Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/circles/mccme/2007/8klass/15.doc Дата изменения: Sat Feb 10 17:23:19 2007 Дата индексирования: Sat Dec 22 18:52:36 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: http www.astronomy.ru forum index.php topic 4644.0.html

Математический кружок МЦНМО
8 класс
15 занятие. «Периодичность и рациональность»
10.02.07

1. Найдите последнюю цифру числа а)[pic]; б)[pic].

2. В последовательности 1, 2, 2, . каждое следующее число, начиная с
третьего, равно последней цифре произведения двух предшествующих. Чему
равно 2007 число в этой последовательности?

3. Каждый следующий член последовательности есть сумма квадратов цифр
предыдущего. Докажите, что эта последовательность периодична.

Определение. Рациональное число - это вещественное (действительное)
число, которое можно представить в виде дроби n/m, где n - целое, а m -
натуральное. Иррациональное число - это вещественное число, которое
нельзя представить в таком виде.

4. Найдите 2007 цифру после запятой в десятичной записи числа 1/7.

5. Докажите, что

а) любое рациональное число записывается либо в виде конечной, либо в
виде бесконечной периодической десятичной дроби.

б) Докажите, что период дроби n/m не превосходит m-1.

6. Докажите, что любую периодическую десятичную дробь можно записать в виде
n/m, где n - целое, а m - натуральное

7. Докажите, что число 0,1101001000100001000001000000. иррационально.

8. По круглому стадиону прыгает Джон Сильвер на деревянной ноге. Ширина его
прыжка (т.е. длина дуги, на которую он все время сдвигается) постоянна и
равна x. а) Докажите, что через некоторое время расстояние между какими-
то двумя оставленными им следами окажется меньше 0,00000001.

б) Докажите, что Джон Сильвер будет сколь угодно близко подходить к
своему начальному положению.

9. В целых точках прямой расположены ямы, шириной 0,01 каждая. Длина
прыжков блохи постоянна и равна [pic], направление всегда одинаковое.
Докажите, что блоха рано или поздно попадет в яму.

10. Микрокалькулятор умеет только складывать, вычитать и по числу х
находить число 1/х. Докажите, что с его помощью можно

а) из числа 1 получить число 7/13;

б) из любого рационального числа получить любое другое рациональное
число.