<< C. Вычисление интегралов | Оглавление | Литература >>
D. Аналитическое решение для уравнений движения ядра кометы
В данном приложении будет рассмотрена задача о поиске
аналитического решения для уравнений движения ядра кометы (первая
пара системы (50)). Рассмотрим второе
уравнение системы (50)
Произведем замену переменных вида
. Тогда
(78) можно переписать в виде:
![]() |
(79) |
![]() |
(80) |
![]() |
здесь
![](http://images.astronet.ru/pubd/2004/05/27/0001198166/img442.gif)
Следовательно, первое уравнение системы
(50) можно представить в виде:
![](http://images.astronet.ru/pubd/2004/05/27/0001198166/img444.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2004/05/27/0001198166/img445.gif)
Здесь учтено, что
![](http://images.astronet.ru/pubd/2004/05/27/0001198166/img447.gif)
![]() |
Откуда
![]() |
(84) |
где - постоянная интегрирования. Учтем также, что
![](http://images.astronet.ru/pubd/2004/05/27/0001198166/img452.gif)
следовательно
![](http://images.astronet.ru/pubd/2004/05/27/0001198166/img453.gif)
откуда
Проинтегрируем (87)
Произведем замену переменных вида , тогда
, следовательно (88) можно
представить в виде:
следовательно, (89) можно представить в виде:
произведем в (91) замену следующего вида
![](http://images.astronet.ru/pubd/2004/05/27/0001198166/img461.gif)
откуда получаем
Вернемся к исходной переменной
![](http://images.astronet.ru/pubd/2004/05/27/0001198166/img464.gif)
где
![](http://images.astronet.ru/pubd/2004/05/27/0001198166/img467.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2004/05/27/0001198166/img468.gif)
где
![](http://images.astronet.ru/pubd/2004/05/27/0001198166/img470.gif)
учитывая определение большой полуоси орбиты ядра
![](http://images.astronet.ru/pubd/2004/05/27/0001198166/img472.gif)
![]() |
(97) |
Подставляя
![](http://images.astronet.ru/pubd/2004/05/27/0001198166/img464.gif)
Ситуация 1: Параболическая орбита
(
).
Тогда после интегрирования в правой части (101) и
учитывая, что , где
- перигелийное расстояние
ядра, будем иметь:
![](http://images.astronet.ru/pubd/2004/05/27/0001198166/img481.gif)
Решая последнее уравнение относительно
![](http://images.astronet.ru/pubd/2004/05/27/0001198166/img483.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2004/05/27/0001198166/img484.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2004/05/27/0001198166/img485.gif)
Ситуация 2: Эллиптическая орбита
(
).
В данном случае непосредственное интегрирование (101)
затруднительно. В этом случае удобно ввести вспомогательный угол
- эксцентрическую аномалию и выразить
,
в
функции этого угла (смотри рис. 27).
На большой оси как на диаметре строим окружность. Проводим через
положение ядра кометы (точка ) перпендикуляр
к большой оси
орбиты до пересечения с окружностью. Угол
и есть
эксцентрическая аномалия
. Очевидно, что
или
![](http://images.astronet.ru/pubd/2004/05/27/0001198166/img470.gif)
или
![](http://images.astronet.ru/pubd/2004/05/27/0001198166/img497.gif)
Подставляя значение
![](http://images.astronet.ru/pubd/2004/05/27/0001198166/img498.gif)
Исключая из (105) и (106) переменную
![](http://images.astronet.ru/pubd/2004/05/27/0001198166/img464.gif)
(перед корнем берем знак "+", поскольку
![](http://images.astronet.ru/pubd/2004/05/27/0001198166/img501.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2004/05/27/0001198166/img502.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2004/05/27/0001198166/img503.gif)
Подставим значение
![](http://images.astronet.ru/pubd/2004/05/27/0001198166/img505.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2004/05/27/0001198166/img464.gif)
Решая последнее уравнение относительно переменной
![](http://images.astronet.ru/pubd/2004/05/27/0001198166/img42.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2004/05/27/0001198166/img507.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2004/05/27/0001198166/img508.gif)
Ситуация 3: Гиперболическая
орбита (
).
В случае гиперболической орбиты ядра кометы
,
, а
![](http://images.astronet.ru/pubd/2004/05/27/0001198166/img512.gif)
Для интегрирования (101) введем вспомогательный угол
![](http://images.astronet.ru/pubd/2004/05/27/0001198166/img43.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2004/05/27/0001198166/img514.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2004/05/27/0001198166/img487.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2004/05/27/0001198166/img515.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2004/05/27/0001198166/img516.gif)
Из проводим касательную к окружности и через точку касания
проводим прямую
; угол
. Имеем
или
![](http://images.astronet.ru/pubd/2004/05/27/0001198166/img498.gif)
Используя (111), получаем окончательно
на основании (114) имеем
Подставляя значение
![](http://images.astronet.ru/pubd/2004/05/27/0001198166/img529.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2004/05/27/0001198166/img464.gif)
и производя замену следующего вида
![](http://images.astronet.ru/pubd/2004/05/27/0001198166/img531.gif)
получаем окончательно
Решая последнее уравнение относительно переменной
![](http://images.astronet.ru/pubd/2004/05/27/0001198166/img43.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2004/05/27/0001198166/img533.gif)
![](http://images.astronet.ru/pubd/2004/05/27/0001198166/img508.gif)
Таким образом, имея элементы орбиты кометы, можно всегда определить ее закон движения.
<< C. Вычисление интегралов | Оглавление | Литература >>
Публикации с ключевыми словами:
кометы - космическая пыль
Публикации со словами: кометы - космическая пыль | |
См. также:
Все публикации на ту же тему >> |