Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/circles/mccme/2007/8klass/12.doc Дата изменения: Sat Jan 20 16:21:23 2007 Дата индексирования: Sat Dec 22 18:52:24 2007 Кодировка: koi8-r

Математический кружок МЦНМО
8 класс

12 занятие. «Индукция» 20.01.07


1. Из квадрата клетчатой бумаги размером 2nв2n вырезали одну клетку.
Докажите, что полученную фигуру можно разрезать на «уголки» из трёх
клеток .


2. Докажите, что любую сумму, начиная с 8 тугриков, можно выплатить
купюрами по 3 тугрика и 5 тугриков.


3. Докажите, что при каждом натуральном n, начиная с 3, существует выпуклый
n-угольник, имеющий ровно три острых угла.


4. У бородатого многоугольника во внешнюю сторону растет щетина. Его
пересекает несколько прямых общего положения, на каждой из которых с
одной из сторон растут волосы. В результате многоугольник оказался
разбитым на некоторое число частей. Докажите, что хотя бы одна из частей
окажется волосатой снаружи.


5. Игра «Ханойская башня». Имеется пирамида с n кольцами возрастающих
размеров (внизу - самое большое) и еще два пустых стержня той же высоты.
Разрешается перекладывать верхнее кольцо с одного стержня на другой, но
при этом запрещается класть большее кольцо на меньшее. Докажите, что
можно переложить все кольца с первого стержня на один из пустых стержней.


6. Докажите, что [pic].


7. Докажите, что 1+3+...+(2n-1) = n2.


8. Докажите, что 12+23+...+(n-1)n = (n-1)n (n+1)/3.


9. Докажите, что 11!+ 22!+ . + nn!= ( n+1 )!-1.


10. Докажите, что 12+22+.+n2=n(n+1)(2n+1)/6.

-----------------------
[pic]