Почему cadlag-функция имеет не более счетного числа разрывов? - Public forum of MSU united student networks

Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.fds-net.ru/showflat.php?Number=7150590&src=arc&showlite=l
Дата изменения: Unknown
Дата индексирования: Tue Feb 26 20:46:32 2013
Кодировка: Windows-1251
Поисковые слова: m 13

General Discussion >> Study (Archive) Страницы: 1 \| (3)
M_ : Re: Почему cadlag-функция имеет не более счетного числа разрывов? [re:Anonymous] 30.01.2008 02:05 \| Reply \| Edit \|	2
$[math][res=120]Пусть $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ --- непрерывна справа на $ \mathbb{R}$. Для каждой ее точки разрыва $x_0$ определим высоту разрыва как $$\inf_{\epsilon > 0}\sup_{x, y \in (x_0 - \epsilon, \, x_0 + \epsilon)}\|f(x)-f(y)\|>0$$ (больше нуля, так как иначе $x_0$ была бы точкой непрерывности).[/math]$ $[math][res=120]Предположим, что у $f(x)$ существует несчетное число разрывов, $\Rightarrow \exists \, n \in \mathbb{N}$ такое, что у $f(x)$ несчетное число разрывов, с высотой, большей $1/n$ (так как объединением по всем $n$ получим все разрывы). Но в силу непрерывности справа $\forall \, x_0 \in \mathbb{R} \; \; \exists \, \epsilon >0$ такое, что $$\sup_{x, y \in (x_0, \, x_0 + \epsilon)}\|f(x)-f(y)\|\leqslant\sup_{x, y \in (x_0, \, x_0 + \epsilon)}(\|f(x)-f(x_0)\|+\|f(y)-f(x_0)\|)<\frac{1}{n}$$[/math]$ $[math][res=120]Значит, на интервале $(x_0, \, x_0 + \epsilon)$ у $f(x)$ нет разрывов с высотой, большей $1/n$. Следовательно, каждому разрыву $f(x)$ с высотой, большей $1/n$, можно поставить во взаимно-однозначное соответствие рациональное число (любое из указанного интервала). Это противоречит несчетности числа разрывов $f(x)$ с высотой, большей $1/n$; таким образом, предположение о несчетности числа всех разрывов $f(x)$ неверно.[/math]$
172.16.32.73 [re:M_] 01.02.2008 13:53 \| Reply \| Edit \|	0
Спасибо большое! Теперь спать буду спокойно
172.16.33.166 [re:M_] 03.02.2008 11:52 \| Reply \| Edit \|	0
зачем ухищряться, выбирая разрывы высоты такой-то, почему нельзя просто в каждом скачке выбрать рац. точку
bashtanov [re:Anonymous] 03.02.2008 20:51 \| Reply \| Edit \|	1
В ответ на: зачем ухищряться, выбирая разрывы высоты такой-то, почему нельзя просто в каждом скачке выбрать рац. точку Скачки пересекаться могут. Нам же не дана монотонность.
Top

General Discussion >> Study (Archive) Страницы: 1 \| (3)
M_ : Re: Почему cadlag-функция имеет не более счетного числа разрывов? [re:Anonymous] 30.01.2008 02:05 \| Reply \| Edit \|	2
$[math][res=120]Пусть $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ --- непрерывна справа на $ \mathbb{R}$. Для каждой ее точки разрыва $x_0$ определим высоту разрыва как $$\inf_{\epsilon > 0}\sup_{x, y \in (x_0 - \epsilon, \, x_0 + \epsilon)}\|f(x)-f(y)\|>0$$ (больше нуля, так как иначе $x_0$ была бы точкой непрерывности).[/math]$ $[math][res=120]Предположим, что у $f(x)$ существует несчетное число разрывов, $\Rightarrow \exists \, n \in \mathbb{N}$ такое, что у $f(x)$ несчетное число разрывов, с высотой, большей $1/n$ (так как объединением по всем $n$ получим все разрывы). Но в силу непрерывности справа $\forall \, x_0 \in \mathbb{R} \; \; \exists \, \epsilon >0$ такое, что $$\sup_{x, y \in (x_0, \, x_0 + \epsilon)}\|f(x)-f(y)\|\leqslant\sup_{x, y \in (x_0, \, x_0 + \epsilon)}(\|f(x)-f(x_0)\|+\|f(y)-f(x_0)\|)<\frac{1}{n}$$[/math]$ $[math][res=120]Значит, на интервале $(x_0, \, x_0 + \epsilon)$ у $f(x)$ нет разрывов с высотой, большей $1/n$. Следовательно, каждому разрыву $f(x)$ с высотой, большей $1/n$, можно поставить во взаимно-однозначное соответствие рациональное число (любое из указанного интервала). Это противоречит несчетности числа разрывов $f(x)$ с высотой, большей $1/n$; таким образом, предположение о несчетности числа всех разрывов $f(x)$ неверно.[/math]$
172.16.32.73 [re:M_] 01.02.2008 13:53 \| Reply \| Edit \|	0
Спасибо большое! Теперь спать буду спокойно
172.16.33.166 [re:M_] 03.02.2008 11:52 \| Reply \| Edit \|	0
зачем ухищряться, выбирая разрывы высоты такой-то, почему нельзя просто в каждом скачке выбрать рац. точку
bashtanov [re:Anonymous] 03.02.2008 20:51 \| Reply \| Edit \|	1
В ответ на: зачем ухищряться, выбирая разрывы высоты такой-то, почему нельзя просто в каждом скачке выбрать рац. точку Скачки пересекаться могут. Нам же не дана монотонность.
Top