Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/circles/mccme/2007/8klass/20.doc Дата изменения: Sat Mar 24 17:18:33 2007 Дата индексирования: Sat Dec 22 18:53:07 2007 Кодировка: koi8-r

Математический кружок МЦНМО
8 класс

20 занятие. «Игры»
24.03.07

1. У доски 10в11 выпилили середину так, что осталась только замкнутая
каемка шириной в одну клетку. За ход можно отрезать любой
прямоугольник 1вN так, чтобы оставшаяся часть не распалась на 2 куска.
Выигрывает тот, кто после своего хода оставит сопернику квадратик 1в1.
Кто выигрывает при правильной игре?

2. На концах клетчатой полоски 1в20 стоит по шашке. За ход разрешается
сдвинуть одну шашку в направлении другой на одну или две клетки.
Перепрыгивать шашкой через шашку нельзя. Проигрывает, кто не может
сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?

3. Есть три кучки камней, в первой лежит 2005, во второй - 2006, в
третьей - 2007 камней. Двое играют в игру. За один ход можно взять два
камня, по одному из каких-нибудь двух кучек. Проигрывает тот, кто не
может сделать хода. Кто выигрывает при правильной игре?

4. На доске написаны 10 единиц и 10 двоек. За ход разрешается стереть две
любые цифры и, если они были одинаковые, написать двойку, а если
разные-единицу. Если последняя оставшаяся на доске цифра - единица, то
выиграл первый игрок, если двойка-то второй. Кто выигрывает при
правильной игре?

5. Вместо матбоя жюри и две команды решили сыграть в следующую игру. В
кучке лежит 451 спичка. Ходят по очереди. Команды имеют право брать по
1 или 2 спички, а жюри - 1, 2 или 3. При этом команды объединяют свои
усилия против жюри, а жюри имеет право выбирать очередь своего хода:
первый, второй или третий. Выигрывает тот, кто возьмет последнюю
спичку. Кто победит при правильной игре?

6. Двое по очереди красят клетки квадрата 10в10. За один ход можно
закрасить любую клетку, причем, начиная со второго хода, эта клетка
должна лежать в том же ряду или в той же строке, что и предыдущая
закрашенная клетка. Кто выиграет при правильной игре?
7. Двое по очереди красят клетки квадрата 100в100. Первый игрок за один
ход может покрасить одну клетку, а второй - две. Если в какой-то
момент после хода второго на доске можно выделить квадрат 4в4, клетки
которого покрашены в шахматном порядке - второй игрок выиграл. Кто
выигрывает при правильной игре?

8. На листе бумаги отмечено 2005 точек. Двое играют в следующую игру:
каждый своим ходом соединяет две отмеченные точки линией. Запрещается
соединять пару точек повторно. Проигрывает тот, после хода которого из
любой точки можно пройти в любую другую, двигаясь от вершины к вершине
по проведенным линиям. Кто выигрывает при правильной игре?

9. Фома и Ерема делят сыр. Изначально у них есть 3 куска сыра. Сперва
Фома выбирает один из кусков и режет его на два. Затем он раскладывает
получившиеся четыре куска сыра на две тарелки. После этого Ерема
выбирает одну тарелку и они едят сыр с нее, беря по очереди по куску,
первый Ерема. После этого они приступают ко второй тарелке, только
первым кусок берет Фома. Докажите что Фома может действовать так,
чтобы получить не менее половины сыра по весу.

10. Решите задачу 9 для случая, когда изначально было n кусков сыра.