Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/circles/mccme/2007/8klass/23.doc Дата изменения: Sat Apr 14 15:31:19 2007 Дата индексирования: Sat Dec 22 18:54:06 2007 Кодировка: koi8-r

Математический кружок МЦНМО
8 класс
23 занятие. «Турниры» 14.04.07


1. 15 команд сыграли турнир в один круг (т.е. каждая команда сыграла с
каждой). За победу давалось 2 очка, за ничью 1, за поражение 0. Одна
команда набрала очков больше, чем любая другая. Сколько, самое меньшее,
у нее может быть очков?
2. 15 команд сыграли турнир в один круг (т.е. каждая команда сыграла с
каждой). За победу давалось 3 очка, за ничью 2, за поражение 0. Одна
команда набрала очков больше, чем любая другая. Сколько, самое меньшее,
у нее может быть очков?
3. 12 команд сыграли турнир по волейболу в один круг (ничьих не бывает).
Две команды одержали ровно по 7 побед. Докажите, что найдутся команды А,
В, С такие, что А выиграла у В, В выиграла у С, а С - у А.
4. В турнире участвовали пять шахматистов. Известно, что каждый сыграл
с остальными по одной партии, и все набрали разное количество очков;
занявший 1-е место не сделал ни одной ничьей; занявший 2-е место
не проиграл ни одной партии; занявший 4-е место не выиграл ни одной
партии. Определите результаты всех партий турнира.
5. В шахматном турнире на звание мастера спорта участвовало 12 человек,
каждый сыграл с каждым по одной партии. За победу в партии даётся 1
очко, за ничью - 0,5 очка, за поражение - 0 очков. По итогам турнира
звание мастера спорта присваивали, если участник набрал более 70% от
числа очков, получаемых в случае выигрыша всех партий. Могли ли получить
звание мастера спорта а) 7 участников; б) 8 участников?
6. Три шахматиста A, B и C сыграли матч-турнир (каждый с каждым сыграл
одинаковое число партий). Может ли случиться, что по числу очков A занял
первое место, C - последнее, а по числу побед, наоборот, A занял
последнее место, C - первое (за победу присуждается одно очко, за ничью
- пол-очка)?
7. В шахматном турнире участвовали восемь человек, и все они набрали разное
количество очков. Шахматист, занявший 2-е место, набрал столько же
очков, сколько четыре последних вместе. Как сыграли между собой
шахматисты, занявшие 3-е и 7-е места?
8. В соревновании участвовали 50 стрелков. Первый выбил 60 очков; второй -
80; третий - среднее арифметическое очков первых двух; четвёртый -
среднее арифметическое очков первых трех. Каждый следующий выбил среднее
арифметическое очков всех предыдущих. Сколько очков выбил 42-й стрелок?
А 50-й?