A A A A Автор Тема: К электродинамике движущихся тел (Прочитано 35719 раз)

EVV · « **Ответ #320 :** 29.11.2005 [20:49:23] »

Цитата: Хартиков Сергей от 29.11.2005 [18:47:57]

Цитата EVV: "Вот только я протестую против термина "метрика СПЕЦИАЛЬНОГО вида".
Все как раз наоборот. В метрических пространствах метрика обычного для этих пространств вида и обязана удовлетворять ряду условий, одно из которых - неравенство треугольников. ОБЯЗАНА. Иначе пространство нельзя считать метрическим. Так вот метрика псевдоевклидова пространства этому условию не удовлетворяет. Как раз про нее можно сказать "метрика СПЕЦИАЛЬНОГО вида". Такое вот уродское СПЕЦИАЛЬНОЕ пространство."

Извините, уважаемый EVV, но я не оговорился: в метрических пространствах метрика именно СПЕЦИАЛЬНОГО вида. Так принято в математике: словом "специальный" обозначают более УЗКОЕ понятие. А метрические пространства - это более узкое понятие, чем пространство с произвольной метрикой.

Цитата EVV: "Вся борьба с релятивизмом может интерпретироваться как борьба против вывода того пространства, в котором мы живем, из класса нормальных метрических пространств."

Здесь налицо распространенное заблуждение: СТО не выводила наше пространство из класса метрических. Дело в том, что в классическом случае понятие пространство-время вообще не имеет смысла - там "расстояние" между точками-событиями не имеет никакого смысла. В СТО вводится пространство-время, причем "расстояние" (то есть интервал) имеет вполне определенный физический смысл. Псевдоевклидовым является в СТО именно пространство-время, а не обычное 3-мерное пространство. Так вот, и в СТО и в ОТО обычное 3-мерное пространство остается снабженным положительно определенной метрикой, а значит, там для функции расстояния по-прежнему выполняются аксиомы треугольника, симметрии и тождества. Вам придется поискать другую причину для борьбы с релятивизмом.

Да, уважаемый Хартиков Сергей, заблуждений масса.
И не только у меня

.
Цитирую из Математической энциклопедии, том 3, стр 658:
"Метрика, расстояние на множестве Х (заметьте, произвольном) - определенная на декартовом произведении Х*Х функция р с неотрицательными действительными значениями, удовлетворяющая при любых x, y условиям"
и дальше чинно и благородно излагаются надеюсь известные Вам аксиома тождества, аксиома треугольников (!) и аксиома симметрии.

Так что вполне резонно говорить, что метрика в псевдоевклидовых пространствах как таковая отсутствует начисто или вводится "подпольно", "нелегально", т.к. то, что там называют метрикой не соответствует определению метрики.
Так что Ваши рассуждения о том, что "метрические пространства - это более узкое понятие, чем пространство с произвольной метрикой" не что иное как наукообразные фантазии. Напрасно Вы стали упираться на чепуховом замечании про "метрики СПЕЦИАЛЬНОГО вида". Напрасно.

Теперь по поводу того, выводила СТО пространство из класса метрических пространств или нет.
Вы тверждаете, что "СТО не выводила наше пространство из класса метрических." и тут же противоречите сами себе заявляя чуть ниже, что "В СТО вводится пространство-время". Вы же не будете утверждать, что это одно и то же ?
Уверен, что не будете. Ну так зачем наводить тень на плетень?
Верно именно то, что СТО посягнула на хорошенькое евклидовое метрическое пространство и независимое от него время и СТО лет пытается подсунуть нам некий уродский 4-х мерный суррогат под названием "пространство-время" лишенный, я бы сказал, всех прелестей нормального метрического пространства.
Правильно г-н Каравашкин указывает на сомнительный смысл "интервала" даже в математике, не говоря уже о физике.

Хартиков Сергей · « **Ответ #321 :** 29.11.2005 [22:25:43] »

Цитата EVV: "Да, уважаемый Хартиков Сергей, заблуждений масса. И не только у меня. Цитирую из Математической энциклопедии, том 3, стр 658..."

Знаете, на этом форуме я с удивлением столкнулся с таким феноменом, когда народ изучает математику и физику по энциклопедиям, пусть даже и специализированным (Вы уже третий или четвертый). К сожалению, математика настолько обширна, что ее невозможно втиснуть ни в одну многотомную энциклопедию (или справочник, типа "Корна").
То определение метрики, которое Вы процитировали ОЧЕВИДНО относится к метрическим пространствам (раз обладает указанными свойствами). Существуют и другие определения метрики (см. П.К.Рашевский "Риманова геометрия и тензорный анализ" или Р.А.Шарипов "Быстрое введение в тензорный анализ").

Цитата EVV: "Вы тверждаете, что "СТО не выводила наше пространство из класса метрических." и тут же противоречите сами себе заявляя чуть ниже, что "В СТО вводится пространство-время". Вы же не будете утверждать, что это одно и то же ? Уверен, что не будете. Ну так зачем наводить тень на плетень?"

Извините, но Вы утверждали, что наше пространство (т.е 3-мерное пространство) благодаря СТО стало не метрическим. Я это опроверг: в СТО наше 3-мерное пространство осталось метрическим.
Если Вы не это хотели сказать, то так и говорите: мне не нравится понятие пространства-время.

Цитата EVV: "... указывает на сомнительный смысл "интервала" даже в математике"

Давайте, я жду от Вас объяснения, в чем заключается этот "сомнительный смысл" интервала в математике.

EVV · « **Ответ #322 :** 29.11.2005 [23:13:46] »

Цитата: Хартиков Сергей от 29.11.2005 [22:25:43]

Знаете, на этом форуме я с удивлением столкнулся с таким феноменом, когда народ изучает математику и физику по энциклопедиям, пусть даже и специализированным (Вы уже третий или четвертый). К сожалению, математика настолько обширна, что ее невозможно втиснуть ни в одну многотомную энциклопедию (или справочник, типа "Корна").
То определение метрики, которое Вы процитировали ОЧЕВИДНО относится к метрическим пространствам (раз обладает указанными свойствами). Существуют и другие определения метрики (см. П.К.Рашевский "Риманова геометрия и тензорный анализ" или Р.А.Шарипов "Быстрое введение в тензорный анализ").

Ай-яй-яй, уважаемый Хартиков Сергей!
Никак не можете, что б не оскорбить? Значит, нервничаете. Не надо.
Я не изучаю как Вы выражаетесь "математику и физику по энциклопедиям", а привожу оттуда определения, т.к. знаю, что прежде чем написать статью в серьезную энциклопедию авторы изучают наиболее авторитетные труды по теме. А Вы, между прочим, вычитаное у Рашевского определение не приводите. И правильно. Потому что оно не может противоречить приведенной мною ссылке. Современная математика к счастью не так сумбурна как современная физика.

Цитата: Хартиков Сергей от 29.11.2005 [22:25:43]

Давайте, я жду от Вас объяснения, в чем заключается этот "сомнительный смысл" интервала в математике.

Зачем его ждать от меня? Его уже дал уважаемый г-н Каравашкин.

george telezhko · « **Ответ #323 :** 29.11.2005 [23:40:21] »

Цитата: EVV от 29.11.2005 [23:13:46]

Цитата: Хартиков Сергей от 29.11.2005 [22:25:43]

Давайте, я жду от Вас объяснения, в чем заключается этот "сомнительный смысл" интервала в математике.

Зачем его ждать от меня? Его уже дал уважаемый г-н Каравашкин.

Простите, а вот этого-то он и не сделал. Он дал определение модуля комплексного числа. А Вы видели, чтобы где-нибудь в СТО это определение можно было бы применить? В СТО есть векторы с чисто мнимой и тремя действительными проекциями - но наличие у вектора проекций не дает права складывать их для того, чтобы найти модуль этого вектора. А именно это и делает Сергей Каравашкин, сначала складывая мнимую (icT) и действительную (X) проекции вектора: X + icT, - а затем предлагая найти модуль полученного комплексного числа по правилам "формализма" комплексных чисел: |X+icT|² = (X+icT)(X-icT) = X² + (cT)².
Хорошее, верное правило, но применено к несуществующему в СТО объекту X+icT, отчего получен не адекватный СТО результат.

Хорош бы был студент, ищущий модуль вектора (X, Y) с действительными проекциями X, Y (а в СТО мы рассматривали вектор (icT, X) с одной мнимой проекцией) по такому правилу:
- складываем проекции: X+Y (как раньше: X + icT)
- умножаем, "как требует формализм", результат на комплексно сопряженное число, в данном случае, совпадающее с самим действительным числом: |X, Y|² = (X+Y)*(X+Y) = X² + 2XY + Y². Вместо известного со школы |X, Y|² = X² + Y².

Нравится результат?

Хартиков Сергей · « **Ответ #324 :** 30.11.2005 [00:53:05] »

Цитата EVV: "Ай-яй-яй, уважаемый Хартиков Сергей! Никак не можете, что б не оскорбить? Значит, нервничаете. Не надо."

Не оскорбляю я Вас ни в коем случае, а в который раз натыкаюсь на одни и те же грабли - забываю, что предложение Вам прочитать специальную литературу Вы воспринимаете как личное оскорбление (однако сами даете ссылки).

Цитата EVV: "А Вы, между прочим, вычитаное у Рашевского определение не приводите. И правильно. Потому что оно не может противоречить приведенной мною ссылке. Современная математика к счастью не так сумбурна как современная физика."

Как же Вам, уважаемый EVV, не жалко моего времени - неужели трудно самому прочитать вместо того, чтобы заставлять меня перепечатывать тексты? Хорошо, читайте:

П.К.Рашевский (стр.154)

"Мы уже упоминали о том, что аффинная геометрия может быть построена на основе евклидовой путем отвлечения от метрических свойств пространства. Однако мы идем обратным путем: аффинную геометрию мы построили на основе самостоятельной аксиоматики, а переход к евклидовой геометрии совершим путем дополнительного включения метрических свойств. Это проще всего сделать, введя в n-мерном аффинном пространстве скалярное произведение векторов, что повлечет за собой и все другие метрические свойства и будет означать превращение нашего пространства в евклидово.
Для этой цели зададимся в n-мерном аффинном пространстве некоторой билинейной скалярной функцией Ф(x,y) двух векторных аргументов x и y (п.26). Мы потребуем, чтобы эта функция удовлетворяла условию симметрии:
Ф(x,y) = Ф(y,x)
и условию невырожденности, которое заключается в том. что для каждого вектора x =/= 0 можно найти такой вектор y, что
Ф(x,y) =/= 0.
В остальном функцию Ф(x,y) выбираем произвольно, но затем уже раз навсегда присваиваем ее нашему пространству и в дальнейшем менять не будем.
Евклидовым пространством n измерений мы будем называть n-мерное аффинное пространство, в котором задана раз навсегда фиксированная билинейная скалярная функция двух векторных аргументов x, y, удовлетворяющая условиям симметрии и невырожденности.
Эту функцию векторов x, y мы будем называть их скалярным произведением и обозначать просто xy ... Скалярный квадрат вектора x определяется формулой x²=xx ... Расстоянием между двумя точками A, B мы будем называть длину вектора AB:
AB = sqrt(x²)"

(стр.155):

"Вещественные евклидовы пространства в свою очередь разделяются на два класса: собственно евклидовы, в которых для любого вектора x=/=0: x² > 0 и псевдоевклидовы, в которых x² может принимать как положительные, так и отрицательные значения."

(стр.156):

"Псевдоевклидовы пространства по характеру своей метрики обладают весьма своеобразными чертами, не имеющими аналогов в обычной геометрии"

"Вообще задание билинейной скалярной функции (x,y) равносильно, как мы знаем, заданию дважды ковариантного тензора Ф_ij ее коэффициентов:
Ф_ij=Ф(e_i,e_j), Ф(x,y)=Ф_ijxⁱy^j.
В частности, в случае скалярного произведения xy тензор коэффициентов мы будем обозначать g_ij и называть метрическим тензором..."

(стр.383):

"Чтобы превратить многообразие в риманово пространство, нужно внести в него метрику. Это мы осуществляем заданием в многообразии метрического тензора, аналогичного метрическому тензору евклидова пространства в криволинейных координатах. Дадим точное определение.
Римановым пространством V_n мы будем называть многообразие M_n, в котором задано поле тензора
g_ij(M) = g_ij(x¹, ..., xⁿ),
два раза ковариантного, симметрического и невырожденного:
det|g_ij| =/= 0, g_ij = g_ji.
В остальном тензор g_ij(M) выбирается произвольно; это значит, что на одно и то же многообразие M_n можно по-разному накладывать риманову метрику. Тензор g_ij(M) мы будем называть метрическим..."

(стр.385):

"По аналогии с евклидовым пространством мы принимаем длину вектора dx за дифференциал дуги ds вдоль нашей кривой, так что
ds² = dx² = g_ij(x¹, ..., xⁿ) dxⁱ dx^j.
... квадратичную форму g_ij dxⁱ dx^j мы будем называть метрической..."

А вот еще опрделения из Мищенко, Фоменко "Курс дифференциальной геометрии и топологии":

(стр.28):

"Определение 3. Мы скажем, что задана риманова метрика в области C евклидова пространства, если в каждой регулярной системе координат z¹,...,zⁿ определен набор гладких функций g_mp(z¹,...,zⁿ) таких, что:
1) g_mp(z) = g_pm(z) - т.е. матрица G(z) симметрична;
2) матрица G(z) = (g_mp) невырождена и положительно определена;
3) при замене системы координат z->y матрица G(z) преобразуется по правилу G(z) = dфG(z)(dф)^т. Здесь через dф обозначена матрица Якоби."

(стр.30):

"Определение 5. Риманова метрика G, заданная в области C, называется евклидовой, если в C существует такая (вообще говоря криволиненйная) система координат y, в которой матрица G(y) становится единичной матрицей."

(стр.31):

"Определение 6. Мы скажем, что задана индефинитная метрика в области G евклидова пространства, если в каждой регулярной системе координат z¹,...,zⁿ определен набор гладких функций g_mp(z¹,...,zⁿ), удовлетворяющих всем требованиям, наложенным на риманову метрику (см. определение 3), кроме требования положительной определенности, т.е. соотвествующая квадратичная форма является индефинитной.
В качестве примера индефинитной метрики рассмотрим так называемые псевдоевклидовы метрики индекса s в псевдоевклидовых пространствах..."

А теперь я постараюсь разъяснить, в чем обычно путаются. В математике очень важно не только само название "метрика", а и то, с какими словами оно применяется. В случае метрических пространств говорят о "метрике на множестве X" (аналогичное определение на стр.65 "Курса" Фоменко). В случае евклидовых и римановых пространств говорят либо просто о метрике, заданной в пространстве, или о метрике, наложенной на пространство. Но в каждом случае обязательно указывают все свойства метрики, чтобы было понятно, о каком пространстве идет речь.

EVV · « **Ответ #325 :** 30.11.2005 [08:37:06] »

Цитата: 'Как же Вам, уважаемый EVV, не жалко моего времени - неужели трудно самому прочитать вместо того, чтобы заставлять меня перепечатывать тексты? Хорошо, читайте:'

Нет, уважаемый Хартиков Сергей, мне жалко Вашего времени, а вот Вам самому видно его не жалко.
Как я и ожидал, г-н Рашевский и не думал противоречить математическому определению метрики вопреки Вашему анонсу. Ваши ссылки подчеркивают тот факт, что математическое понятие 'метрика' это совсем не то, что, скажем, 'метрические свойства', 'билинейная скалярная функция', 'метрический тензор', 'квадратичная форма' и даже 'риманова метрика'. Поэтому Ваше высокопарное пренебрежение определениями из энциклопедии теперь выглядит еще смешнее.

Вы совершенно правы, что 'в математике очень важно не только само название "метрика", а и то, с какими словами оно применяется'. Очень важно. Мне кажется, что именно это до Вашего сознания не доходит.
Вот например, даже в приведенных Вами ссылках черным по белому написано:
'аффинная геометрия может быть построена на основе евклидовой путем отвлечения от метрических свойств пространства'. Напомню читателям, что псевдоевклидово пространство это как раз аффинное. Так вот. Повторю: ОТВЛЕЧЕНИЯ от метрических свойств. Ими жертвуют во имя некой высокой математической цели. Поэтому когда 'псевдогении' пытаются кувалдой вбить метрические свойства туда, где для них изначально нет места, то получаются уродцы, что я и пытался до Вас донести.

А Вы на мою доброжелательность отвечаете менторским тоном.

george telezhko · « **Ответ #326 :** 30.11.2005 [09:34:46] »

Цитата: EVV от 30.11.2005 [08:37:06]

Поэтому когда 'псевдогении' пытаются кувалдой вбить метрические свойства туда, где для них изначально нет места, то получаются уродцы, что я и пытался до Вас донести.

А Вы на мою доброжелательность отвечаете менторским тоном.

Про доброжелательность видно.
А вот почему псевдоевклидово пространство время - аффинно, я не понял. Пойду почитаю.

Хартиков Сергей · « **Ответ #327 :** 30.11.2005 [18:34:19] »

Цитата EVV: "А Вы на мою доброжелательность отвечаете менторским тоном."

Уважаемый EVV! Пожалуйста, скажите мне, как конкретно я должен составлять свои сообщения, чтобы Вас в них ничего не оскорбляло? Еще раз повторяю: я не собирался и не собираюсь никого обижать. Моя задача: донести информацию о математике "из первых рук". Если я не даю ссылок, то по одной причине: читая специальную литературу, Вы никогда не найдете ничего, что я бы "переврал".

Цитата EVV: "Вот например, даже в приведенных Вами ссылках черным по белому написано:
'аффинная геометрия может быть построена на основе евклидовой путем отвлечения от метрических свойств пространства'. Напомню читателям, что псевдоевклидово пространство это как раз аффинное. Так вот. Повторю: ОТВЛЕЧЕНИЯ от метрических свойств. Ими жертвуют во имя некой высокой математической цели. Поэтому когда 'псевдогении' пытаются кувалдой вбить метрические свойства туда, где для них изначально нет места, то получаются уродцы, что я и пытался до Вас донести."

На примере данного абзаца я постараюсь показать, почему я ранее "высказался" по поводу энциклопедий.

1) Вы говорите совершенно верную фразу "псевдоевклидово пространство это как раз аффинное".

2) При этом Вы приводите мою цитату из Рашевского "аффинная геометрия может быть построена на основе евклидовой путем отвлечения от метрических свойств пространства".

3) Затем Вы делаете логический (как Вам кажется) вывод: в аффинной геометрии отказались от метрический свойств, но псевдоевклидово пространство аффинное, следовательно, в псевдоевклидовом пространстве отсутствуют метрические свойства.

Наверное, такое рассуждение выглядит весьма логичным. А теперь правильный ответ. Для начала: не только псевдоевклидово пространство является аффинным, но и самое обыкновенное 3-мерное евклидово пространство - тоже аффинное. Если Вы сами свое рассуждение признаете логичным, то из этого факта следует, что и обычное 3-мерное евклидово пространство не обладает "метрическими свойствами", то есть является "уродцем".
Теперь подробнее. Аффинное пространство работает с объектами "точка" и "вектор". Оно построено на ряде аксиом: существует хотя бы одна точка, каждой паре точек можно единственным способом поставить в соответствие вектор, аксиома параллелограмма, произведение вектора на число, два дистрибутивных закона, определение линейно независимости и аксиома размерности и т.д. В списке этих аксиом нет никаких метрических свойств. Таким образом, аффинное пространство - это базовая конструкция для построения совершенно разных пространств более специального вида.
Далее. В аффинную геометрию вносятся метрические свойства, то есть добавляется понятие скалярного произведения. На скалярное произведение накладываются ограничения: оно является билинейной функцией, симметричной и невырожденной, и все - в остальном оно произвольно. Но и сами евклидовы пространства подразделяются на классы: комплексные и вещественные. Вещественные: на собственно евклидовы и псевдоевклидовы. Итак, любое из названных мною здесь пространств является аффинным пространством (в том числе и обычное 3-мерное евклидово).
Но пространство можно строить не только на основе аффинных пространств. Например, берут другое понятие - многообразие и по аналогии с предыдущим вносят в него метрические свойства. Так строятся римановы пространства.
Но есть и третий путь. Берется нечто, совершенно не похожее на пространство - произвольное множество. На этом множестве задается функция (называемая метрикой) с определенными свойствами (Вы их приводили по цитате из энциклопедии) и получается метрическое пространство. Я должен обратить внимание, что здесь слова "метрическое пространство" являются именно специальным термином (я его буду писать в кавычках, чтобы отличать), в то время как все предыдущие пространства имеют свои собственные названия (евклидово, риманово). Является ли "метрическое пространство" чем-то привычным и соответствующим реальному миру? Конечно, нет. Потому что примеров "метрических пространств" очень много. Вот один из них: множество непрерывных на отрезке функций с метрикой p(x,y)=max|x(t)-y(t)|. Другой пример: множество, элементами которого являются бесконечные последовательности комплексных чисел, таких что счетная сумма квадратов модулей членов каждой такой последовательности сходится, а метрика - это квадратный корень из счетной суммы квадратов модулей разности соответствующих членов двух последовательностей. Ну, как - очень похожи эти примеры "метрических пространств" на обычное реальное пространство?
Используя "метрическое пространство" в качестве базового и добавляя дополнительные свойства, получают гильбертовы пространства, о которых так долго говорит Сергей Борисович. Таким образом, когда о каком-то пространстве говорят "метрическое" или "аффинное" или "линейное", то подразумевают определенный набор свойств относительно каких-нибудь объектов. Например, все евклидовы (в том числе и псевдоевклидовы, и обычное 3-мерное евклидово) пространства являются аффинными пространствами относительно объектов "точка" и "вектор". Собственно евклидовы пространства являются "метрическими" относительно своей метрики (скалярного произведения) вектора на себя, понимаемого как функция расстояния. Псевдоевклидовы пространства не являются "метрическими" относительно своей метрики (скалярного произведения). Римановы пространства не являются ни "метрическими" ни "аффинными". Интересно, что и евклидовы (и псевдоевклидовы) и римановы ("кривые") пространства ВСЕ являются ЛИНЕЙНЫМИ относительно своих координат. При всем при этом все евклидовы (и псевдоевклидовы) и римановы пространства называют метрическими (я пишу без кавычек - то есть подчеркиваю, что речь идет не о специальном термине) в том смысле, что КАЖДОЕ из них обладает своим набором метрических свойств, и в каждом есть метрика.
Я думаю, на основе изложенного нельзя про какое-то из приведенных пространств сказать, что оно более реально и привычно, чем другое (особенно, учитывая указанные мною примеры "метрических пространств"). Единственное "привычное" пространство в этом списке - это 3-мерное вещественное собственно евклидово пространство, с которым имеет дело классическая ньютонова механика. Все остальные пространства обладают МЕНЬШИМ набором свойств (меньшим количеством ограничений), то есть являются БОЛЕЕ ШИРОКИМИ понятиями.

Цитата EVV: "Ваше высокопарное пренебрежение определениями из энциклопедии теперь выглядит еще смешнее"

Не знаю, что Вы увидели смешного: я показал, что специальные термины "метрика" и "метрическое пространство" присутствуют в любой книге по геометрии и топологии и относятся только к одному из направлений математики. При этом в математике есть термин метрика, понимаемый в другом смысле - тоже соверешенно строгом - и относящийся к скалярному произведению с другими свойствами.

EVV · « **Ответ #328 :** 30.11.2005 [21:34:55] »

Цитата Хартиков Сергей: 'Затем Вы делаете логический (как Вам кажется) вывод: в аффинной геометрии отказались от метрический свойств, но псевдоевклидово пространство аффинное, следовательно, в псевдоевклидовом пространстве отсутствуют метрические свойства.'

Конечно не так. Когда я цитировал фразу 'путем ОТВЛЕЧЕНИЯ от метрических свойств' то подразумевал естественно не сужение, а расширение класса, считая это очевидным всякому знакомому с математикой. Думаю и Вы это поняли правильно, но решили использовать предоставившуюся возможность для очередного обвинения оппонента в безграмотности. Что ж. Ваша воля. Но это и есть то, что называется 'подтасовка'.

К счастью, математика строгая наука. Все попытки 'замылить' ее и 'затаскать по судам' обречены на провал. Никаких таких "других смыслов" о которых Вы говорите в своей лекции ('При этом в математике есть термин метрика, понимаемый в другом смысле - тоже соверешенно строгом - и относящийся к скалярному произведению с другими свойствами') нет, не было и не будет. Скалярное произведение останется скалярным произведением, а метрика метрикой, причем без всяких придуманных Вами кавычек.
Если Вам угодно создать свою альтернативную математику, в которой строгие математические термины Вы будете использовать с кавычками, а введенные в отдельных 'учебниках' суррогаты терминов - без кавычек, то пожалуйста. Откройте отдельную ветку и обсуждайте там эти проблемы с желающими. Там Вы сможете придавать терминам математики хоть десять разных смыслов и все 'совершенно строго' , но только к нашему разговору о физике все это будет иметь столь же отдаленное отношение как и к математике.

Хартиков Сергей · « **Ответ #329 :** 30.11.2005 [22:24:13] »

Цитата EVV: "Думаю и Вы это поняли правильно, но решили использовать предоставившуюся возможность для очередного обвинения оппонента в безграмотности. Что ж. Ваша воля. Но это и есть то, что называется 'подтасовка'."

Уважаемый EVV! Вам так не хватает воинствующих "релятивистов", которые Вас обвиняют, унижают и оскорбляют, что Вы и меня причислили к этому классу? Я извиняюсь перед Вами за все возможные смыслы, которые Вы увидели в моих словах. Простите меня!

Цитата EVV: "К счастью, математика строгая наука. Все попытки 'замылить' ее и 'затаскать по судам' обречены на провал. Никаких таких "других смыслов" о которых Вы говорите в своей лекции ('При этом в математике есть термин метрика, понимаемый в другом смысле - тоже соверешенно строгом - и относящийся к скалярному произведению с другими свойствами') нет, не было и не будет. Скалярное произведение останется скалярным произведением, а метрика метрикой, причем без всяких придуманных Вами кавычек."

Разрешите спросить: на каком основании сделан такой вывод? П.К.Рашевский термин метрика употребляет в качестве синонима скалярному произведению с его свойствами - это видно из моих цитат и его книги. То есть он не строит для этого слова определение. Другие авторы поступают по-другому: Фоменко в "Курсе дифференциальной геометрии и топологии", который я также процитировал, строит определение непосредственно для термина метрика - посмотрите определения 3, 5, 6 - это именно та метрика, которая введена и у Рашевского. Кроме того, Фоменко далее на стр.65 вводит определение и для термина метрика в так называемых метрических множествах - как раз то, о чем говорили Вы. То есть в каждом пространстве свое определение термина метрика со своими отличными свойствами.

Цитата EVV: "Если Вам угодно создать свою альтернативную математику, в которой строгие математические термины Вы будете использовать с кавычками, а введенные в отдельных 'учебниках' суррогаты терминов - без кавычек, то пожалуйста. Откройте отдельную ветку и обсуждайте там эти проблемы с желающими. Там Вы сможете придавать терминам математики хоть десять разных смыслов и все 'совершенно строго' , но только к нашему разговору о физике все это будет иметь столь же отдаленное отношение как и к математике."

Не "суррогаты терминов" и не "отдельные" учебники: эти определения есть в КАЖДОМ курсе геометрии и топологии (если только этот курс не ограничен 3-мерной геометрией). "Кавычки" я использовал для большей ясности изложения и не вводил лично ни одного термина. И конечно, я не "создаю свою альтернативную математику" - это было бы круто. Никаких смыслов я математическим терминам не придаю - у меня была попытка кратко и популярно объяснить Вам некоторые понятия, которые остутствуют в математической энциклопедии и справочнике Корна, и которые я хорошо знаю (правильно Вы сказали про меня: сам себя не похвалишь...

).

ущеко · « **Ответ #330 :** 30.11.2005 [22:38:03] »

Цитата: Хартиков Сергей от 30.11.2005 [18:34:19]

Цитата EVV: "А Вы на мою доброжелательность отвечаете менторским тоном."

Уважаемый EVV! Пожалуйста, скажите мне, как конкретно я должен составлять свои сообщения, чтобы Вас в них ничего не оскорбляло? Еще раз повторяю: я не собирался и не собираюсь никого обижать. Моя задача: донести информацию о математике "из первых рук". Если я не даю ссылок, то по одной причине: читая специальную литературу, Вы никогда не найдете ничего, что я бы "переврал".

Цитата EVV: "Вот например, даже в приведенных Вами ссылках черным по белому написано:
'аффинная геометрия может быть построена на основе евклидовой путем отвлечения от метрических свойств пространства'. Напомню читателям, что псевдоевклидово пространство это как раз аффинное. Так вот. Повторю: ОТВЛЕЧЕНИЯ от метрических свойств. Ими жертвуют во имя некой высокой математической цели. Поэтому когда 'псевдогении' пытаются кувалдой вбить метрические свойства туда, где для них изначально нет места, то получаются уродцы, что я и пытался до Вас донести."

На примере данного абзаца я постараюсь показать, почему я ранее "высказался" по поводу энциклопедий.

1) Вы говорите совершенно верную фразу "псевдоевклидово пространство это как раз аффинное".

2) При этом Вы приводите мою цитату из Рашевского "аффинная геометрия может быть построена на основе евклидовой путем отвлечения от метрических свойств пространства".

3) Затем Вы делаете логический (как Вам кажется) вывод: в аффинной геометрии отказались от метрический свойств, но псевдоевклидово пространство аффинное, следовательно, в псевдоевклидовом пространстве отсутствуют метрические свойства.

Наверное, такое рассуждение выглядит весьма логичным. А теперь правильный ответ. Для начала: не только псевдоевклидово пространство является аффинным, но и самое обыкновенное 3-мерное евклидово пространство - тоже аффинное. Если Вы сами свое рассуждение признаете логичным, то из этого факта следует, что и обычное 3-мерное евклидово пространство не обладает "метрическими свойствами", то есть является "уродцем".
Теперь подробнее. Аффинное пространство работает с объектами "точка" и "вектор". Оно построено на ряде аксиом: существует хотя бы одна точка, каждой паре точек можно единственным способом поставить в соответствие вектор, аксиома параллелограмма, произведение вектора на число, два дистрибутивных закона, определение линейно независимости и аксиома размерности и т.д. В списке этих аксиом нет никаких метрических свойств. Таким образом, аффинное пространство - это базовая конструкция для построения совершенно разных пространств более специального вида.
Далее. В аффинную геометрию вносятся метрические свойства, то есть добавляется понятие скалярного произведения. На скалярное произведение накладываются ограничения: оно является билинейной функцией, симметричной и невырожденной, и все - в остальном оно произвольно. Но и сами евклидовы пространства подразделяются на классы: комплексные и вещественные. Вещественные: на собственно евклидовы и псевдоевклидовы. Итак, любое из названных мною здесь пространств является аффинным пространством (в том числе и обычное 3-мерное евклидово).
Но пространство можно строить не только на основе аффинных пространств. Например, берут другое понятие - многообразие и по аналогии с предыдущим вносят в него метрические свойства. Так строятся римановы пространства.
Но есть и третий путь. Берется нечто, совершенно не похожее на пространство - произвольное множество. На этом множестве задается функция (называемая метрикой) с определенными свойствами (Вы их приводили по цитате из энциклопедии) и получается метрическое пространство. Я должен обратить внимание, что здесь слова "метрическое пространство" являются именно специальным термином (я его буду писать в кавычках, чтобы отличать), в то время как все предыдущие пространства имеют свои собственные названия (евклидово, риманово). Является ли "метрическое пространство" чем-то привычным и соответствующим реальному миру? Конечно, нет. Потому что примеров "метрических пространств" очень много. Вот один из них: множество непрерывных на отрезке функций с метрикой p(x,y)=max|x(t)-y(t)|. Другой пример: множество, элементами которого являются бесконечные последовательности комплексных чисел, таких что счетная сумма квадратов модулей членов каждой такой последовательности сходится, а метрика - это квадратный корень из счетной суммы квадратов модулей разности соответствующих членов двух последовательностей. Ну, как - очень похожи эти примеры "метрических пространств" на обычное реальное пространство?
Используя "метрическое пространство" в качестве базового и добавляя дополнительные свойства, получают гильбертовы пространства, о которых так долго говорит Сергей Борисович. Таким образом, когда о каком-то пространстве говорят "метрическое" или "аффинное" или "линейное", то подразумевают определенный набор свойств относительно каких-нибудь объектов. Например, все евклидовы (в том числе и псевдоевклидовы, и обычное 3-мерное евклидово) пространства являются аффинными пространствами относительно объектов "точка" и "вектор". Собственно евклидовы пространства являются "метрическими" относительно своей метрики (скалярного произведения) вектора на себя, понимаемого как функция расстояния. Псевдоевклидовы пространства не являются "метрическими" относительно своей метрики (скалярного произведения). Римановы пространства не являются ни "метрическими" ни "аффинными". Интересно, что и евклидовы (и псевдоевклидовы) и римановы ("кривые") пространства ВСЕ являются ЛИНЕЙНЫМИ относительно своих координат. При всем при этом все евклидовы (и псевдоевклидовы) и римановы пространства называют метрическими (я пишу без кавычек - то есть подчеркиваю, что речь идет не о специальном термине) в том смысле, что КАЖДОЕ из них обладает своим набором метрических свойств, и в каждом есть метрика.
Я думаю, на основе изложенного нельзя про какое-то из приведенных пространств сказать, что оно более реально и привычно, чем другое (особенно, учитывая указанные мною примеры "метрических пространств"). Единственное "привычное" пространство в этом списке - это 3-мерное вещественное собственно евклидово пространство, с которым имеет дело классическая ньютонова механика. Все остальные пространства обладают МЕНЬШИМ набором свойств (меньшим количеством ограничений), то есть являются БОЛЕЕ ШИРОКИМИ понятиями.

Цитата EVV: "Ваше высокопарное пренебрежение определениями из энциклопедии теперь выглядит еще смешнее"

Не знаю, что Вы увидели смешного: я показал, что специальные термины "метрика" и "метрическое пространство" присутствуют в любой книге по геометрии и топологии и относятся только к одному из направлений математики. При этом в математике есть термин метрика, понимаемый в другом смысле - тоже соверешенно строгом - и относящийся к скалярному произведению с другими свойствами.

Манерность - признак скорого конца...
Так в истории учили про загнивание великих цивилизаций...

Хартиков Сергей · « **Ответ #331 :** 30.11.2005 [22:48:46] »

Цитата Ущеко: "Манерность - ..."

О чем Вы?

ущеко · « **Ответ #332 :** 30.11.2005 [22:59:19] »

О чем я ?
Слишком сложно, слишком запутанно, слишком манерно - общая оценка...

Хартиков Сергей · « **Ответ #333 :** 01.12.2005 [00:01:32] »

Цитата Ущеко: "Слишком сложно, слишком запутанно, слишком манерно..."

А как надо? Проще, ближе к народу?

bob · « **Ответ #334 :** 02.12.2005 [12:54:22] »

Цитата: Ущеко от 30.11.2005 [22:59:19]

О чем я ?
Слишком сложно, слишком запутанно, слишком манерно - общая оценка...

Ближе к народу оно всегда хорошо, если оно конечно вообще. Ув. Ущеко, напоминаю Вам о правилах форума. Их букву Вы не нарушили, но к духу подобрались.

Старайтесь аргументировать свою точку зрения корректнее.

Karavashkin · « **Ответ #335 :** 04.12.2005 [17:38:06] »

Цитата: Хартиков Сергей от 28.11.2005 [18:59:07]

Цитата Сергей Борисович Каравашкин: "Так вот, тезка, если Ваши псевдоевклидовы пространства не являются метрическими, то и s не является метрикой ни в этом пространстве и ни в каком другом. А значит, не является интервалом, что и доказывается в нашей работе. Картина Репина - 'Приплыли'. Если же Вы станете утверждать, что s является метрикой в пространстве, которое метрикой не обладает, то Вы лишний раз тем самым подтвердите, что релятивисты беззастенчиво, со стеклянными глазами, с полной безответственностью по отношению к прошлым и будущим поколениям ученых, извращают математический формализм под свои мелкожульнические цели."

Уважаемый Сергей Борисович, понятие МЕТРИКА и понятие МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО - это разные понятия. Метрическое пространство - это пространство с метрикой СПЕЦИАЛЬНОГО вида, которому псевдоевклидовы пространства не удовлетворяют. Поэтому псевдоевклидовы пространства обладают метрикой, но метрическими не являются - и все это ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ, а не по моему желанию.

Цитата Сергей Борисович: "Особенно в системе отсчета, двигающейся со скоростью света"

СТО такие системы отсчета не рассматривает.

Цитата Сергей Борисович: "С учетом особенности того, что в Вашем псевдоевклидовом пространстве время течет постоянно, у Вас Ф(x,x) принципиально не может быть положительным."

Говорить так, это то же самое, что утверждать, что "координата x течет постоянно". Вы, видимо, имели в виду, что если рассматриваются события, относящиеся к одному и тому же телу, то Ф(x,x) всегда отрицательна? Это не секрет. Но интервал меряется не обязательно между такими событиями.

Цитата Сергей Борисович: "Я на этот вопрос даже отказался Вам отвечать, поскольку перед этим Вы опустили мой аргумент. Он состоял в том, что на 4-мерных векторах Вы не получите той формы релятивистской теоремы сложения скоростей, которая и обеспечивает некоторую цельность преобразования Лоренца."

С чего Вы взяли, что для "цельности преобразований Лоренца" требуется некий 4-мерный аналог теоремы сложения 4-скоростей?

Цитата Сергей Борисович: "А второй подход приводит к урезанным преобразованиям Эйнштейна, когда допускается равенство нулю дифференциала времени при измерениях, в то время как гипотеза Фицджеральда удовлетворяет преобразованиям, на основе которых была выдвинута, только в случае одновременного преобразования и пространственных, и временного параметров. Тем самым преобразования Эйнштейна никогда не были и никогда не будут ни частным случаем, ни даже похожими на преобразования Лоренца."

Тот факт, что Фицджеральд использовал некие преобразования определенным образом ни в коем случае не означает, что именно так и никак больше их нельзя использовать в СТО.

Цитата Сергей Борисович: "Из Вашего перечня следует, что в Вашем представлении псевдоевклидовых пространств в них не выполняется скалярное произведение. Так о каких векторах Вы говорите? А если оно выполняется, то оно тоже будет комплексным, только извращенно комплексным, в отличие от комплексных пространств"

Как это - "извращенно комплексным"?

С Вами все ясно, г-н Хартиков. Можете отдыхать.

По определению, 'Множество М называется метрическим пространством, если для каждой пары его точек х, у определено число r (x, y), называемое РАССТОЯНИЕМ между х и у и удовлетворяющее следующим условиям . . .' [Шилов, Мат. Анализ, т. 3, с. 35].

Все остальное, что Вы мне написали, можете рассказывать бабушкам на скамеечках. Они любят слушать . . . ;-)

Сергей

Хартиков Сергей · « **Ответ #336 :** 04.12.2005 [20:17:23] »

Цитата Сергей Борисович Каравашкин: "С Вами все ясно, г-н Хартиков. Можете отдыхать."

Раз Вы не читаете те сообщения, которые цитируете, мне, действительно, придется отдыхать: я именно об этом и писал.

bob · « **Ответ #337 :** 05.12.2005 [08:25:16] »

Цитата: Karavashkin от 04.12.2005 [17:38:06]

С Вами все ясно, г-н Хартиков. Можете отдыхать.

По определению, 'Множество М называется метрическим пространством, если для каждой пары его точек х, у определено число r (x, y), называемое РАССТОЯНИЕМ между х и у и удовлетворяющее следующим условиям . . .' [Шилов, Мат. Анализ, т. 3, с. 35].

Все остальное, что Вы мне написали, можете рассказывать бабушкам на скамеечках. Они любят слушать . . . ;-)

Сергей

Вот и поговорили....

tcaplin · « **Ответ #338 :** 06.12.2005 [12:16:15] »

Цитировать

Хе-хе! Добавлю, что и некорректный. Все, что физически неассоциативно, математически некорректно, уважаемый Цаплин. И даже в абстрактной математике. ;-)

Хе-хе, г. Каравашкин! Вы, как математик, например, ничтоже сумняшися, поворачиваете систему координат на некоторый угол, совершенно не беря в голову, что при физической ассоциации этого математически корректного действия большая часть математических точек этого пространства приобретает сверхсветовые скорости - то есть физически любой поворот системы координат неассоциативен. И таких примеров вашей математической самоуверенности можно привести массу.
Впрочем, практика изучения здешних дискуссий показывает, что более одной фразы в ответе приводить бессмысленно, особенно с такими оппонентами, как г. Каравашкин. Истина в последней инстанции ("Хе-хе") ему известна, поэтому вникать в невнятные бормотания оппонентов недосуг...

Karavashkin · « **Ответ #339 :** 10.12.2005 [16:05:56] »

Цитата: george telezhko от 29.11.2005 [00:06:45]

Цитата: Karavashkin от 28.11.2005 [18:12:55]
Цитата: george telezhko от 19.11.2005 [13:58:47]
Цитировать
Поэтому в комплексной плоскости (пространстве) скалярное произведение определяется принципиально иначе, чем записали его Вы.
'Если х = (х_1, х_2, . . .х_n), у = (у_1, у_2, . . .у_n), то
(х, у) = х_1 у*_1 + х_2 у*_2 + . . . + х_ n у*_ n ,
где у*_ n - комплексное число, сопряженное у_ n ' [Г.Е. Шилов, Математический анализ, т. 3, с. 150] .

Я не против того, чтобы определять скалярное произведение в действительном пространстве так, а в комплексном иначе - но тогда и получится другой формализм, не имеющий отношения к СТО.

А при чем здесь, против Вы или нет? Формализм таков, каков он есть, и свободы для фантазий здесь, как и для политических договоренностей, нет.

А причем тут договоренности - здесь не один формализм, а два разных, имеющих отношение к разным объектам. Есть алгебры, где 1*1 = 0, но это не значит, что так будет в арифметике.

Вы забываете, Георгий, что мы говорим о физических, а не об абстрактных пространствах. В физических пространствах не любая фантазия допустима. ;-) Вернее, вообще фантазии недопустимы. ;-)

Цитировать

Есть работающее определение скалярного произведения S(a_ib_i), и есть работающее скалярное произведение в виде произведения комплексного числа на комплексно сопряженное. Если Вы знаете, в рамках какого формализма Вы находитесь - Вы не ошибетесь.

Чтобы понять, что Вы сейчас сказали, запишите значение Вашего релятивистского интервала без квадрата и примените свойства комплексной единицы. ;-)

Цитировать

Цитировать

Цитировать

Если же скалярное произведение определить ЕДИНООБРАЗНО (без комплексного сопряжения) для любых векторов (и не сбиваться на вариации определений с комплексным сопряжением, данных для других задач), то получится непротиворечивое описание СТО.

Спасибо за математический по существу ответ.

Пожалуйста. Только все равно не стоит все равнять под одно определение. В комплексных числах и действительных переменных модуль определяется различно, и это свирепый факт, пренебрегая которым, Вы входите в противоречие между математическим формализмом и его физической ассоциативностью. Да и в самом математическом формализме не сможете свести концы с концами с требуемой строгостью. Поэтому если Вы в своем формализме используете понятие комплексной единицы, Вы автоматически входите в комплексные пространства. И не зря ув. Хартиков, столь бурно отвергая связь между гильбертовым пространством и релятивистским псевдоевклидовым, неустанно втискивает эти самые псевдоевклидовы пространства в комплексные, а значит фактически в гильбертовы.

Не делает он этого и Вас призывает не делать этого.

Делает, делает, уважаемый Георгий. Еще как делает, и не зря. Комплексная единица свои свойства сохраняет, а значит, сохраняется и формализм, ей присущий. Никуда не денешься. Можно исковеркать определение, но это не означает, что при этом теория сохранит самосогласованность. Копыта все равно вылезут. ;-)

Сергей

Цитировать

Входите в противоречие Вы, привлекая гильбертово пространство и его формализм, где о нем нет и речи.

Новости:

A A A A Автор Тема: К электродинамике движущихся тел (Прочитано 35719 раз)

ущеко

ущеко

bob

bob