоль поверхности в виде линейных полюсов. Магнитная масса единицы длины пласта равна $dm / dy = Jl.$

Разобьем пласт на множество тонких "столбов". Тогда притяжение пласта будет складываться из притяжения всех элементарных столбов, а вертикальная составляющая его магнитного притяжения будет равна интегралу в пределах от $-\infty$ до $+\infty$ (по оси $y$ ) выражения для притяжения элементарного столба. Потенциал элементарного тонкого столба равен

$dU = dm/\mu R = Jldy/\mu \sqrt{{x}^{2} + {y}^{2} + {h}^{2} }$

а вертикальная составляющая $d{Z}_{a} = -\partial (dU)/\partial h = Jlhdy/\mu \sqrt{{x}^{2} + {y}^{2} + {h}^{2} }$ ,

откуда $Z$ равно

${Z}_{a} = {\int }_{-\infty }^{+\infty } \frac{Jlhdy}{\mu ({x}^{2} + {y}^{2} + {h}^{2} {)}^{3/2} } = \frac{2Jlh}{\mu ({x}^{2} + {h}^{2} )} .$

(2.13)

График $Z_{ a}$ будет иметь максимум над центром пласта и асимптотически стремиться к нулю при удалении от пласта. В плане над пластом будут вытянутые аномалии $Z_{ a}$ одного знака. Анализируя формулу (2.13), можно найти связи между глубиной залегания пласта ( $h$ ) и $x_{ 1/2}$ , т.е. абсциссой графика, где $Z_{ a} = Z_{ max }/ 2; h = x_{ 1/2}.$

Магнитная масса единицы длины равна $m = Jl = Z_{ max} \mu h /2$ . Заменив $J \approx \kappa T_{ ср}$ , получим $l \kappa = m / T_{ cp}$ . Зная $T_{ cp}$ и $\kappa$ , можно рассчитать ширину пласта.

Назад| Вперед

Публикации с ключевыми словами: геофизика - Земля - земная кора
Публикации со словами: геофизика - Земля - земная кора

См. также:

Восход Земли

Последняя Пангеа — Земля через 250 миллионов лет

Извержение вулкана Тунгурахуа

Вращающаяся Земля: вид с "Галилео"

Земля и Луна в Пантеоне

Добро пожаловать на планету Земля

Ученые посоветовали готовиться к самому жаркому году на планете

Все публикации на ту же тему >>

Мнения читателей [4]

Версия для печати

Астрометрия - Астрономические инструменты - Астрономическое образование - Астрофизика - История астрономии - Космонавтика, исследование космоса - Любительская астрономия - Планеты и Солнечная система - Солнце