В результате изучения данного курса студент должен получить основные навыки программирования, изучить наиболее распространенные методы приближенных вычислений и ознакомиться с несколькими прикладными программными комплексами. Здесь не ставится задача дать фундаментальную подготовку в области профессионального программирования, хотя для некоторых специализаций это может быть оправдано. В большинстве случаев для решения задач обработки эксперимента и математического моделирования процессов уже существуют готовые программные комплексы. Однако, студенты должны иметь ясное представление об основных методах приближенных вычислений и границах их применимости. Это позволит, во-первых, выбирать подходящую для решения конкретной задачи программу, а во-вторых, правильно интерпретировать получаемые результаты.

Теоретические основы курса студенты осваивают в рамках других дисциплин - математического анализа и информационных технологий. Поэтому основной формой проведения занятий должно быть выполнение студентами практических заданий на компьютере. Оптимальным представляется выполнение ими ряда задач, начиная от самостоятельного составления реализующих простейшие численные методы программ, через применение стандартных библиотек процедур (типа NAG или IMSL) в более сложных случаях, и заканчивая использования готовых прикладных 15 программ. Однако, данная учебная программа не определяет применяемую программно-аппаратную платформу, оставляя выбор за учебным заведением. В качестве варианта платформы можно порекомендовать использование персональных компьютеров, операционной системы семейства Microsoft Windows или семейства UNIX и соответствующую систему программирования на языке Pascal.

Следует отметить многовариантность программы. Состав изучаемых численных методов и прикладных программ зависит от математической подготовки студентов и количества часов в учебном плане. Например, можно реализовать этот курс во втором семестре сразу после курса "Информационные технологии", оставив при этом лишь те численные методы, для которых не требуется серьезной подготовки по математическому анализу. Другим вариантом может быть перемещение курса на 5 - 7-й семестры, когда у студентов уже будет прочная база в области математики, физики и химии.

Следует особо подчеркнуть, что перечисленные в конце учебной программы продукты приведены лишь в качестве примера. Этот список можно изменять в зависимости от их доступности и практической значимости. Более того, часть предлагаемого учебного материала целесообразно включить в состав программ химических дисциплин: физической химии, аналитической химии и других.

Алгоритм. Языки низкого и высокого уровня. Интерпретация и трансляция текста программы. Разница между исходным текстом и исполняемым модулем.

Практикум программирования на процедурном языке (Pascal, FORTRAN, С или BASIC). Типы величин. Константы и переменные. Массивы переменных. Арифметические выражения. Порядок выполнения арифметических операций. Использование стандартных математических функций.

Структура программы: раздел описания и раздел операторов. Логические выражения. Использование операций отношения и логических операций and, or, not.

Операторы: присвоения значения переменной, ввода и вывода значений, организации циклов и разветвлений.

Процедуры и функции, их организация и использование в программах. Формальные и фактические параметры. Параметры-значения и параметры-переменные. Локальные и глобальные переменные.

Организация взаимодействия программы с внешними файлами данных. Стандартные файлы ввода и вывода информации.

Математическая модель. Эмпирические, феноменологические и детальные модели. Параметры модели. Прямая и обратная задачи. Особенности численного (компьютерного) моделирования.

Виды и цели математического моделирования. Моделирование как способ проверки гипотез. Обработка данных эксперимента как решение обратной задачи математического моделирования. Имитационное моделирование (вычислительный эксперимент).

Особенности выполнения вычислений на ЭВМ. Диапазон и точность представления чисел. Машинный нуль. Ошибки округления. Абсолютная и относительная погрешности результатов основных арифметических операций. Потеря точности при операциях сложения и вычитания. Накопление ошибок. Устойчивость вычислительных алгоритмов.

Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса с выбором главного (ведущего) элемента по столбцу и вычисление обратной матрицы. Условие устойчивости вычислений.

Вычисление собственных значений и собственных векторов симметричной матрицы с помощью преобразований подобия. Метод Якоби. Преобразования Хаусхолдера и QL-алгоритм. Решение частичной проблемы собственных значений. Нахождение собственного вектора методом обратной итерации.

Решение нелинейного алгебраического уравнения методом деления отрезка пополам. Условия применимости метода и скорость сходимости к решению.

Решение нелинейного алгебраического уравнения методом Ньютона. Условия применимости и сходимости. Скорость сходимости. Обобщение метода Ньютона на случай системы нелинейных уравнений.

Поиск минимума функции одной переменной. Методы золотого сечения и квадратичной интерполяции. Минимизация функции нескольких переменных: метод прямого поиска Хука - Дживса, метод скорейшего спуска, метод Ньютона. Общее представление о методах сопряженных направлений и переменной метрики. Частный случай минимизации суммы квадратов: метод Гаусса - Ньютона.

Обработка данных методом наименьших квадратов (МНК). Линейный МНК. Статистические характеристики оценок параметров модели. Нелинейный МНК.

Интерполяция таблично заданной функции. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Факторы, определяющие точность интерполяции. Понятие сходимости интерполяционного процесса. Сплайны и их свойства. Построение кубического интерполяционного сплайна.

Приближенное вычисление определенных интегралов. Общая структура интерполяционной квадратурной формулы, способы выбора узлов и определение весов. Порядок точности. Формулы Ньютона - Котеса и Гаусса; их частные случаи: формулы прямоугольников, трапеций. Симпсона. Оценка погрешности результата. Алгоритм интегрирования с заданной степенью точности. Сплайн-квадратура, ее свойства, интегрирование таблично заданной функции.

Численное дифференцирование. Суммарная погрешность и ее составляющие: ошибка дискретизации (усечения) и ошибка округления. Порядок точности. Способы уменьшения погрешности дифференцирования.

Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ): решение задачи Коши. Локальная и глобальная ошибки. Понятие устойчивости решения. Явные и неявные схемы интегрирования (на примере метода Эйлера); их устойчивость. "Жесткие" уравнения. Количественный критерий жесткости. Общее представление о принципах построения методов для интегрирования жестких систем ОДУ.

Реализация принципов программирования и численных методов в прикладных программных комплексах. Неэмпирические и эмпирические методы расчета строения молекул (GAMESS, МОРАС). Моделирование кинетики химических реакций (KINET). Расчет равновесного состава по термодинамическим свойствам веществ (ИВТАНТЕРМО, СНЕТ).

Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. М.: Наука, 1989.

Банди Б. Методы оптимизации: Вводный курс. М.: Радио и связь, 1988.

Джонсон К. Численные методы в химии. М.: Мир, 1983.

Кларк Т. Компьютерная химия. М.: Мир, 1990.

А.В. Абраменков, доц.;
А.А. Кубасов, доц.;
B.C. Люцарев, доц.
(Московский государственный университет)