Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/circles/mccme/2007/8klass/14.doc Дата изменения: Sat Feb 3 17:15:43 2007 Дата индексирования: Sat Dec 22 18:52:31 2007 Кодировка: koi8-r

Математический кружок МЦНМО
8 класс

14 занятие. «Вписанные углы»
03.02.07


1. Докажите, что вписанный угол равен половине центрального, опирающегося
на ту же дугу:

[pic]

Определение: Градусной мерой дуги называется градусная мера
опирающегося на нее центрального угла.

[pic]

2. Докажите, что вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Чему равен угол, опирающийся на диаметр? опирающийся на хорду, равную
радиусу?

3. Треугольники OAB и OBC - правильные. Докажите, что DB - биссектриса угла
ADC (рис.1).

4. Треугольники OAB и OCD - правильные, ?BOC=230. Найдите величины углов
а) ?BDC, ?ADB, ?DBC; б) ?ODA, ?OBD, ?ACO. (рис.2)

5. Дана окружность с диаметром СВ. Пусть М - середина полуокружности, на
другой полуокружности выбрана произвольная точка К. Докажите, что углы
ВКМ и СКМ равны (рис.3).

6. Выразите через градусную меру дуг величины следующих углов:

[pic]

7. Две окружности касаются в точке M а) внешним образом; б) внутренним
образом. Через точку M проведены две секущие AB и CD. Докажите, что DB и
AC параллельны. Указание: проведите общую касательную и примените задачу
6в).

8. Две окружности касаются внутренним образом в точке S. Хорда AB большей
окружности касается меньшей окружности в точке P. Докажите, что луч SP
делит угол ASB пополам.

9. Около треугольника ABC описана окружность. Биссектрисы его углов A, B, C
пересекают эту окружность соответственно в точках A1, B1, C1. Докажите,
что прямые AA1, BB1, CC1 являются высотами треугольника A1B1C1.

10. В треугольнике ABC отрезок А1B1, соединяющий основания высот АA1 и BB1
виден из середины стороны AB под углом [pic]. Найдите величину угла C
этого треугольника.
-----------------------
[pic]