А все ведь из-за того, что Вы неправильно берете интеграл.

Пожалуй, что да, есть ошибочка. Надо мне было авторитетного Will'a слушаться ...

Главное тут определить, до куда интегрировать. Если точка R - над фронтом, то интеграл очевидно ноль. Если точка под фронтом, то информация о изменении плотности дойдет только с расстояний < (ct - R), что и будет верхним пределом интеграла, (t&R считаются от точки испускания фронта).
(Выносить 1/R из-под интеграла всегда можно для сферической симметрии источника - не сомневайтесь в этом..)
Опуская множители, считаем -
интеграл от 2*delta(r) дает 1,
интеграл от de(r)/dr дает {e(ct-R) - e(0)}, e(0) = 1,
сам фронт - за горизонтом, так что из-под интеграла получаем только e(ct-R), добавляя множители, имеем

U(R;t) = (G*E(0)/c^2)*(e(ct-R)/R) <- это под фронтом
U(R;t) = 0 <- над фронтом, соединяем два решения -

U(R;t) = (G*E(0)/c^2)*(e(ct-R)/R)*H(ct-R)

Можете смело подставлять в даламбертиан, все сходится...

P.S. Важно что функция e(r) - достаточно произвольная!

Уважаемый AgoraBasta!
Вы начинаете учиться

Бросьте, пустое это все... Лучше посчитайте чему сами научились в наших дискуссиях

К сожалению, это решение годится только для однородного уравнения , т.е. решения для Вашей плотности опять нет, но сейчас я не об этом.

От плотностей к потенциалу - решение почти однозначно, обратная операция никогда не однозначна, это простейший факт.
Мне нужны всего два факта: перед фронтом - невозмущенное старое поле, за фронтом - измененный потенциал, с резким градиентом во фронте.
Мои уравнения прекрасно дают оба этих результата, а уж как сшивать - не так важно...
Причем ваше пожелание про растянутый фронт не ко мне, а к ОТО, которая координаты фотонов определяет в точку с определенной метрикой и подразумевает, что можно требовать ds^2=0, чего быть не может для реальных фотонов от реального источника - либо фотон длинный, либо разрывная метрика. Но даже если длинный и не разрывная - все равно ds^2=/=0 по области локализации фотона.

1. Может ли источник, движущийся со скоростью волны, испустить волну "вперед" ? "Назад" нас не интересует по очевидной причине.

Испустить - не может, унаследовать - обязан. Если сохраняется T_ik, то G_ik также сохраняется ровно в той-же мере.

2.Как поле, распространяющееся со скоростью света, может опередить источник, движущийся с той же скоростью.

Оно опередило тот источник, родившись много раньше нынешней инкарнации источника.

3. В консервативных полях, к которым относится и ньютоновское поле тяготения, полная механическая энергия сохраняется. Также можно получить теорему вириала, из которой получается обобщенный закон Кеплера (хотя и не только из нее). А у Вас она имеет какой-то прирост - почему?

Ничуть не так! Фотоны-то реально отдают энергию материи.
Я подозреваю, что потрудившись как следует, можно получить мой результат прямо из интеграла (L_M + L_G)*sqrt(-det(g))*d⁴x.

4.Используйте "сшивку" не с Хевисайдом - Хевисайд "плохая" функция с разрывной производной, что и есть плохо. Используйте линейную аппроксимацию с фронтом конечной длины, что более физично - если источник излучает волны длиной 21 см, то это не дельта со всей очевидностью.

Я уже объяснил, что проблема сидит в ОТО, и удлиннение не поможет.

5. Если поле неспособно опередить источник, что очевидно, то тогда его потенциал либо бесконечность - разбейте сферу на маленькие плитки. Потенциал каждой плитки = бесконечности, поскольку "не смог оторваться" от них, либо 0.

Не въезжаю чевой-то я в вашу дилемму....?

6. Факт того, что в малых полях красное (голубое) смещение фотона оказывается равным "убыли" или "приращению" гравитационного потенциала, НЕ свидетельствует о том, что энергия ДЕЙСТВИТЕЛЬНО теряется фотоном.

Это вопрос интерпретации - любая энергия зависит от системы отсчета. Я могу вам обосновать, что кинетическая энергия "локализована" в вакууме/эфире - но только вот зачем бы мне это делать...

Частота же зависит от локального времени в источнике, причем без наличия другой СО, эту зависимость не обнаружить -следствие принципа эквивалентности.

Это неправда - каждый сам себе система отсчета - спустился/поднялся по лестнице - получил эффект; ведь время и пространство меняются по-разному. А еще и лазерный гироскоп в кармане.

P.S. Предлагаю заменить  в уравнениях G*E(0)/c**2 на просто коэф-т K.

K уже занято в моей экспоненте, давайте лучше N.

Цитировать

U(r,t)=N*e(ct-r)*H(ct-r)/r

Это действительно волна, распространяющаяся со скоростью света.

Я сейчас немного занят, но малость погодите, и будет вам совершенно корректное решение. Приведенный выше последний вариант приведет к Шварцшильдовкому редшифту и действительно не сохраняет энергию...

2. Вы нарушили принцип эквивалентности.

Это не я его нарушил, это природа его соблюдает лишь в беск малой области, да и то только если метрика непрерывна...

OK, настоящее корректное решение, полностью соответствующее заявленным плотностям:

U(r,t)=N*{e(r)/r + J_r->ct[(de/dr')*dr'/r']}*H(ct-r),

здесь "J" - интеграл, он исчезает при r стремящемся к ct; так что ступенька на потенциале очевидна.
 

Давайте так - я понял, что Вы потенциал не получили из уравнения Пуассона или Даламбера,

Вижу, что проверять вам было лень...

Это решение - результат прямого интегрирования, и под фронтом соответствует Пуассону для заявленной плотности ~e'_r/r². Единственная волна здесь сидит в Хевисайде, а под фронтом почти статическая картинка.

P.P.S. Судя по всему, e(0)=1, но e'(0)=0. Согласны?

Само-собой. Ведь вы же знаете ту e(r) в явном виде = exp(-k*r²)...

Уважаемый AgoraBasta!
Сколько же можно упорствовать в решении, которое решением не является.
Вы опять не хотите это признать - тогда я подставлю:

U(r,t)=N*{e(r)/r + Jr->ct[(de/dr')*dr'/r']}*H(ct-r),

Разобьем на 2 (один я просто вычислял когда-то):
U1=N*e(r)/r*H(ct-r)
U2=N*J*H(ct-r)
D(U1)=N/r*(e''(r)*H(ct-r)-2*N*e'(r)*delta(ct-r))
D(U2)=
-N/r*(e''(r) *H(ct-r)+e'(r)*H(ct-r)/r**2-2*N*e'(r)*delta(ct-r)+2*delta(ct-r)*J)
Следовательно
D(U)=D(U1+U2)=D(U1)+D(U2)=-N*(e'(r)/r**2*H(ct-r)+2*delta(ct-r)*J/r)

rho' = -(1- H(r-ct))*{(E(0)/(2*pi*r^2*c^2))delta(r) + (dE(r)/dr)/(4*pi*r^2*c^2)} + delta(r-ct)*E(r)/(4*c^2*pi*r^2).

rho(r,t)=N*(e'(r)/(4*Pi*r**2)+delta(ct-r)*J/(2*Pi*r))
Такой плотности у Вас нет.
Кстати, если подставить e(r)=exp(-k*r**2), получится:
U1=exp(-k*r**2)/r*H(ct-r)
U2=N*H(ct-r)*b*(Erf(a*r)-Erf(a*ct)), a=sqrt(k), b=sqrt(Pi*k)
D(U)=2*N*k(H-ct)/r*exp(-k*r**2)+2*b*delta(ct-r)/r(Erf(a*r)-Erf(a*ct))
Функций ошибок в плотности я давненько не припомню...
Это на самом деле хоть и интересное, но не главное. Главное - дальше.
Как от
(-dU/dr)=N*e(r)*H(ct-r)/r**2+N*(e(r)/r+J)*delta(ct-r) можно перейти к
(dv/dt)=N*delta(r-ct)*e(r)/r ? Интеграл J зависит от времени, причем явно.
И в производной 3 члена. Подставить впрямую ct нельзя. (-dU/dr)|r=ct=inf.
Тут не работает формула конечных разностей. По сути вы пишете
Dp=F*Dt - это верно, но F - конечна! А у Вас бесконечна. И интеграл пусть исчезает - первый член с Хевисайдом остается. Все это - последствия Вашей "сшивки" Хевисайдом.
И маленькая поправочка - если собирать плотность в окрестности r=ct, необходимо по (r-dr,r+dr) брать, чтобы delta была =1, а не 1/2. А вы собрали плотность только (r,r+dr). Не забывайте, что нормальное
U1=U*m.
В общем, все те же проблемы...А как все выглядело просто в N373...

P.S. Интересно Вы понимаете метод Лагранжа...

M = M0 + t*M'

Вы верите тому, что написали? Я нет.
M' <> const
dE/dt=0 - система не теряет механическую энергию - поле- то консервативное.
E=-G*M1*M2/(2*a)=const
Далее думайте сами.

1. Я "забил" на потенциал практически с самого начала.
2. Формула конечных разностей не работает -  а она - ядро Вашего вывода.

Вы не доказали этот "эффект" даже математически.

Разве не ясно, что все эти дельты-хевисайды суть псевдоматетические трюки в этой задаче?

Вы решительно доказывали мне, что у Вас есть это решение - его нет. В этой задаче, очевидно, нельзя применять для сшивки гладких потенциалов разрывные функции.  
3. Мне даже наплевать сейчас стало на все эти потенциалы, и т.д.
Вы физически так не объяснили конкретного механизма.
Хотелось бы только Вам напомнить, что:
1. Ньютоновская механика не может служить для описания фотонов.
2. Фотоны с грав. полем в ОТО взаимодействуют только через g00, и, надо заметить, никакого импульса  не отдают.
3. ППН-формализм неприменим к задачам с быстродвижущимися объектами вроде Вашей волны бесконечной плотности со скоростью света.

Да и какой это ППН-формализм...

В Ньютона я не верую, впрочем и в иных тоже...

А вот в чем дело. Тогда, товарищ AgoraBasta, извините - не пойдет. Пойдите и разработайте свою физику - про все эти интегралы забудьте.
И там, в Вашей физике, может быть, будут и продольные волны от сферически симметричных источников, и "перекачка" импульса фотонов через гравитационное поле, и много другого...

В ньютоновской физике можно вообразить переменную массу и тупо решить лагранжиан, что я вполне тупо и сделал...

Попробуйте решать "нетупо" - тогда все получится.
Пока ничего не получилось.
P.S. Он даже с Вашими плотностями дал мне 0.37 вместо 0.02.
P.P.S. Вот,AgoraBasta, решите задачку на Ваш эффект, только "нетупо" - формулки есть, бери и подставляй.
Объект массы M имеет спутник массы m. Объект с массой M имеет мощность излучения W. Найдите приращение кинетической энергии в единицу времени, если спутник обращается по круговой орбите радиуса R с периодом T
Когда получите, сообщите. Желаю удачи!

И вы опять забываете, что g00 под и над фронтом различаются на конечную величину, и это надо как-то учитывать. С этим-то фактом хрен поспоришь!

Глядя на Ваш "вывод", можно понять, что Вы не учли именно этого факта. Вы везде пишете производные, дельта-функции, забываете конечные "хвосты" в интеграле, который берется у Вас в некой окрестности. Эти "хвосты" можно убрать, рассмотрев предел к бесконечно малой протяженности фронта.
Но тогда эквивалентная масса фронта dm=W/c**2*dt - тоже бесконечно малая. Следовательно g00 изменяется на бесконечно малую величину. Нелогично.

На самом деле его легко учесть. Достаточно знать, что:
1. Мы имеем так называемую теорему Биркгофа, которая утверждает, что сф.-симм. гравитационное поле в пустоте (т.е. вне тела), описывается статической метрикой Ш.  В любой момент времени метрика представляет собой решение Ш. с массой источника в текущий момент времени.
****
У Вас ПЛОСКОЕ пространство-время, и  потери энергии если и происходят, то происходят ВДАЛИ от источника, где любое изменение g00, создаваемое массой источника = 0.На расстоянии от типичного источника - звезды, а того хуже, сверхновой (хуже, потому что плотность резко уменьшилась, и g00 стал совсем маленький) уже около 1 а.е. нет ничего. Есть g00=1. Все.
Т.е., следуя даже Вашей логике, этот Ваш аргумент неприменим даже к Вам.
****
2. Заметим, что фотоны СИНХРОННЫ с изменением этой метрики. Таким образом, поле для них постоянно - согласно принципу эквивалентности, метрика для этих фотонов - плоская метрика Минковского.
3. На поверхности нейтронной звезды g00>>1, а в межзвездном пространстве g00=1 - ну и что? Для локальных наблюдателей там и здесь ничего не изменилось. Но если один из них пошлет сигнал другому ( с известной частотой), то мы заметим, что у него какие-то "неполадки".
Фотон - локальный наблюдатель - локальней некуда. Причем у этого наблюдателя нет собственных часов, что существенно.
****
Но для Вас и эти аргументы не работают, поскольку Вы утверждаете, что

...а поле фотонов на другие массы влияет в рассматриваемом случае!
А источник центрального поля всегда импульсом обменивается с массами в этом поле.

Второе утверждение действительно имеет место - увлекается же Земля за Солнцем в движении Солнца по Галактике! Оно тоже имело бы место, если бы суммарный импульс излученных фотонов был бы ненулевой - но он нулевой.
Но, у Вас в виде "источника" рассматриваются сами фотоны - с ними и загвоздка. Когда-то мы уже выясняли, что "голое" ЭМ-поле - фотоны, не искривляют пространство-время.  Следовательно, нет у них и поля, да и откуда ему быть?
Система незамкнута, иначе бы, действительно,фотоны дали бы вклад в плотность энергии источника-> его гравитационное поле. Так дает вклад реликтовое излучение в общую плотность энергии Вселенной.
5. Опять неявно встает вопрос - может ли источник, движущийся со скоростью света, иcпустить волну с этой скоростью? Нет, не может.

6. Пожалуйста, напишите закон сохранения энергии в том виде, который Вы используете, для следующего примера, который все прояснит нам:

Источник массы M0 излучил сферический фронт фотонов эквивалентной массы m. Частица с массой M, находится на круговой кеплеровой орбите радиуса R и периода T.
Это повтор той задачи - теперь не надо находить кин. энергию, а просто напишите закон сохранения энергии (и механической, и полной).

P.S.

Проблема тут не в разрывных функциях, а в том, что из-под фронта его самого не проинтегрируешь. Вот и вылазит всякая глупость при r = ct.

В них и сокрыта проблема. Чтобы "всякая глупость" (интересный математический термин!),не вылезала, надо конечные длины фронтов рассматривать. Тогда Ваше решение должно быть там как предел к нулю по длительности фронта. Вот законный способ перейти к дифференциалам от конечных величин. То, что они конечны, ясно из рассмотрения задачи.

А так ясно видно, что все решалось "наоборот", и никаким "списыванием с бумажки" разницу между N407 и N374,и даже N386, не объяснить.

Если рассматривать модель ЧД как "черный ящик", нет разницы между гравитацией поглощенного фотона и фермиона той же полной энергии.

Фотон не может быть наблюдателем, запомните это раз и навсегда

Именно это и сказано во фразе, что фотон вроде бы и наблюдатель, только без часов