Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/circles/mccme/2007/8klass/10.doc Дата изменения: Sat Dec 16 17:14:42 2006 Дата индексирования: Sat Dec 22 18:52:10 2007 Кодировка: koi8-r

Математический кружок МЦНМО
8 класс
10 занятие. «Дискретная непрерывность» 16.12.06

1. На доске написано число 1. За один ход можно имеющееся на доске число
либо умножить на любое однозначное число, либо увеличить на любое
однозначное число. Через некоторое время на доске оказалось написано
стозначное число. Верно ли, что на доске в какой-то момент было написано
30-значное число?

2. Петя выписал на доске несколько чисел так, что любые два соседних
отличаются не больше, чем на 1. Самое маленькое из выписанных чисел равно
-5, самое большое 100,25. Докажите, что одно из выписанных чисел
отличается от нуля не больше, чем на 0,5.

3. В некоторых клетках квадрата 10(10 стоят +1 и -1, причем сумма всех
чисел не больше 20 и не меньше -20. Докажите, что есть квадрат 5(5,
абсолютная величина суммы чисел в котором не превосходит 5.

[pic]

4. К автомату с газировкой стояла очередь из 100 гномов. Газировка бывает
двух сортов: с сиропом - за 3 копейки и без сиропа - за 1 копейку. Самый
первый гном купил газировку с сиропом. Второй - без сиропа. Верно ли, что
в некоторый момент гномов, уже купивших газировку с сиропом было столько
же, сколько гномов, собиравшихся купить газировку без сиропа?

Указание: В самом начале (когда все еще только собирались покупать
газировку) купивших газировку с сиропом (а еще никто ничего не купил)
было меньше, чем собирающихся купить газировку без сиропа. Что
происходило дальше?

5. В ряд выложены 100 черных и 100 красных шаров, причем самый левый и
самый правый шары - черные. Докажите, что можно выбрать слева подряд
несколько шаров (но не все!) так, чтобы среди них количество красных
равнялось количеству черных.

6. Белка прятала орехи. Известно, что от каждого тайника к следующему она
пробегала не больше 3 м. Оказалось, что расстояние от первого тайника до
последнего равно 100 м. Докажите, что найдутся два тайника, расстояние
между которыми не меньше 22 метров и не больше 25 метров.

7. Существуют 100 последовательных натуральных чисел, среди которых нет ни
одного простого числа (например, 101! + 2, 101! + 3, ..., 101! + 101). А
существуют ли 100 последовательных натуральных чисел, среди которых ровно
5 простых чисел?