Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/circles/mccme/2007/8klass/22.doc Дата изменения: Sat Apr 7 17:21:59 2007 Дата индексирования: Sat Dec 22 18:53:19 2007 Кодировка: koi8-r

Математический кружок МЦНМО
8 класс
22 занятие. «Разнобой»
07.04.07


1. Докажите неравенства:

а) [pic];

б) [pic];

в) [pic];

г) [pic]

для любых a, b, c, d (0.

2. Сколько среди чисел 1, 11, 111, ., 11.11 (2007 единиц) таких, которые
делятся на 7?

3. Целые числа a и b таковы, что произведение (25a + 26b)(26a + 25b)
делится на 17. Докажите, что это произведение делится на 289.

4. Диагонали четырехугольника ABCD, вершины которого расположены на
окружности, пересекаются в точке М. Известно, что (АВС = 72(,
(ВСD = 102(, (АMD = 110(. Найдите (ACD.

5. На описанной окружности треугольника ABC на дуге AB взята точка M. На
стороны AB и AC опущены перпендикуляры MF и ME. Докажите, что
(BMC = (EMF.

Определение. Граф называется двудольным, если его вершины можно
раскрасить в два цвета так, что не будет ребер с концами одинакового
цвета.

6. Во время соревнований по автогонкам некоторые автомобили сталкивались
между собой. Оказалось, что их можно разделить на две группы, так что
автомобили, вошедшие в одну группу, друг с другом не сталкивались.
Докажите, что суммарное количество вмятин у автомобилей первой группы
равно суммарному количеству вмятин у автомобилей второй группы.
(Считается, что при столкновении на столкнувшихся машинах образуется по
одинаковому числу вмятин.)

7. Докажите, что в двудольном графе сумма степеней вершин каждого цвета
равны между собой.

8. При ближайшем рассмотрении оказалось, что на всех автомобилях (см.
задачу 6) равное количество вмятин. Докажите, что в группы входит равное
число автомобилей.

9. В прямоугольной таблице некоторые клетки отмечены: в них стоит
звёздочка. Известно, что для любой отмеченной клетки число звёздочек
в ее столбце равно числу звёздочек в её строке. Докажите, что число
строк таблицы, где есть хотя бы одна звёздочка, равно числу столбцов
таблицы, где есть хотя бы одна звёздочка.

10. Требуется сшить дорожку 30в1 из 30 квадратных лоскутков. Сколькими
способами это можно сделать, если есть 5 синих, 8 красных, два
коричневых и 15 желтых лоскутков?

11. Можно ли вычеркнуть из последовательности [pic]часть чисел так, чтобы
осталась арифметическая прогрессия а) бесконечная; б) из 10 членов?

(арифметической прогрессией называется последовательность вида:
a, a+d, a+2d, a+3d, a+4d, . , где a и d - произвольные числа (т.е.
последовательность, в которой каждый следующий член отличается от
предыдущего на одно и то же число)