Великая теорема Ферма. Самое простое доказательство (13.02.2006)
Инструментарий:
Обозначения:
a_(k) - k-значное окончание (число) в числе a в системе счисления с простым основанием n>2. Пример для a = 3401: a_(3) = 401.
a_k - k-ая цифра в числе a, a_1 # 0. Пример для a = 3401: a_3 = 4.
Доказательство основано на простой лемме:
1* Лемма. Если (cb)_1 # 0 и (c-b)_(k) = 0 (c-b)_{(k)} = 0, тогда (c^n-b^n)_(k+1)=0, и
если (c^n-b^n)_(k+1) = 0 и (cb)_1 # 0, тогда (c-b)_(k) = 0 и R_1 = 0, R_2 # 0, где R = (c^n-b^n)/(c-b).
[Таким образом, если r [= c-b] делится на n, то число R содержит только один сомножитель n (если, конечно, цифра (cb)_1 # 0), или: R_1 = 0 и R_2 # 0.
Этот факт легко доказывается группировкой членов числа R в пары с выделением у каждой пары сомножителя (c - b)^2.]
Доказательство Великой теоремы Ферма
(1њ) Допустим, что a^n=c^n-b^n=rR, где n простое, a_1 # 0, a, b, c взаимопростые, следовательно:
(2aњ) r = (c-b)= r'^n, R = (c^n-b^n)/(c-b)=R'^n , a = r'R'.
(2bњ) u = a + b-c, где u(k) = 0, цифра u_{k+1} # 0, k > 0 (следствие из 1њ и малой теоремы).
***
(3њ) (k+1)-значные окончания в эквивалентных числах (c-b)^n-a^n, (c-b)^n-(c-b)R, (c-b)^n-a^n, [(c-b)-a]Q (см. 1*), uQ равны 0, поскольку u_(k) = 0 (см. 2bњ) и Q_1 = 0 (см. 1*).
(4њ) Отсюда имеем: R_(k+1) = (c-b)^{n-1}_(k+1) = (r'^n)^{n-1}_(k+1) = (r'^{n-1})^n_(k+1) [КЛЮЧ доказательства!]
Рассмотрим равенство a = r'R' (см. 2aњ) по k+1-значным окончаниям:
a_(k+1) = (r'R')_(k+1) =: (см. 4њ) := (r'r'^{n-1})_(k+1) = (r'^n)_(k+1) =: (см. 2aњ) := (c-b)_(k+1), что противоречит (2bњ).
Теорема доказана.
Виктор Сорокин
