(11)  Grafici ed Ellissi

Le leggi del moto orbitale sono leggi matematiche e non si possono analizzare senza una qualche nozione di matematica. La matematica che verrà usata qui è piuttosto elementare; se avete bisogno di rinfrescarla un po', potete fare clic qui. Altrimenti, potete anche saltare le equazioni e limitarvi a leggere il testo.

La descrizione matematica di una curva

Come si è visto, con il metodo cartesiano viene individuato ogni punto su un piano (come, per esempio, su un foglio di carta) mediante una coppia di numeri, corrispondenti alle sue distanze da due assi perpendicolari. Questi numeri si chiamano le "coordinate" del punto.

Una linea nel piano -- dritta o curva -- contiene molti punti, ciascuno con le sue proprie coordinate (x,y). Spesso esiste una formula ("equazione") che correla x con y: per esempio, le linee rette hanno come equazione

y = ax + b

dove, con ogni coppia di numeri (a,b), positivi, negativi o nulli, si ottiene una certa linea retta. Il disegno dei punti di una linea ottenuta con tale equazione (o con ogni altra relazione, anche ottenuta da valori frutto di osservazioni sperimentali, come, per esempio, i valori della temperatura misurata a vari istanti di tempo), si chiama grafico. Con relazioni più complicate si ottengono i grafici di altre curve: per esempio

y = ax²

dà luogo a una parabola, dove a può essere qualsiasi numero. In genere (anche se non sempre) y si trova separato a primo membro, così che l'equazione ha la forma

y = f(x)

dove f(x) indica "ogni espressione contenente x", o, in termini matematici, è una "funzione di x". Le curve delle figure sono: la retta y = -(2/3)x + 2 e la parabola y = x². Segue una tabella di alcuni punti delle curve.

 
  Retta:

L'equazione della circonferenza

Una tale forma rende molto facile trovare i punti di un grafico. Tutto quello che occorre fare è scegliere un valore di x, calcolare f(x) (= una qualunque espressione contenente x) e si ottiene il corrispondente valore di y.

Tuttavia, ogni equazione contenente x e y può essere considerata come una proprietà valida per tutti i punti del grafico. La differenza sta nel fatto che, con equazioni molto più complicate, dopo aver scelto x, trovare il corrispondente valore di y può essere molto laborioso (e talvolta è più semplice scegliere y e poi calcolare x).

Forse il grafico di questo genere che è più noto è quello di una circonferenza di raggio R, la cui equazione è

Disegnamo una circonferenza di raggio R centrata nell'origine O di un sistema di assi (x,y). Dato un punto P della circonferenza, specificato dai valori (x,y), tracciamo la perpendicolare da P al punto A sull'asse x. Si avrà

In questo caso x e/o y possono essere negativi, se si trovano alla sinistra dell'asse y o al di sotto dell'asse x, ma, qualunque sia il segno, x² e y² saranno sempre entrambi positivi. Poiché il triangolo OAP ha un angolo di 90°, dal teorema di Pitagora, qualunque sia la scelta di P, vale sempre la seguente relazione:

Poiché questa può anche essere scritta come

l'equazione della circonferenza è soddisfatta da ogni punto che ne faccia parte. Per esempio, se il grafico è definito dall'equazione:

questa equazione è soddisfatta da tutti i punti della seguente tabella:

L'equazione dell'ellisse

L'equazione di un'ellisse si ottiene con una piccola variante:

dove (a,b) sono due numeri dati, per esempio (8,4). Che aspetto avrà il grafico? Vicino all'asse x, y ha un valore molto piccolo e l'equazione diventa molto simile a

Da cui

diventa molto simile a x² = a² in questa regione. Esattamente nello stesso modo si può vedere che, nelle vicinanze dell'asse y, dove x è piccolo, il grafico taglia l'asse nei punti y = ±b e la sua forma in quell'intorno rassomiglia a quella di una circonferenza di raggio b.

Un esempio

Sappiamo già che essa taglia gli assi nei punti x = ±8 e y = ±4. Aggiungiamo ora qualche altro punto:

Sottraiamo 1/4 da entrambi i membri

Estraendo la radice quadrata, e usando solo 3-4 cifre decimali:

da cui, con ragionevole accuratezza  x = 6,93.

Sottraiamo 9/16 da entrambi i membri

Estraendo la radice quadrata (con un'accuratezza di 3-4 cifre decimali):

Da cui, approssimativamente  x = 5,29.

Anche qui, x e y hanno entrambi i segni. Otteniamo così 12 punti, sufficienti per un grafico grossolano:

(Se volete prima rinfrescare le vostre nozioni di trigonometria, leggete
La trigonometria -- A che cosa serve? e le sezioni successive.)