Топология и метрика пар кеплеровских орбит
<< 2. Евклидово расстояние между орбитами | Оглавление | 4. Естественные метрики в ... >>
3. Топологическое расположение пар кеплеровских орбит
в
пространстве
Пара эллипсов общего положения может быть вложена в трехмерное пространство двумя топологически различными способами. Они могут быть сцеплены (случай ) и нет (случай ). Вырожденный случай пересечения разделяет и . Алгебраическая топология оперирует с коэффициентом зацепления , определенным на каждой паре топологических окружностей и равным в случаях соответственно.
На практике эта разрывная функция неудобна. Для некомпланарных орбит мы предлагаем простой непрерывный аналог величины , отрицательный, положительный и равный нулю в вышеперечисленных случаях и несущий дополнительные сведения о расстоянии между орбитами. Для близких к пересечению орбит мало. Т.к. критерий не годится в компланарном случае, мы вводим также два дополнительных критерия и .
1. Пространственный случай. Пусть орбиты некомпланарны. Тогда
вектор
параллелен линии взаимных узлов и
. Очевидно,
Радиусы точек эллипсов , лежащих на линии узлов в направлении вектора , находятся элементарно, как и радиусы аналогичных точек на противоположной стороне линии узлов. Определим коэффициент зацепления
Он не зависит от координатной системы. Кроме того, . Очевидно, непрерывен на пространстве некомпланарных эллипсов и принимает отрицательные, положительные и нулевые значения в случаях , , соответственно. Нетрудно получить явное выражение через орбитальные элементы
где - параметр орбиты,
В случае он отрицателен. В случае он неотрицателен, но обращается в нуль не только в случае пересечения орбит, но и в компланарном случае .
2. Компланарный случай. Если взаимный наклон равен нулю, то не определен, а равен нулю. Мы не можем различить случаи и (случай не встречается в двумерном пространстве). Чтобы заполнить лакуну, введем третий коэффициент
имеющий смысл только в компланарном случае.
Именно, , если , не пересекаются (случай ); - в противоположном случае . Точнее, отвечает трансверсальному пересечению в двух точках; отвечает единственной общей точке, в которой , касаются друг друга, или наиболее вырожденному случаю . Стоит заметить, что непрерывен на множестве пар компланарных эллипсов.
Из свойств можно попутно вывести заключение о числе точек пересечения кеплеровских орбит .
Существует пять и только пять вариантов:
- .
- и имеют общую часть, хотя . Это возможно только в случае двух прямолинейных орбит.
- и имеют ровно две общие точки, в обоих пересечение трансверсально.
- и имеют ровно одну общую точку, в которой трансверсально пересекаются или касаются. В последнем случае они лежат в одной плоскости и одна из них лежит внутри другой.
- и не имеют общих точек.
<< 2. Евклидово расстояние между орбитами | Оглавление | 4. Естественные метрики в ... >>
Публикации с ключевыми словами:
Небесная механика - кеплеровы орбиты
Публикации со словами: Небесная механика - кеплеровы орбиты | |
См. также:
Все публикации на ту же тему >> |