Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/circles/mccme/2009/7klass/15.doc Дата изменения: Sat Dec 27 22:17:59 2008 Дата индексирования: Thu Jan 15 19:50:07 2009 Кодировка: koi8-r

Комбинаторика.

(К12) На рисунке показана схема расположения тропинок и полянок (A, B, C,
Д, E) в Дремучем лесу. Жители дремучего леса подсчитали, сколько существует
способов попасть с полянки А на полянку Е, побывав на полянках B, С и Д по
одному разу, и им показалось, что это слишком маленькое число. Поэтому они
решили протоптать еще две тропинки так, чтобы способов стало ровно 40.
Между какими парами полянок следует протоптать тропинки?

[pic]

К(18) Сколькими способами можно закрасить квадратик 2в2 (состоящий из
четырех клеточек) на доске 10в10?
(К24) Каким числом способов можно вырезать из квадрата 8(8 уголок [pic]
(уголок может быть повернут и перевернут ()?

К(30) Художник-авангардист нарисовал елку (см. рис). И хочет ее украсить
пятью игрушками (закрасить какие-то пять треугольничков в желтый цвет).
Сколькими способами он может это сделать?
[pic]

(К36) На доске выписаны все четырехзначные числа составленные из цифр 1, 2,
3, 4, причем каждая цифра использована ровно один раз. Найдите, сколько
чисел выписано и найдите сумму всех выписанных чисел.



Логика.

(Л12) Медведь, Волк и Лиса разговаривали на полянке: Медведь: "Лиса не
самая хитрая". Лиса: "Я хитрее медведя". Волк: "Лиса хитрее меня". Солгал
самый хитрый зверь, остальные сказали правду. Кто самый хитрый?

(Л 18) В правительстве - 20 министров. По крайней мере один из них честен.
В каждой паре министров хотя бы один продажен. Сколько честных министров в
правительстве?

(Л24) Три брата вернулись с рыбалки. Мама спросила у каждого, сколько они
вместе поймали рыб. Вася сказал: "Больше десяти", Петя: "Больше
пятнадцати", Коля: "Больше восемнадцати". Сколько могло быть поймано рыб
(укажите все возможности), если известно, что два брата сказали правду, а
третий - неправду?

(Л30) Когда "послезавтра" станет "вчера", то "сегодня" будет так же далеко
от воскресенья, как тот день, который был "сегодня", когда "вчера" было
"завтра". Как вы думаете, какой сегодня день недели?

(Л36) Каждый из 12 человек - рыцарь, всегда говорящий правду, или всегда
лгущий лжец. Среди них есть и рыцари и лжецы. Один из них сказал: «Число
лжецов среди нас делится на 1», второй: «Число лжецов среди нас делится на
2», ., 12-ый: «Число лжецов среди нас делится на 12». Сколько среди них
может быть рыцарей?




Числа.

(Ч12) Тима заменил каждую букву в алфавите её номером и записал таким
шифром слово русского языка из пяти букв. Расшифруйте это слово, если у
Тимы получилось 121121

(Ч18) Найдите наименьшее натуральное число, квадрат которого делится на
2009.

(Ч24) Среди целых чисел от 8 до 17 включительно зачеркните как можно меньше
чисел так, чтобы произведение оставшихся было точным квадратом. В ответе
перечислите числа, которые надо вычеркнуть.

(Ч30) На доске написаны числа 1, 2, ., 2008. За один ход разрешается
стереть несколько чисел и вместо них написать остаток от деления на 7 их
суммы. После нескольких шагов осталось два числа, одно из которых 987.
Найдите второе число

(Ч36) Найдите НОД всех шестизначных палиндромов (то есть чисел, которые не
изменяются при написании в обратном порядке)
Геометрия.

(Г12) Разрежьте фигуру, изображенную на рисунке, на три равных части.
(Части называются равными, если они совпадают при наложении)
[pic]

(Г18) На рисунке ниже закрасьте разными цветами треугольник,
четырехугольник, пятиугольник и шестиугольник так, чтобы они не
пересекались, и закрашенной оказалась бы вся фигура.
[pic]

(Г24) Площадь фигуры, нарисованной на клетчатой бумаге (см. рисунок ниже)
равна 40,5 см2. Чему равна сторона клеточки?

[pic]

(Г30) Разрежьте квадрат со стороной 4 клетки, на прямоугольники, сумма
периметров которых равна 25.

(Г36) Газету 8 раз сложили пополам (поочередно вдоль и поперек), после чего
оторвали от нее 4 угла. Если теперь развернуть газету, то сколько в ней
будет дырок?
Графы

(ГР12) У гномов Димы, Миши, Сени, Володи, Лёши и Гриши установлены
телефоны. Каждые два телефонных аппарата соединены проводом. Сколько для
этого понадобилось проводов?


(ГР18) Есть несколько замков, соединенных подземными ходами (каждый
подземный ход ведёт от одного замка к другому, никакие два подземных хода
не пересекаются). Король, осматривая свои владения, прошёл по каждому
подземному ходу ровно один раз. Сохранился обрывок схемы подземных ходов
(см. рис). Известно также, что свой обход король начал в Королевском замке.
Сколько раз король заходил в замок с сокровищами?

[pic]

(ГР24) Четыре девочки играли в настольный теннис. Таня сыграла 30 партий,
Аня - 20, Маша - 17, Наташа - 13. Сколько всего было сыграно партий?

(ГР30) На вечеринке, посвященной Дню медвежонка, собралось несколько
зверят. Известно, что среди них было ровно 7 медвежат. Каждый из зверей (в
том числе и каждый медвежонок) принес с собой три горшочка мёда и подарил
их каким-то трём из медвежат (каждому - по одному горшочку). При этом
каждый медвежонок получил по 15 горшочков. Сколько зверей было на
вечеринке?


(ГР36) В турнире по теннису участвовали 6 девочек и 8 мальчиков. Каждые два
человека сыграли друг с другом ровно один матч. Сколько побед в сумме
одержали девочки, если они выиграли ровно половину всех матчей против
мальчиков (ничьих в теннисе не бывает, победы в матчах девочка против
девочки тоже считаются)?



Дед Мороз.

[pic]

(М12) Дед Мороз отметил на прямой 100 синих и n красных точек, причем так,
что между любыми двумя одноцветными точками есть точка другого цвета. Чему
может быть равно n?

(М18) У Деда Мороза 44 подарка и он хочет разложить их по карманам так,
чтобы в них было разное количество подарков. При каком наибольшем
количестве карманов он это сможет сделать?

(М24) Три Деда Мороза и две Снегурочки за 5 минут съедают 10 мандаринов,
три Снегурочки и два Деда Мороза за 15 минут - 45 мандаринов. Сколько
мандаринов один Дед Мороз и одна Снегурочка съедят всего за минуту?

(М30) Дано число: 123456789101112... . Какие цифры стоят на 2008-м и 2009
местах?

(М36)Дед Мороз пришел в детский сад раздавать детям конфеты. Он обнаружил,
что хотя мальчиков в саду больше, чем девочек, он может все конфеты раздать
поровну мальчикам, а может все конфеты раздать поровну девочкам. Дед Мороз,
разумеется, раздал конфеты всем детям - каждому досталось по три. А если бы
он и впрямь стал раздавать конфеты только девочкам, сколько бы получила
каждая?
[pic]


ОТВЕТЫ

| |12 |18 |24 |30 |36 |
|Комбинаторика|2 тропинки |81 |49*4=196 |16*15*1|24 числа, сумма |
| |между В и С | | |4*13*12|1111*10*6 |
| | | | |/(5!)=4|=66660 |
| | | | |368 | |
|Логика |волк |1 |16, 17, 18 |среда |3 или 4 рыцаря |
|Числа |АБАКА |41*7=287 |11, 13, 17,|0 |11 |
| | | |14 | | |
|Геометрия |[pic] |см рис. |1,5 см |примерн|225 |
| | | | |о так: | |
| | | | |[pic] | |
|Графы |15 |3 |40 |35 |39 |

|Дед Мороз |99, 100, 101 |9 |1 |7 и 0 |12 |





ОТВЕТЫ

| |12 |18 |24 |30 |36 |
|Комбинаторика|2 тропинки |81 |49*4=196 |16*15*1|24 числа, сумма |
| |между В и С | | |4*13*12|1111*10*6 |
| | | | |/(5!)=4|=66660 |
| | | | |368 | |
|Логика |волк |1 |16, 17, 18 |среда |3 или 4 рыцаря |
|Числа |АБАКА |41*7=287 |11, 13, 17,|0 |11 |
| | | |14 | | |
|Геометрия |[pic] |см рис. |1,5 см |примерн|225 |
| | | | |о так: | |
| | | | |[pic] | |
|Графы |15 |3 |40 |35 |39 |

|Дед Мороз |99, 100, 101 |9 |1 |7 и 0 |12 |

ОТВЕТЫ команды:
| |12 |18 |24 |30 |36 |
|Комбинаторика| | | | | |
| | | | | | |
|Логика | | | | | |
| | | | | | |
|Числа | | | | | |
| | | | | | |
|Геометрия |[pic] |[pic] | | | |
|Графы | | | | | |
| | | | | | |


|Дед Мороз | | | | | |
| | | | | | |


ОТВЕТЫ команды:
| |12 |18 |24 |30 |36 |
|Комбинаторика| | | | | |
| | | | | | |
|Логика | | | | | |
| | | | | | |
|Числа | | | | | |
| | | | | | |
|Геометрия |[pic] |[pic] | | | |
|Графы | | | | | |
| | | | | | |


|Дед Мороз | | | | | |
| | | | | | |