Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.cosmos.ru/seminar/20070301/kasatkin20070301.doc Дата изменения: Thu Mar 1 14:01:54 2007 Дата индексирования: Tue Oct 2 11:42:02 2012 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: http www.astronomy.ru forum index.php topic 4644.0.html

Касаткин Г.В.
Регулярные движения самогравитирующего кольца в поле
тяготения центра

Информация о планетных кольцах Сатурна, Юпитера, Урана, Нептуна,
полученная в ходе миссий Voyager, Galileo, Cassini и пополняемая новыми
наблюдениями, открыла астрономам, физикам и механикам большое количество
удивительных и труднообъяснимых явлений.
Например, широкие кольца Сатурна расслоены на огромное количество
вложенных друг в друга узеньких колечек, есть кольца с эксцентриситетом,
кольца переменной толщины, пространственно переплетенные кольца. Попытки
обоснования отмеченных фактов делаются в рамках физических теорий
(резонансная теория, спиральные волны, замагниченная плазма и т.д.) или
численных экспериментов. Отечественные представители указанного направления
- А.М. Фридман, В.Л. Поляченко, Н.Н. Горькавый, Б.И. Рабинович. Из
зарубежных ученых отметим следующие имена: Голдрайх, Тремайн, Порко,....
Начало теоретического изучения планетных колец (после обнаружения в
1610 году Галилеем колец Сатурна) было положено исследованием Лапласа
(1789)и последующими работами Максвелла (1859), Ковалевской (1885),
Пуанкаре (1885).
1. Laplace P.S. On the figure of the ring of Saturn // Celestial Mechanics.
1966. V2. P. 494-518.
2. Maxwell J.C. On the stability of the motion of Saturn's rings // The
scientific papers of J.C.Maxwell. Paris: Hermann, 1927, V.1. P. 288-374.
3. Ковалевская С.В. Дополнения и замечания к исследованию Лапласа о форме
кольца Сатурна // Ковалевская С.В. Научные труды. Изд. АН СССР, 1948. С.
139-152.
3. Пуанкаре А. Фигуры равновесия жидкой массы. - Ижевск: РХД, 2000.
Подробная история изучения планетных колец за период с 1610 года до
1993 года подробно и красочно изложена в книге
5. Горькавый Н.Н., Фридман А.М. Физика планетных колец. - М.: Наука, 1994.
(Получила Гос. премию)

В упомянутых работах Лапласа, Максвелла, Ковалевской, Пуанкаре кольцо
изучается как пространственный, самогравитирующий объект, совершающий
движение в гравитационном поле массивного центра. Существенную роль в них
выполняет потенциал внутреннего гравитационного поля кольца, на отыскание
которого отводится большая часть исследования. Эти работы составили
достойную часть достижений классической небесной механики.
Современные научные теории имеют физическую направленность. Кольца в
них, чаще всего, - плоские дифференциально вращающиеся диски, движение
которых описывается гидродинамическими уравнениями. Самогравитация кольца
этих теориях либо не учитывается совсем, либо учитывается с помощью грубых
моделей, либо заменяется физическими доктринами или аналогиями. Названные
физические теории часто противоречат друг другу, что показывает на
незатухающий спор и продолжающуюся дискуссию в деле построения
правдоподобной теории планетных колец. Многочисленность физических теорий и
несомненный успех некоторых из них (например, Горькавому и Фридману удалось
предсказать орбиты 4-х из 10 спутников Урана) породили скептицизм в
отношении способности описания планетных колец с позиций классической
небесной механики.
Представляемая на данном докладе работа - возврат к исследованию
планетных колец в рамках небесно-механического подхода Лапласа-Максвелла-
Ковалевской-Пуанкаре.
Рассмотрим тонкое кольцо - аналог одного из узких колечек, образующих
систему колец Сатурна, Юпитера, Урана, Нептуна. Методику нахождения
потенциала внутреннего гравитационного поля кольца здесь обсуждать не
будем. С нею можно ознакомиться в статьях.
6. Касаткин Г.В. Внутренне гравитационное поле тонкого однородного кольца
// Космические Исследования, 2005, т.43, ? 4.
7. Касаткин Г.В. Силы притяжения внутри тонкого неоднородного кольца //
Космические Исследования, 2007, т.45, ? 1.

Задача 1. Стационарные движения тонкого однородного
кольца в гравитационном поле центра.
[pic]
Постановка.
Рассмотрим пространственное тело [pic], полученное от вращения
вокруг оси [pic] замкнутой плоской области [pic] (с гладкой границей
[pic]), лежащей в плоскости области [pic] и не пересекающей ее. Выберем
некоторую точку [pic] внутри [pic]. При вращении вместе с областью
[pic] эта точка описывает окружность [pic] радиуса [pic] с центром в
точке [pic] на оси [pic] (рис. 1).
Рис. 1.
Назовем линию [pic] - срединной линией кольца,
точку [pic] - центром кольца, область [pic] - сечением кольца, точку
[pic] - центром сечения.
Предположим, что
[pic]. Диаметр [pic] сечения кольца гораздо меньше [pic], т.е.
[pic].
[pic]. Тело [pic] состоит из однородной сплошной среды, представленной
материальными частицами малой массы.
[pic]. Данная сплошная среда подвергается действию собственного
гравитационного поля и гравитационного поля массы [pic], помещенной в
центр кольца - точку [pic].
Будем искать стационарные движения заданного однородного кольца, при
которых
1) исключаются столкновения между его частицами,
2) форма сечения вместе с векторным полем, порожденным движением всех
частиц кольца инвариантны относительно поворота на любой угол вокруг
оси [pic],
3) сплошная среда в процессе движения остается однородной.
Решение.
Для описания движения воспользуемся подходом Лагранжа т.е. опишем движение
каждой частицы кольца относительно инерциальной системы координат [pic].
Обозначим через [pic] переменную времени, [pic] - гравитационную
постоянную. Возьмем произвольную точку [pic] кольца, [pic] - ее масса.
По формулам
[pic],
перейдем к безразмерным цилиндрическим координатам [pic] точки [pic]. (рис.
1) Отметим, что [pic].
Введем также
а) безразмерное время [pic], где [pic] - частота обращения спутника по
круговой орбите радиуса [pic],
б) безразмерную плотность [pic], где [pic] - плотность однородного шара
с массой [pic] и радиусом [pic],
в) безразмерные: кинетическую энергию [pic]; гравитационный потенциал
[pic] центра [pic]; потенциал [pic] внутреннего гравитационного поля кольца
(размерные аналоги, отнесенные к величине [pic])
[pic].
[pic]
[pic] зависит от плотности [pic], координат [pic] и параметров,
определяющих геометрию кольца.
В случае стационарного движения движение частицы [pic] описывается
уравнениями Лагранжа с лагранжианом
[pic],
В силу однородности среды и предположения об инвариантности
геометрической формы кольца относительно поворотов вокруг оси [pic]
потенциал [pic] и соответственно лагранжиан [pic] не зависит явно от
переменной [pic]. Следовательно, координата [pic] - циклическая. Ей
соответствует первый интеграл - интеграл площадей
[pic].
Исключая координату [pic] по методу Рауса, получим лагранжиан
[pic],
определяющий движение частицы [pic] в плоскости [pic], связанной с данной
частицей. Пусть [pic]- соответственно образы сечения [pic] и его
граничной линии на плоскости [pic]. В силу инвариантности формы кольца
линия [pic] должна быть инвариантным многообразием уравнений движения в
переменных [pic]. Таким образом, задача сводится к поиску формы сечения
[pic] и потенциала [pic], обеспечивающих упомянутую инвариантность. В
качестве отправного объекта исследования возьмем (как это сделал Лаплас)
кольцо, у которого линия [pic] - эллипс с центром в точке [pic] и
полуосями
[pic] ([pic] [pic]),
составляющими с осями [pic] угол [pic]. С помощью преобразования
поворота [pic],
перейдем к декартовым координатам [pic], связанным с осями симметрии
сечения (рис. 2).
[pic]







Рис. 2.

В этом случае [pic], где [pic].
Входящая в лагранжиан [pic] постоянная интеграла площадей [pic]
зависит от начальных условий движения точки [pic] и геометрических
параметров [pic] кольца. Явный вид этой зависимости заранее неизвестен и
должен определяться в ходе решения задачи. Естественно предположить, что
[pic], тогда, с точностью до членов порядка [pic] включительно и
несущественных аддитивных постоянных
[pic]
[pic].
Соответствующие этому лагранжиану уравнения движения должны иметь
инвариантное многообразие [pic]. В силу линейности уравнений движения,
последние должны принять вид
[pic].
Это возможно только в случае выполнения следующих равенств
[pic],
из которых сразу же выводится, что сечение [pic] - круг радиуса [pic].
Следовательно, можно считать [pic].
Согласование полученных результатов с уравнением неразрывности
приводит к следующему описанию (с точностью до малых величин порядка [pic])
стационарного движения.
1. Каждая частица однородного кольца совершает в связанной с ней
плоскостью [pic] равномерное движение по окружности радиуса [pic], [pic]
с центром в точке [pic].
[pic]
2. Из интеграла площадей находится закон изменения угловой координаты
[pic]: [pic], показывающий, что на равномерное возрастание угла [pic]
накладывается малое колебание, вызванное периодическим изменением во
времени координаты [pic].
3. Из выводов 1.-2. Вытекает следующая трактовка пространственного
движения частиц в стационарном кольце: частицы движутся по
непересекающимся, примыкающим друг к другу винтовым траекториям,
лежащим на вложенных друг в друга торах, расслаивающих кольцо. При
[pic] торы стремятся к граничной поверхности кольца, а при [pic]
стягиваются к срединной линии кольца, являющейся одной из траекторий
движения частиц. Полный оборот частицы вокруг срединной линии кольца
происходит за время [pic], а полный оборот частицы вокруг
притягивающего центра [pic] осуществляется за время [pic].
[pic].
4. Полученные результаты можно уточнить. Для этого потребовалось
найти более точное (с точностью [pic]) аналитическое представление силовой
функции [pic] для внутреннего гравитационного поля кольца с (почти
круговым( сечением [pic]. Уточненное уравнение границы [pic] имеет
следующую особенность: ее кривизна в точке, ближайшей к притягивающему
центру [pic], меньше кривизны в наиболее удаленной от центра [pic] точке
(рис.3)
[pic]

Рис.1 Линии сечения стационарных торов при [pic].
Более подробно с изложенной задачей можно ознакомиться по статьям
1. Касаткин Г.В. Стационарные движения однородного метеорного кольца в
гравитационном поле центра // ДАН, 2005, т.401, ? 5.
2. Касаткин Г.В. Стационарные движения однородного метеорного кольца в
гравитационном поле центра // Косм. Иссл., 2005, т.43, ? 6.

Задача 2. Регулярные движения самогравитирующего кольца в гравитационном
поле центра
1. Постановка.
Имеется неподвижный гравитационный центр, точка [pic] с массой
[pic] и окружающее его кольцо. С центром [pic] свяжем инерциальную
систему координат [pic] и полуоси [pic], полученные поворотом
положительной части оси [pic] вокруг оси [pic] на угол [pic]. Пусть в
любой момент времени [pic] кольцо имеет форму тонкого тора. Дадим точное
определение кольца, задав геометрию его срединной линии и (нанизанных( на
нее сечений (рис.4).
Рассмотрим в плоскости [pic] окружность [pic] радиуса [pic] с
центром в точке [pic]. Считаем, что срединной линии кольца является
близкая к окружности [pic] замкнутая линия [pic], точки пересечения
которой полуплоскостями [pic] имеют следующие координаты [pic],
где [pic].
Пусть кольцо пересекается полуплоскостями [pic] по сечениям [pic],
представляющим односвязные области, ограниченные гладкими замкнутыми
линиями. Обозначим через [pic] диаметр сечения [pic].

[pic]
Рис. 4.

Наблюдаемые планетные кольца подчиняются оценкам [pic], [pic], где
[pic] - эксцентриситет срединной линии. В связи с этим примем
1(. [pic], где [pic], [pic].
2(. [pic].
3(. Сечения [pic] имеют площадь [pic], где [pic] [pic].
При заданных значениях малого параметра [pic] и функций [pic]
геометрия линии [pic] полностью определена.
Определим форму сечений [pic]. Пусть [pic] - некоторая точка сечения
[pic].
[pic].
Заменой [pic]: [pic] переведем сечения [pic] в области [pic],
имеющие при всех [pic] одну и ту же площадь [pic]. Предположим, что
возможно аналитическое преобразование [pic] [pic], [pic],
с коэффициентами [pic], преобразующее области [pic] в круг [pic].
Заменой [pic]: [pic], [pic] круг [pic] переведем в единичный круг
[pic] на плоскости переменных [pic].
В результате проведенных преобразований получим биекцию [pic],
отображающую изменяющееся во времени кольцо на полноторий [pic].
Переменные [pic] безразмерные обобщенные координаты точек кольца. Нетрудно
показать, что границы сечений [pic] близки к эллипсам [pic] с центрами в
точках [pic] и полуосями [pic], причем
[pic], [pic],
[pic]
где [pic]угол отклонения полуосей эллипса от осей системы координат
[pic], [pic]. Величина [pic] характеризует относительные размеры
эллипса [pic], а величина [pic] толщину (площадь) сечений [pic].
Также как и в задаче 1 считаем, что кольцо образовано бесчисленным
множеством частиц с малыми массами, и в любой момент времени эти частицы
настолько плотно и равномерно заполняют каждый малый объем тела кольца, что
его можно считать сплошным материальным объектом. Обозначим через [pic]
плотность в точке [pic]. Эта величина представляет функцию [pic],
заданную на множестве [pic]. Пусть между всеми частицами кольца
осуществляется гравитационное взаимодействие, и кроме этого на каждую
частицу действует притяжение центра [pic].
Цель исследования - поиск движений кольца, при которых не происходит
столкновений между его частицами. Эти движения представляются
естественным завершением эволюции колец с соударяющимися частицами.
2. Уравнения движения и результаты их исследования.
Движение каждой частицы кольца в случае при отсутствии столкновений
подчинено уравнениям Лагранжа
[pic], (1)
где [pic] - безразмерный лагранжиан, [pic], [pic], [pic], [pic]
-безразмерные время, кинетическая энергия, гравитационный потенциал
центра [pic] и потенциал внутреннего гравитационного поля кольца
соответственно (вводятся также как и в задаче 1). Величины
[pic] (2)
определяют векторное поле скоростей на множестве [pic]. Полагая [pic],
(3)
достаточно гладкими функциями своих переменных, из уравнений (1) получим
три уравнения в частных производных относительно неизвестных функций
[pic], к которым присоединим уравнение неразрывности, записанное в
переменных [pic]. Указанные четыре уравнения характеризуют движение всех
частиц кольца с точки зрения Эйлера. Для осуществления
безстолкновительного движения частиц величины [pic] следует подобрать
так, чтобы получаемое векторное поле (3) удовлетворяло на множестве [pic]
теореме существования и единственности решений системы уравнений (2) и
оставляло множество [pic] инвариантным множеством этих уравнений. В общем
случае, вполне возможно хаотичное поведение траекторий, заполняющих
полноторий [pic], при котором траектории частиц не укладываются на
двумерные торы, как это было в задаче 1. Изучение этого общего случая
затруднено по многим обстоятельствам. Ограничимся рассмотрением случая
регулярного движения частиц кольца, порожденного векторным полем следующего
вида
[pic], (4)
где [pic] - достаточно гладкая функция своих переменных. Это поле
расслаивает полноторий [pic] на двумерные круговые торы [pic] -
первые интегралы уравнений (4).
Кроме этого, считаем, что [pic], т.е. в нулевом приближении по
параметру [pic] плотность не зависит от координат [pic]. При
сделанном предположении внутреннее гравитационное поле кольца определяют
равенства
[pic]
Поиск регулярных движений кольца ведется в рамках нескольких первых
приближений по малому параметру [pic] в классе движений с векторными
полями (4). Для этого заменим величины [pic] разложениями вида
[pic]
[pic].
Из аналогичных разложений (по малому параметру [pic]) уравнений движения и
уравнения неразрывности находится система дифференциальных уравнений в
частных производных по переменным [pic], связывающая величины [pic].
Изложим результаты анализа указанных уравнений.
1. Переход [pic]: [pic] к изучению регулярного движения кольца в
равномерно вращающейся с угловой скоростью [pic] в реальном времени
[pic] вокруг оси [pic] системе координат [pic], существенно упрощает
исследование.
Ниже используются следующие обозначения: [pic] [pic]произвольные
[pic]периодические функции и [pic], [pic].
2. [pic].
3. [pic]
4. Величины [pic] - функции вида [pic]
[pic], где [pic].
5. Величины [pic] не подвержены влиянию потенциала [pic].
[pic]. (5)
Вывод соотношений (5) сопровождает особый случай, приводящий к решению вида
[pic] (6)
Уравнения (5) определяют (с точностью [pic]) колеблющуюся срединную линию
кольца. Формулы (6) - фиксированную в инерциальной системе координат
[pic] замкнутую линию, близкую к эллипсу с малым эксцентриситетом [pic] и
фокусом в точке [pic].
6. Величины [pic] находятся из уравнений
[pic], (7)
[pic], (8)
где [pic],
[pic].
(9)
Система (7) интегрируется, и ее решения легко находятся из уравнений
[pic], где [pic].
У системы (8) обнаружен только один первый интеграл
[pic].
Отсутствие дополнительного первого интеграла препятствует полному
исследованию этой системы и описанию всех регулярных движений. Отметим, что
возможны «временно живущие» регулярные движения, при которых сечение кольца
неограниченно расплывается в некотором направлении. Наличие интересующих
нас «вечно живущих» регулярных движений показывает частный случай [pic].
7. Системы (7), (8) в случае [pic] имеют следующие интегралы,
[pic] [pic]
[pic], [pic].
Вторые равенства определяет фазовые кривые [pic].
При [pic] кривые [pic]замкнутые линии в полуплоскости [pic], охватывающие
точку [pic] (рис. 5).

[pic]
Рис. 5.
7.1. Если [pic], то фазовые кривые [pic] два симметричных относительно
оси [pic] семейства замкнутых линий, окружающих точки [pic], [pic]
(рис. 6).
[pic]
Рис. 6.
Причем [pic] и [pic]. Величины [pic] можно подобрать так, чтобы условие
(9) выполнилось (рис. 7).
[pic]
Рис. 7.
В получаемых регулярных движениях каждое сечение кольца совершает сложное
колебательно-вращательное движение, оставаясь всегда вытянутым вдоль одной
оси симметрии. В случае стационарных значений [pic],
каждое сечение кольца равномерно вращается вокруг срединной линии по закону
[pic], где [pic].
Если [pic], то [pic] с ростом [pic], т.е. происходит
«скручивание» сечений. Когда величина [pic] постоянна, эффекта
скручивания нет.
7.2. Пусть [pic] вследствие того, что [pic]. Тогда фазовые кривые
[pic] - концентрические окружности с центром в начале координат,
показывающие, что величина [pic] становится попеременно то больше, то
меньше 1 (сечения кольца вращаются и «пульсируют», попеременно вытягиваясь
то в одном, то в другом главных направлениях).
7.3. Пусть равенство [pic] обусловлено условиями [pic], тогда [pic], и
кольцо имеет почти круговые сечения. В этом случае уравнения (7), (8)
приводят к интегрируемой системе [pic],
с первыми интегралами [pic], [pic].
Фазовый портрет этой системы при [pic] аналогичен портрету на рисунке 5.
Фазовые кривые [pic] отвечают регулярным движениям с характеристиками
[pic], [pic]. Стационарное значение [pic] соответствует регулярному
движению с зависящими от угла [pic] и не зависящими от времени [pic]
круговыми сечениями. В частности, может реализоваться такой закон [pic],
при котором в кольце возникнут арки, подобные аркам кольца 1989N1 Нептуна.
Результаты исследования по задаче 2 изложены в статьях
1. Касаткин Г.В. Регулярные движения самогравитирующего кольца в поле
тяготения центра // ДАН, 2006, т.407, ? 4.
2. Касаткин Г.В. Регулярные движения самогравитирующего кольца в поле
тяготения центра // Известия Тульского госуниверситета. Серия.
Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. 2005, вып.1.

Задача 3. О возмущенном движении стационарного кольца на множестве
регулярных движений
В изложенной задаче 2 были найдены отдельные регулярные движения
кольца, среди которых есть кольца с почти круговыми сечениями. Стационарные
движения кольца, обнаруженные при решении задачи 1 - частный случай
указанных регулярных движений. В связи с чем возникает следующая задача -
попытаться изучить в линейном приближении возмущенные движения
стационарного кольца. Эта задача интересна по двум причинам. Первая - как
будет себя вести слабовозмущенное стационарное кольцо, может ли сечение
кольца начать утоньшаться или расплываться в каком-нибудь направлении?
Вторая причина - изучение возмущенного движения может показать насколько
велико вблизи стационарного движения множество регулярных движений и
выявить главные частоты малых колебаний у этих движений.
Суть задачи в следующем. Имеется набор функций двух переменных [pic].
[pic] - определяют отклонение срединной линии кольца от окружности;
[pic] - определяет толщину (площадь) сечений, [pic].
[pic]- определяют геометрию сечений.
[pic]
[pic]- определяют плотность среды,
[pic] .
[pic] - определяют закон движения частиц вокруг притягивающего центра,
точки [pic]срединной линии кольца,
[pic] .
[pic]- определяют закон движения частиц вокруг срединной линии кольца,
[pic] .
При некоторых известных постоянных значениях (стационарных значениях)
указанных функций реализуется стационарное движение кольца. Пусть
[pic]- вариации соответствующих функций относительно их стационарных
значений, удовлетворяющие уравнениям регулярного движения кольца.
Отбрасывая в этих уравнениях члены второго и более высокого порядка малости
по указанным вариациям, получим уравнения первого приближения. Не приводя
этих уравнений, ограничимся изложением результатов, которые удалось
получить.
С точностью до малых величин порядка [pic] включительно из
уравнений\первого приближения можно получить замкнутую линейную систему в
частных производных (по переменным [pic]) относительно десяти следующих
вариаций:
[pic].
Эта система после перехода к новым независимым переменным [pic] по
формулам [pic] (эта замена помогла также в задаче 2), приводит к линейной
системе обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами. Анализ этой системы показал «устойчивость стационарного
движения на множестве регулярных движений кольца» при любом стационарном
значении плотности[pic], при этом определились некоторые из частот у
возмущенных стационарных движений.
Заметим, что согласно исследованиям Максвелла, Пуанкаре, Фридмана,
Поляченко, в случае устойчивости плотность [pic] должна быть достаточно
малой величиной. Расхождение в результатах объясняется тем, что
рассмотренные нами уравнения первого приближения учитывают только силы от
самогравитации кольца, действующие на частицы в плоскости сечения и не
учитывают силы от самогравитации, действующие в направлении угла [pic],
которые заключены в отброшенных малых членах порядка [pic]. Учет указанных
членов требует более строгих решений задач 1, 2 и анализа гораздо более
громоздких уравнений в вариациях, что пока сделать не удалось.