Äîęóěĺíň âç˙ň čç ęýřŕ ďîčńęîâîé ěŕřčíű. Ŕäđĺń îđčăčíŕëüíîăî äîęóěĺíňŕ : http://www.astro.spbu.ru/staff/ilin2/INTAS/P3-SPB1/PUBL/TEXT/f-os.ps Äŕňŕ čçěĺíĺíč˙: Fri Nov 19 16:17:37 2010 Äŕňŕ číäĺęńčđîâŕíč˙: Tue Oct 2 05:54:48 2012 Ęîäčđîâęŕ: ISO8859-5 Ďîčńęîâűĺ ńëîâŕ: http astrokuban.info astrokuban

RASSE?NIE SVETA MNOGOSLO $
INYMI
NEKONFOKAL?NYMI
\LambdaLLIPSOIDAMI V R\LambdaLEEVSKOM PRIBLIjENII
c
fl 2000 g. V. G. Farafonov \Lambda
\Lambda Gosudarstvenny$i universitet affrokosmiqeskogo priborostroenič,
Sankt-Peterburg, Rossič
Postupila v redakciČ 10.07.2000 g.
Postroeno rffleevskoe pribliďenie rassečnič sveta mnogoslo$inymi nekon-
fokal~nymi soosnymi ffllipsoidami. V fftom sluqae vse ffllipsoidy, obra-
zuČwie mnogoslo$inuČ qasticu, imeČt odin i tot ďe centr, a napravlenič
ih glavnyh ose$i sovpadaČt. Predpolagaetsč, qto qastica nahoditsč v posto-
čnnom fflektriqeskom pole, i rassmatrivaetsč sistema uravneni$i Laplasa s
sotvetstvuČwimi graniqnymi uslovičmi. Poskol~ku fflliptiqeskie pover-
hnosti granic razdelov nekonfokal~ny, to sloi razbivaČtsč na mnoďestvo
podsloev, v kaďdom iz kotoryh vyraďenič dlč potencialov zapisyvaČtsč v
svoe$i ffllipsoidal~no$i sisteme koordinat. Na granice razdela podsloev is-
pol~zuČtsč pribliďennye uslovič sxivanič potencialov (ravenstvo samih
potencialov i ih normal~nyh proizvodnyh). Vyraďenič dlč polčrizuemos-
ti mnogoslo$ino$i qasticy predstavleny v matriqno$i forme (razmery matric
2 \Theta 2) qerez parametry čdra i posleduČwih sloev.
1. VVEDENIE
Rassečnie fflektromagnitnogo izluqenič odnorodnymi i dvuhslo$inymi ffl-
lipsoidami v rffleevskom pribliďenii podrobno rassmatrivalos~ v monogra-
fii [1]. Pri fftom dlč dvuhslo$inyh ffllipsoidov predpolagalos~, qto pover-
hnosti čdra i vse$i qasticy konfokal~ny t.e. čvlčČtsč koordinatnymi pover-
hnostčmi v odno$i ffllipcoidal~no$i sisteme koordinat. Nedavno [2], ffto re-
xenie bylo obobweno dlč mnogoslo$inyh konfokal~nyh ffllipsoidov. Otmetim,
qto ffti rezul~taty uďe byli ispol~zovany pri rassmotrenii konkretnyh zadaq
[3].
V danno$i rabote my otkazyvaemsč ot uslovič konfokal~nosti i ostavlčem
tol~ko predpoloďenie o tom, qto ffllipsoidy čvlčČtsč soosnymi, t.e. suwes-
tvuet edinač dekartovač sistema koordinat, v kotoro$i uravnenič granic sloev
qasticy zapisyvaČtsč v kanoniqesko$i forme. Predpolagaetsč, qto qastica
nahoditsč v postočnnom fflektriqeskom pole, i rassmatrivaetsč sistema urav-
neni$i Laplasa s sotvetstvuČwimi graniqnymi uslovičmi. V kaďdo$i oboloqke
imeČtsč dva predstavlenič dlč potenciala polč v razliqnyh ffllipsoidal~nyh
sistemah, sootvetstvuČwih vnutrenne$i i vnexne$i granicam sloč. Kaďdoe iz
1

ffti predstavleni$i zavisit ot dvuh neizvestnyh kofffficientov, kotorye sledu-
et opredelčt~ s pomow~Č uslovi$i sxivanič. Koordinatnye poverhnosti v ne-
konfokal~nyh ffllipsoidal~nyh sistemah ne sovpadaČt, pofftomu sloi razbiva-
Čtsč na mnoďestvo podsloev, v kaďdom iz kotoryh vyraďenič dlč potencialov
zapisyvaČtsč v svoe$i ffllipsoidal~no$i sisteme koordinat. V kaqestve uslovi$i
sxivanič ispol~zuČtsč pribliďennye ravenstva potencialov i ih normal~nyh
proizvodnyh na granicah podsloev. Posle gromozdkih preobrazovani$i vyraďe-
nie dlč polčrizuemosti qasticy udaetsč predstavit~ v čvnom vide v matriqno$i
forme (razmer matric 2 \Theta 2) qerez parametry čdra i posleduČwih sloev.
1. DVUHSLO $
INYE \LambdaLLIPSOIDAL?NYE QASTICY
Vvedem ffllipsoidal~nye koordinaty (Č 1 ; j 1 ; i 1 ) i (Č 2 ; j 2 ; i 2 ), kotorye svčzany
s dekartovymi (x; y; z) sleduČwim obrazom:
x 2
a 2
1 +Č 1
+ y 2
b 2
1 +Č 1
+ z 2
c 2
1 +Č 1
= 1; \Gammac 2
1 ! Č 1 ! 1;
x 2
a 2
1 +j 1
+ y 2
b 2
1 +j 1
+ z 2
c 2
1 +j 1
= 1; \Gammab 2
1 ! j 1 ! \Gammac 2
1 ;
x 2
a 2
1 +i 1
+ y 2
b 2
1 +i 1
+ z 2
c 2
1 +i 1
= 1; \Gammaa 2
1 ! i 1 ! \Gammab 2
1
(1)
i
x 2
a 2
2 +Č 2
+ y 2
b 2
2 +Č 2
+ z 2
c 2
2 +Č 2
= 1; \Gammac 2
2 ! Č 2 ! 1;
x 2
a 2
2 +j 2
+ y 2
b 2
2 +j 2
+ z 2
c 2
2 +j 2
= 1; \Gammab 2
2 ! j 2 ! \Gammac 2
2 ;
x 2
a 2
2 +i 2
+ y 2
b 2
2 +i 2
+ z 2
c 2
2 +i 2
= 1; \Gammaa 2
2 ! i 2 ! \Gammab 2
2 ;
(2)
gde a 1 ; b 1 ; c 1 i a 2 ; b 2 ; c 2 -poluosi čdra i vse$i qasticy. Dlč opredelennosti pred-
polagaetsč, qto a 1 ? b 1 ? c 1 ; a 2 ? b 2 ? c 2 , a takďe a 1 ! a 2 ; b 1 ! b 2 ; c 1 ! c 2 . V fftom
sluqae uravnenič poverhnosti čdra
Č 1 = 0 (3)
i poverhnosti qasticy
Č 2 = 0 (4)
zapisyvaČtsč v razliqnyh sistemah ffllipsoidal~nyh koordinat (sm. (1) - (2)).
Dekartovye koordinaty moďno vyrazit~ qerez ffllipsoidal~nye v vide [1]
x =
h
(a 2 +Č)(a 2 +j)(a 2 +i)
(a 2 \Gammac 2 )(a 2 \Gammab 2 )
i 1=2
;
y =
h
(b 2 +Č)(b 2 +j)(b 2 +i)
(b 2 \Gammaa 2 )(b 2 \Gammac 2 )
i 1=2
;
z =
h
(c 2 +Č)(c 2 +j)(c 2 +i)
(c 2 \Gammab 2 )(c 2 \Gammaa 2 )
i 1=2
:
(5)
2

Privedennye vyxe formuly spravedlivy dlč ffllipsoidal~nyh koordinat (1)
- (2), a takďe dlč lČbyh drugih ffllipsoidal~nyh koordinat, ispol~zuemyh
niďe.
Razmery qasticy maly po sravneniČ s dlino$i volny izluqenič, pofftomu v
pribliďenii Rffleč moďno sqitat~, qto ona nahoditsč v odnorodnom fflektri-
qeskom pole. Togda skalčrnye potencialy udovletvorčČt uravneniČ Laplasa
r 2 \Phi = 0: (6)
?vnye vyraďenič dvuh line$ino nezavisimyh rexeni$i fftogo uravnenič, kotorye
nam potrebuČtsč niďe, privedeny v rabotah [1,2].
Budem sqitat~, qto odnorodnoe fflektrostatiqeskoe pole napravleno vdol~
osi z. Uqityvač povedenie pole$i - koneqnost~ v naqale koordinat polč v čdre
qasticy i ravenstvo nulČ na beskoneqnosti rassečnnogo polč, - potencialy
moďno predstavit~ sleduČwim obrazom [1,2]:
potencial vnexnego polč
\Phi 0 = \GammaE 0 z = \GammaE 0
''
(c 2
1 + Č 1 )(c 2
1 + j 1 )(c 2
1 + i 1 )
(a 2
1 \Gamma c 2
1 )(b 2
1 \Gamma c 2
1 )
# 1=2
; (7)
potencial vnutri čdra
\Phi 1 = C 1
n
(c 2
1 + Č 1 )(c 2
1 + j 1 )(c 2
1 + i 1 )
o 1=2
; \Gammac 2
1 ! Č ? 0; (8)
potencial vnutri oboloqki qasticy
\Phi 1
2 = [C 1
2 +D 1
2 G(a 1 ; b 1 ; c 1 ; Č 1 )] f(c 2
1 + Č 1 )(c 2
1 + j 1 )(c 2
1 + i 1 )g 1=2
;
\Phi 2
2 = [C 2
2 +D 2
2 G(a 2 ; b 2 ; c 2 ; Č 2 )] f(c 2
2 + Č 2 )(c 2
2 + j 2 )(c 2
2 + i 2 )g 1=2
;
(9)
potencial rassečnnogo polč (vne qasticy)
\Phi 3 = D 3 G(a 2 ; b 2 ; c 2 ; Č 2 )
n
(c 2
2 + Č 2 )(c 2
2 + j 2 )(c 2
2 + i 2 )
o 1=2
; 0 ? Č ! 1; (10)
gde C k
i ; D k
i - neizvestnye postočnnye,
G(a k ; b k ; c k ; Č) =
Z 1
Č
dq
(c 2
k + q)f(a k ; b k ; c k ; q)
; (11)
pri fftom f(a k ; b k ; c k ; q) = f(a 2
k + q)(b 2
k + q)(c 2
k + q)g 1=2 . Otmetim, qto (c 2 + Č)G(Č) ! 0
pri Č !1, t.e. vypolnčetsč uslovie izluqenič na beskoneqnosti dlč potenci-
ala rassečnnogo izluqenič.
Graniqnye uslovič dlč potencialov (nepreryvnost~ na granice tangenci-
al~nyh komponentov naprčďennoste$i fflektriqeskih pole$i i normal~nyh kompo-
nentov vektorov fflektriqesko$i indukcii) moďno zapisat~ sleduČwim obrazom:
\Phi 1 = \Phi 1
2 ; Č 1 = 0;
'' 1 @ \Phi 1 =@Č 1 = '' 2 @ \Phi 1
2 =@Č 1 ; Č 1 = 0;
\Phi 2
2 = \Phi 3 + \Phi 0 ; Č 2 = 0;
'' 2 @ \Phi 2
2 =@Č 2 = '' 3 [@ \Phi 3 =@Č 2 + @ \Phi 0 =@Č 2 ] ; Č 2 = 0;
(12)
3

gde '' 1 ; '' 2 - difflektriqeskač pronicaemost~ čdra i oboloqki, '' 3 - difflektriqes-
kač pronicaemost~ sredy vne qasticy.
Principial~nym momentom v predlagaemom rexenii rassmatrivaemo$i za-
daqi čvlčetsč ispol~zovanie dvuh predstavleni$i potenciala vnutri oboloqki
qasticy. Pervoe predstavlenie \Phi 1
2 v fflliptiqesko$i sisteme (1) neobhodimo
dlč naibolee prostogo opisanič uslovi$i na granice ''čdro - oboloqka'', vtoroe
predstavlenie \Phi 2
2 v sisteme koordinat (2) - na granice ''qastica - vnexnčč sre-
da''. Odnako, dlč opredelenič vseh neizvestnyh kofffficientov v vyraďeničh
(8) - (10) neobhodimo v dopolnenie k graniqnym uslovičm (12) ukazat~ uslovič
sxivanič dlč potencialov \Phi 1
2
i \Phi 2
2
. Neposredstvenno ffto sdelat~ ne udaetsč,
pofftomu razob?em oboloqku na 2n sloev i zapixem pribliďennye uslovič sxi-
vanič na granicah fftih sloev. Vvedem oboznaqenič
a 2
1;i = a 2
1 + i\Gamma1
2n
\Deltaa 2 ; a 2
2;i = a 2
2 \Gamma i\Gamma1
2n
\Deltaa 2 ;
b 2
1;i = b 2
1 + i\Gamma1
2n
\Deltab 2 ; b 2
2;i = b 2
2 \Gamma i\Gamma1
2n
\Deltab 2 ;
c 2
1;i = c 2
1 + i\Gamma1
2n
\Deltac 2 ; c 2
2;i = c 2
2 + i\Gamma1
2n
\Deltac 2 ;
(13)
gde i = 1; 2; :::; (n + 1); \Deltaa 2 = a 2
2 \Gamma a 2
1 ; \Deltab 2 = b 2
2 \Gamma b 2
1 ; \Deltac 2 = c 2
2 \Gamma c 2
1 . Otmetim,
qto a 1;1 = a 1 ; b 1;1 = b 1 ; c 1;1 = c 1 i a 2;1 = a 2 ; b 2;1 = b 2 ; c 2;1 = c 2 , a takďe a 1;n+1 =
a 2;n+1 ; b 1;n+1 = b 2;n+1 ; c 1;n+1 = c 2;n+1 .
Potencialy v sločh oboloqki predstavim v vide
\Phi 1;i
2 =
h
C 1;i
2 +D 1;i
2 G(a 1;i ; b 1;i ; c 1;i ; Č 1;i )
i n
(c 2
1;i + Č 1;i )(c 2
1;i + j 1;i )(c 2
1;i + i 1;i )
o 1=2
;
\Phi 2;i
2 =
h
C 2;i
2 +D 2;i
2 G(a 2;i ; b 2;i ; c 2;i ; Č 2;i )
i n
(c 2
2;i + Č 2;i )(c 2
2;i + j 2;i )(c 2
2;i + i 2;i )
o 1=2
;
(14)
gde i = 1; 2; :::; n. V kaďdom sloe vvedena svoč ffllipsoidal~nač sistema koordi-
nat (Č 1;i ; j 1;i ; i 1;i ) ili (Č 2;i ; j 2;i ; i 2;i ), kotorač opredelčetsč poluosčmi a 1;i ; b 1;i ; c 1;i ; v
pervyh n sločh i poluosčmi a 2;i ; b 2;i ; c 2;i ; - v posleduČwih n sločh sootvetstvenno.
Otmetim, qto spravedlivy sootnoxenič \Phi 1;1
2 = \Phi 1
2 ; \Phi 2;1
2 = \Phi 2
2 ; t.e. koffffici-
enty S 1;1
2 = C 1
2 ; D 1;1
2 = D 1
2 ; S 2;1
2 = C 2
2 ; D 2;1
2 = D 2
2
, pri fftom v pervom i poslednem
sločh ffllipsoidal~nye sistemy (Č 1;1 ; j 1;1 ; i 1;1 ) i (Č 2;1 ; j 2;1 ; i 2;1 ) sovpadaČt s siste-
mami (1) i (2). Uslovič sxivanič - pribliďennye ravenstva potencialov i ih
normal~nyh proizvodnyh na granicah sloev - zapisyvaem sleduČwim obrazom:
\Phi 1;i+1
2 = \Phi 1;i
2 ;
@ \Phi 1;i+1
2 =@Č 1;i+1 = @ \Phi 1;i
2 =@Č 1;i ;
(15)
gde Č 1;i = \Deltac 2 ; Č 1;i+1 = 0; i = 1; :::; (n \Gamma 1) ,
\Phi 2;n
2 = \Phi 1;n
2 ;
@ \Phi 2;n
2 =@Č 2;n = @ \Phi 1;n
2 =@Č 1;n ;
(16)
gde Č 1;n = \Deltac 2 ; Č 2;n = \Gamma\Deltac 2 ,
\Phi 2;i
2 = \Phi 2;i+1
2 ;
@ \Phi 2;i
2 =@Č 2;i = @ \Phi 2;i+1
2 =@Č 2;i+1 ;
(17)
4

gde Č 2;i = \Gamma\Deltac 2 ; Č 2;i+1 = 0; i = 1; :::; (n \Gamma 1).
Podstavim vyraďenič (7) - (10),(14) v graniqnye uslovič (12) i uslovič
sxivanič (15) - (17). Uqityvač vyraďenie (5) dlč koordinaty z i sootnoxe-
nič (11), poluqim (sm. takďe [1,2])
C 1 = C 1
2 +D 1
2
i
2
a 1 b 1 c 1
j
L (1)
z ;
'' 1 C 1 = '' 2
h
C 1
2 +D 1
2
i
2
a 1 b 1 c 1
j
(L (1)
z \Gamma 1)
i
;
h
C 1;i+1
2 +D 1;i+1
2
i
2
a 1;i+1 b 1;i+1 c 1;i+1
j
L (1;i+1)
z
i h
(a 2
1;i+1 \Gamma c 2
1;i+1 )(b 2
1;i+1 \Gamma c 2
1;i+1 )
i 1=2
=
?
C 1;i
2 +D 1;i
2
`
2
~
a 1;i+1 ~ b 1;i+1 ~ c 1;i+1
'
~
L (1;i+1)
z
? h
(a 2
1;i \Gamma c 2
1;i )(b 2
1;i \Gamma c 2
1;i )
i 1=2
;
h
C 1;i+1
2 +D 1;i+1
2
i
2
a 1;i+1 b 1;i+1 c 1;i+1
j
(L (1;i+1)
z \Gamma 1)
i h
(a 2
1;i+1 \Gamma c 2
1;i+1 )(b 2
1;i+1 \Gamma c 2
1;i+1 )
i 1=2
=
?
C 1;i
2 +D 1;i
2
`
2
~
a 1;i+1 ~ b 1;i+1 ~ c 1;i+1
'
( ~
L (1;i+1)
z \Gamma 1)
? h
(a 2
1;i \Gamma c 2
1;i )(b 2
1;i \Gamma c 2
1;i )
i 1=2
;
?
C 2;n
2 +D 2;n
2
`
2
~ a 2;n+1 ~ b 2;n+1 ~
c 2;n+1
'
~
L (2;n+1)
z
? h
(a 2
2;n \Gamma c 2
2;n )(b 2
2;n \Gamma c 2
2;n )
i 1=2
=
?
C 1;n
2 +D 1;n
2
`
2
~ a 1;n+1 ~ b 1;n+1 ~
c 1;n+1
'
~
L (1;n+1)
z
? h
(a 2
1;n \Gamma c 2
1;n )(b 2
1;n \Gamma c 2
1;n )
i 1=2
;
?
C 2;n
2 +D 2;n
2
`
2
~ a 2;n+1 ~ b 2;n+1 ~
c 2;n+1
'
( ~
L (2;n+1)
z \Gamma 1)
? h
(a 2
2;n \Gamma c 2
2;n )(b 2
2;n \Gamma c 2
2;n )
i 1=2
=
?
C 1;n
2 +D 1;n
2
`
2
~ a 1;n+1 ~ b 1;n+1 ~
c 1;n+1
'
( ~
L (1;n+1)
z \Gamma 1)
? h
(a 2
1;n \Gamma c 2
1;n )(b 2
1;n \Gamma c 2
1;n )
i 1=2
;
?
C 2;i
2 +D 2;i
2
`
2
~
a 2;i+1 ~ b 2;i+1 ~ c 2;i+1
'
~
L (2;i+1)
z
? h
(a 2
2;i
\Gamma c 2
2;i )(b 2
2;i
\Gamma c 2
2;i )
i 1=2
=
h
C 2;i+1
2 +D 2;i+1
2
i
2
a 2;i+1 b 2;i+1 c 2;i+1
j
L (2;i+1)
z
i h
(a 2
2;i+1 \Gamma c 2
2;i+1 )(b 2
2;i+1 \Gamma c 2
2;i+1 )
i 1=2
;
?
C 2;i
2 +D 2;i
2
`
2
~
a 2;i+1 ~ b 2;i+1 ~ c 2;i+1
'
( ~
L (2;i+1)
z \Gamma 1)
? h
(a 2
2;i \Gamma c 2
2;i )(b 2
2;i \Gamma c 2
2;i )
i 1=2
=
h
C 2;i+1
2 +D 2;i+1
2
i
2
a 2;i+1 b 2;i+1 c 2;i+1
j
(L (2;i+1)
z \Gamma 1)
i h
(a 2
2;i+1 \Gamma c 2
2;i+1 )(b 2
2;i+1 \Gamma c 2
2;i+1 )
i 1=2
;
C 2
2 +D 2
2
i
2
a 2 b 2 c 2
j
L (2)
z = \GammaE 0
[(a 2
2 \Gammac 2
2 )(b 2
2 \Gammac 2
2 )] 1=2 +D 3
i
2
a 2 b 2 c 2
j
L (2)
z ;
'' 2
h
C 2
2 +D 2
2
i
2
a 2 b 2 c 2
j
(L (2)
z \Gamma 1)
i
=
'' 3
?
\GammaE 0
[(a 2
2 \Gammac 2
2 )(b 2
2 \Gammac 2
2 )] 1=2 +D 3
i
2
a 2 b 2 c 2
j
(L (2)
z \Gamma 1)
?
;
(18)
gde i = 1; :::; (n \Gamma 1) i vvedeny dopolnitel~nye oboznaqenič
~ a 2
1;i+1 = a 2
1;i + \Deltac 2 ; ~a 2
2;i+1 = a 2
2;i \Gamma \Deltac 2 ;
~ b 2
1;i+1 = b 2
1;i + \Deltac 2 ; ~ b 2
2;i+1 = b 2
2;i \Gamma \Deltac 2 ;
~ c 2
1;i+1 = c 2
1;i + \Deltac 2 ; ~ c 2
2;i+1 = c 2
2;i \Gamma \Deltac 2 ;
(19)
5

pri fftom geometriqeskie faktory vyqislčČtsč po formulam
L (1;i)
z = a 1;i b 1;i c 1;i
2 G(a 1;i ; b 1;i ; c 1;i ; 0);
~
L (1;i)
z = ~ a 1;i ~ b 1;i ~ c 1;i
2 G(~a 1;i ; ~ b 1;i ; ~
c 1;i ; 0):
(20)
Snaqala iz uslovi$i sxivanič nahodim svčz~ meďdu kofffficientami poten-
cialov \Phi 2
2 i \Phi 1
2 (otmetim, qto S 1;1
2 = C 1
2 ; D 1;1
2 = D 1
2 ; S 2;1
2 = C 2
2 ; D 2;1
2 = D 2
2 ):
/
C 2
2
D 2
2
!
=\Omega \Delta
/
C 1
2
D 1
2
!
; (21)
gde
\Omega =
[(a 2
1 \Gamma c 2
1 )(b 2
1 \Gamma c 2
1 )] 1=2
[(a 2
2 \Gamma c 2
2 )(b 2
2 \Gamma c 2
2 )] 1=2
\Delta \Lambda 2;n \Delta
/
1 ~
ffi \Gamma1
1;n ( ~
L (1;n)
z \Gamma ~
L (2;n)
z )
0 ~
ffi \Gamma1
1;n
~ ffi 2;n
!
\Delta \Lambda 1;n ; (22)
\Lambda 1;n =
/
1
P n
i=2
i
\Pi i\Gamma1
j=3
~ ffi \Gamma1
1;j ffi 1;j
j
~ ffi \Gamma1
1;i ( ~
L (1;i)
z \Gamma L (1;i)
z )
0 \Pi n
i=2
~
ffi \Gamma1
1;i ffi 1;i
!
; (23)
\Lambda 2;n =
/
1
P n
i=2
i
\Pi n\Gamma1
j=i+1
~
ffi 2;j ffi \Gamma1
2;j
j
ffi \Gamma1
2;i (L (2;i)
z \Gamma ~
L (2;i)
z )
0 \Pi n
i=2
~
ffi 2;i ffi \Gamma1
2;i
!
: (24)
V privedennyh vyxe formulah vvedeny otnoxenič ob?mov razliqnyh ffllipso-
idov:
~ ffi 1;j = ~a 1;j ~ b 1;j ~ c 1;j
a 2 b 2 c 2
; ~ ffi 2;j = ~ a 2;j ~ b 2;j ~ c 2;j
a 2 b 2 c 2
;
ffi 1;j = a 1;j b 1;j c 1;j
a 2 b 2 c 2
; ffi 2;j = a 2;j b 2;j c 2;j
a 2 b 2 c 2
:
(25)
Teper~ iz dvuh pervyh i dvuh poslednih uravneni$i s uqetom sootnoxenič
(21) opredelčem kofffficient dlč potenciala rassečnnogo izluqenič
D 3 =
a 2 b 2 c 2
2
E 0
[(a 2
2 \Gamma c 2
2 )(b 2
2 \Gamma c 2
2 )] 1=2
A 2 \Gamma A 1
(A 2 \Gamma A 1 )L (2)
z +A 1
; (26)
gde /
A 1
A 2
!
=
/
1 L (2)
z
ffl 2 ffl 2 (L (2)
z \Gamma 1)
!
\Delta\Omega \Delta
/
(ffl 1 \Gamma 1)L (1)
z + 1
\Gamma(ffl 1 \Gamma 1)ffi 1
!
; (27)
gde ffl j = '' j ='' j+1 -- otnositel~nye difflektriqeskie pronicaemosti, ffi 1 = (a 1 b 1 c 1 )=(a 2 b 2 c 2 )
-- otnoxenie ob?ema čdra k ob?emu qasticy.
Uslovie konfokal~nosti imeet vid [1,2]
a 2
2 = a 2
1 + t; b 2
2 = b 2
1 + t; c 2
2 = c 2
1 + t: (28)
V fftom sluqae vnutrennie i vnexnie poverhnosti sloev oboloqki čvlčČtsč ko-
ordinatnymi v odno$i ffllipsoidal~no$i sisteme, pofftomu vypolnčČtsč ravens-
tva
~
a 2
j;i = a 2
j;i ; ~ b 2
j;i = b 2
j;i ; ~
c 2
j;i = c 2
j;i ;
~
L (j;i) = L (j;i) ; ~
ffi j;i = ffi j;i ;
(29)
6

gde j = 1; :::; n. Matrica, poluqennač iz uslovi$i sxivanič, stanovitsč edi-
niqno$i\Omega = I, t.e. poluqennye vyxe formuly dlč dvuhslo$inyh konfokal~nyh
ffllipsoidal~nyh qastic sovpadaČt s izvestnymi rezul~tatami [1,2].
Po potencialu rassečnnogo polč nahodim polčrizuemost~ dvuhslo$ino$i ffl-
lipsoidal~no$i qasticy
ff z =
4ďa 2 b 2 c 2
3
A 2 \Gamma A 1
(A 2 \Gamma A 1 )L 2
z +A 1
: (30)
Po drugim osčm polčrizuemost~ nahoditsč analogiqno.
2. MNOGOSLO $
INYE \LambdaLLIPSOIDAL?NYE QASTICY
Rassmotrim m\Gammaslo$inuČ nekonfokal~nuČ soosnuČ ffllipsoidal~nuČ qasti-
cu. V obwem sluqae potencial v l-$i oboloqke tako$i qasticy moďno predstavit~
sleduČwim obrazom:
\Phi 1
l = [C 1
l +D 1
l G(a l\Gamma1 ; b l\Gamma1 ; c l\Gamma1 ; Č l\Gamma1 )] \Delta
n
(c 2
l\Gamma1 + Č l\Gamma1 )(c 2
l\Gamma1 + j l\Gamma1 )(c 2
l\Gamma1 + i l\Gamma1 )
o 1=2
;
\Phi 2
l = [C 2
l +D 2
l G(a l ; b l ; c l ; Č l )] f(c 2
l + Č l )(c 2
l + j l )(c 2
l + i l )g 1=2
;
(31)
gde l = 2; :::; m; a l\Gamma1 ; b l\Gamma1 ; c l\Gamma1 i a l ; b l ; c l - poluosi ffllipsoidov, obrazuČwih l-$i
slo$i, (Č l\Gamma1 ; j l\Gamma1 ; i l\Gamma1 ) i (Č l ; j l ; i l ) - sootvetstvuČwie ffllipsoidal~nye koordina-
ty, C 1
l ; D 1
l i C 2
l ; D 2
l neizvestnye kofffficienty. Vyraďenič dlč potencialov v
čdre i v srede vne qasticy dany v formulah (8) i (10).
KaďduČ nekonfokal~nuČ oboloqku razbivaem na sovokupnost~ tonkih pod-
sloev. Proceduru sxivanič provodim takim obrazom, kak ffto bylo sdelano v
predyduwem paragrafe dlč dvuhslo$ino$i qasticy.
Na osnovanii poluqennyh v predyduwem paragrafe i v stat~e [2] rezul~ta-
tov graniqnye uslovič i uslovič sxivanič moďno zapisat~ v matriqno$i forme:
/
C 1
2
D 1
2
!
=
/
(ffl 1 \Gamma 1)L (1)
z + 1
\Gamma(ffl 1 \Gamma 1)ffi 1
!
\Delta C 1 ; (32)
/
C 2
l
D 2
l
!
=\Omega l\Gamma1 \Delta
/
C 1
l
D 1
l
!
; (33)
/
C 1
l+1
D 1
l+1
!
= \Gamma l \Delta
/
C 2
l
D 2
l
!
; (34)
/
1 L (m)
z
ffl m ffl m (L (m)
z \Gamma 1)
!
\Delta
/
C 2
m
D 2
m
!
=
/ \GammaE 0 ambmcm
2[(a 2
m \Gammac 2
m )(b 2
m \Gammac 2
m )] 1=2
\GammaE 0 ambmcm
2[(a 2 m \Gammac 2 m )(b 2 m \Gammac 2 m )] 1=2
!
+
/
L (m)
z
L (m)
z \Gamma 1
!
\Delta Dm+1 ; (35)
pri fftom
matricy\Omega l , svčzannye s uslovičmi sxivanič, opredelčČtsč po for-
mulam (22)-(24), a matricy \Gamma l imeČt vid
\Gamma l =
/ (ffl l \Gamma 1)L (l)
z + 1 ffl l \Gamma1
ffi l
L (l)
z (L (l)
z \Gamma 1)
\Gamma(ffl l \Gamma 1)ffi l \Gamma (ffl l \Gamma 1)(L (l)
z \Gamma 1) + 1
!
; (36)
7

gde l = 2; :::; m \Gamma 1, ffl j = '' j ='' j+1 - otnositel~nye difflektriqeskie pronicaemosti,
ffi j = (a j b j c j )=(a m b m c m ) -- otnoxenie ob?ema j-go ffllipsoida k ob?emu qasticy
(j = 1; :::; m).
Okonqatel~no, esli vvesti kofffficienty A 1 i A 2 v sootvetstvii s formulo$i
/
A 1
A 2
!
=
/
1 L (m)
z
ffl m ffl m (L (m)
z \Gamma 1)
!
\Delta \Psi \Delta
/
(ffl 1 \Gamma 1)L (1)
z + 1
\Gamma(ffl 1 \Gamma 1)ffi 1
!
(37)
gde matrica \Psi predstavlčetsč v vide proizvedenič dvumernyh kvadratnyh mat-
ric
\Psi = \Pi m\Gamma1
l=2(\Omega l \Gamma l )
\Delta\Omega 1 ; (38)
to kofffficient dlč potenciala rassečnnogo izluqenič vyqislčetsč po formu-
le, analogiqno$i vyraďeniČ (26):
Dm+1 = am b m c m
2
E 0
[(a 2
m \Gamma c 2
m )(b 2
m \Gamma c 2
m )] 1=2
A 2 \Gamma A 1
(A 2 \Gamma A 1 )L (m)
z +A 1
: (39)
Po potencialu rassečnnogo polč nahodim polčrizuemost~ mnogoslo$ino$i ne-
konfokal~no$i soosno$i ffllipsoidal~no$i qasticy v pole, parallel~nom osi z:
ff z = 4ďam b m c m
3
A 2 \Gamma A 1
(A 2 \Gamma A 1 )L (m)
z +A 1
: (40)
Po drugim osčm polčrizuemost~ nahoditsč analogiqno, nuďno lix~ zamenit~
geometriqeskie faktory L (l)
z na L (l)
x i L (l)
y sootvetstvenno.
Vyraďenič dlč seqeni$i rassečnič C sca i poglowenič C abs , a takďe drugie ha-
rakteristiki rassečnnogo izluqenič legko opredelčČtsč v pribliďenii Rffleč
po polčrizuemosti qasticy [1].
Dlč malyh fflipsoidov moďno postroit~ kvazistatiqeskoe pribliďenie, kog-
da pole vnutri odnorodno$i qasticy zamenčetsč padaČwim polem s uqetom ee
polčrizuemosti (obobwenie pribliďeni$i Rffleč i Rffleč-Gansa). Podrobno
ffta approksimacič rassmatrivalas~ dlč sferoidov (ffllipsoidov vrawenič)[4].
Dlč sil~no vytčnutyh i sil~no splČsnutyh qastic ona daet glavny$i qlen
asimptotiki otnositel~no parametra, ravnogo otnoxeniČ malogo razmera ras-
seivatelč k bol~xemu [5]. Nedavno [6] byli opublikovany rezul~taty dosta-
toqno obxirnyh issledovani$i oblasti primenimosti kvazistatiqeskogo prib-
liďenič dlč odnorodnyh sferoidov v zavisimosti ot geometriqeskih paramet-
rov (razmera, stepeni asferiqnosti) i pokazatelč prelomlenič qasticy. V
sluqae mnogoslo$inyh qastic analog podobno$i approksimacii poluqaetsč, es-
li v vyraďeničh dlč amplitudno$i matricy rassečnič v pribliďenii Rffleč
formal~no vvesti mnoďitel~ ravny$i form-faktoru v pribliďenii Gansa-Rff-
leč. Po mneniČ avtora, analiz prigodnosti takogo pribliďennogo rexenič
zadaqi rassečnič sveta malymi neodnorodnymi ffllipsoidal~nymi qasticami
predstavlčet bol~xo$i interes.
Dannač rabota vypolnena pri finansovo$i podderďke Goskomvuza Rossii
(grant N 97-0-13.3-30).
8

SPISOK LITERATURY
1 . Boren K., Khafmen D. Rasseyanie i pogloshchenie sveta malymi chastitsami. M., Mir,
1986.
2 . Farafonov V.G. // Opt. i spektr. 2000. T.88. N3. S.492.
3 . Voshchinnikov N.V., Mathis J.S. // Astrophys. J. 1999. V.526. P.257.
4 . Farafonov V.G. // Opt. i spektr. 1994. T.77. N3. S.455.
5 . Farafonov V.G. // Opt. i spektr. 1990. T.69. V.4. S.866.
6 . Voshchinnikov N.V., Farafonov V.G. // Opt. i spektr. 2000. T.88. N1. C.78.
9