Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/circles/mccme/2009/7klass/27r.doc Дата изменения: Sat Apr 25 21:20:56 2009 Дата индексирования: Sat Oct 17 02:25:49 2009 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: п п п п п п п п п р р р р р р р р р р р т т т т т т т т т т т т т т т т т т

Математический кружок 7 класс
Занятие ?27 Тренировочная олимпиада. 04.03.09


1. За весну Обломов похудел на 25%, затем за лето прибавил в весе 20%, за
осень похудел на 10%, а за зиму прибавил 20%. Похудел ли он или
поправился за год?

Ответ. Обломов за год похудел.

Решение. Пусть изначально вес Обломова был x кг. Тогда после весны, вес
Обломова стал 0,75x кг. За лето он поправился на 20% и вес его стал
1,2*0,75x = 0,9x кг. После осени вес Обломова стал 0,81x, на 10% меньше чем
перед осенью. За зиму Обломов прибавил 20% к своему весу, т.е. вес его стал
1,2*0,81x = 0,972x. Прошел год, вес Обломова 0,972x, а изначально его вес
был x кг, т.е. Обломов похудел.


2. Баба-Яга вошла в комнату, где вокруг круглого стола стояло 60 стульев
и на некоторых из них сидели гости. Оказалось, что она не может сесть
так, чтобы рядом с ней никто не сидел. Какое наименьшее число гостей
могло сидеть в этот момент за столом?

Ответ. 20 гостей.

Решение. За столом можно посадить гостей следующим образом - гость, потом
два пустых места, гость, два пустых места гость, и так далее. Тогда на
какое бы пустое место не попыталась бы сесть Баба Яга - она обязательно
будет сидеть рядом с гостем. А гости всего займут треть всех стульев то
есть будет 20 гостей.

Докажем, что если за столом будет сидеть меньше 20 гостей то найдется место
для Бабы Яги. Занумеруем стулья от 1 до 60 по порядку. Разобьем все стулья
на 20 троек - (1,2,3), (4,5,6), (7,8,9). (58,59,60). Если в какой-то тройке
все стулья свободные, то Баба Яга сможет сесть на центральный стул в этой
тройке. Значит, необходимо, чтобы в каждой тройке сидел хотя бы один гость,
так троек всего 20 - необходимо, чтобы было хотя бы 20 гостей.


3. Замените в неравенствах П>Р>О<Е<К<Т<И<Р>О>В>А>Н<И>Е буквы цифрами так,
чтобы все неравенства стали верными. (Одинаковым буквам соответствуют
одинаковые цифры, разным - разные.)

Ответ. 9>8>3<4<5<6<7<8>3>2>1>0<7>4

Решение. Найдем одно решение такой задачи:
Замените в неравенствах П>Р>О<Е<К<Т<И<Р>О>В>А>Н<И>Е буквы числами так,
чтобы все неравенства стали верными. (Одинаковым буквам соответствуют
одинаковые цифры, разным - разные.)
П |> |Р |> |О |< |Е |< |К |< |Т |< |И |< |Р |> |О |> |В |> |А |> |Н |< |И
|> |Е | |100 |> |90 |> |80 |< |81 |< |82 |< |83 |< |84 |< |90 |> |80 |> |70
|> |60 |> |50 |< |84 |> |81 | |Вернемся к первоначальной задаче. Для ее
решения нам нужно расставить буквы, например, в порядке возрастания.
Н |< |А |< |В |< |О |< |Е |< |К |< |Т |< |И |< |Р |< |П | |50 |< |60 |< |70
|< |80 |< |81 |< |82 |< |83 |< |84 |< |90 |< |100 | |Теперь присвоим каждой
букве цифру, так, чтобы неравенства были верными.
Н |< |А |< |В |< |О |< |Е |< |К |< |Т |< |И |< |Р |< |П | |0 |< |1 |< |2 |<
|3 |< |4 |< |5 |< |6 |< |7 |< |8 |< |9 | |Таким образом неравенство будет
иметь следующий вид:
П |> |Р |> |О |< |Е |< |К |< |Т |< |И |< |Р |> |О |> |В |> |А |> |Н |< |И
|> |Е | |9 |> |8 |> |3 |< |4 |< |5 |< |6 |< |7 |< |8 |> |3 |> |2 |> |1 |>
|0 |< |7 |> |4 | |Какой остаток дает число 1!+2!+3!+.+15! при делении на
15?

Ответ. 3.

Решение. Остаток, от деления на 15, первоначальной суммы, равен остатку, от
деления на 15, суммы остатков, от деления на 15, слагаемых первоначальной
суммы. Слагаемые 5!, 6!, ., 15! на 15 делятся без остатка, остатки чисел
1!, 2!, 3!, 4!, при делении на 15, равны соответственно 1, 2, 6, 9. Таким
образом, остаток, от деления на 15, суммы 1!+2!+3!+.+15! равен остатку, от
деления на 15, такой суммы: 1+2+6+9. То есть остаток числа 1!+2!+3!+.+15!
при делении на 15 равен 3.


4. Все натуральные числа от 1 до 2009 записали в следующем порядке:
сперва записали в порядке возрастания все числа, сумма цифр которых
равна 1. Затем - все числа с суммой цифр 2 (также в порядке
возрастания), потом - все числа с суммой цифр 3 (также в порядке
возрастания) и т.д. На каком месте оказалось число 1997?

Ответ. Число 1997 оказалось на 2004 месте.

Решение. Так как сумма цифр числа 1997 довольно большая, равна 26,
посмотрим на последние места. На самом последнем месте стоит число, сумма
цифр которого наибольшая, т.е. число 1999, с суммой цифр 28. Перед ним
числа с суммой цифр 27, эти числа получаются отниманием единицы от любого
разряда числа 1999, т.е. такие 999, 1899, 1989, 1998. Затем идут числа с
суммой цифр 26. Эти числа так же получаются отниманием единицы от любого
разряда чисел с суммой цифр 27. Число 1997 получается из числа 1998,
отниманием единицы от цифры в последнем разряде. Кто дочитал до этого места
- попросите у нас на следующем занятии конфету, число конфет - ограничено.
Так как число 1998 - самое большое среди чисел, сумма цифр которых 27, и
число 1997 - отличается на 1, от числа 1998, и сумма цифр его 26, то число
1997 - самое большое число с суммой цифр 26. Т.е. последовательность будет
оканчиваться такими числами 1997, 999, 1899, 1989, 1998, 1999. Так как
всего чисел 2009, число 1997 стоит на 2004 месте.


5. У Саши есть 63 одинаковых по виду монеты, ровно одна из которых
фальшивая (легче настоящих). У жадного мальчика Кости есть весы, но за
каждое взвешивание, в результате которого весы остались в равновесии,
он берет с Саши плату один рубль (взвешивания, в которых одна из чашек
перевешивает, Костя разрешает делать бесплатно). Какую наименьшую
сумму должен приготовить Саша, чтобы заведомо определить фальшивую
монету с помощью Костиных весов?

Ответ. Саши понадобится один рубль.

Решение. Саша разложит на чашах по 31 монете, а одну отложит. Если весы
показали равновесие, то Костя получает свой рубль, а Саша знает, что
отложенная монета фальшивая. Если весы равновесия не показали, то Костя
платы не берет, а Саша знает, что фальшивая монета среди тех монет, которые
оказались легче, остальные точно настоящие.

Далее Саша будет снимать с каждой чаши по монете, до тех пор, пока весы не
покажут равновесие. За это Костя возьмет с Саши рубль, но Саша будет знать,
что последняя монета, снятая с чаши весов, на которой сумма монет была
легче, - фальшивая.


6. Сколькими способами математическая черепаха может добраться из левого
нижнего угла доски 9в9 в правый верхний, если она обязательно хочет
пройти через центральную клетку? (За каждый шаг она может
переместиться на 1 клетку вправо или на 1 клетку вверх.)

Ответ: [pic] способов.

Решение. Так как черепаха не может перемещаться выше 5 строки и правее 5
столбца, пока не пройдет середину, и не может оказаться левее 5 столбца и
ниже 5 строки после того как пройдет середину, путь черепахи можно разбить
на два равных этапа. Первый этап от левого нижнего угла до середины, второй
- от середины до правого верхнего угла. Причем для каждого из путей первого
этапа может быть любой из путей второго этапа, т.е. для нахождения общего
количества способов, прохождения всего пути, нужно перемножить количества
способов прохождения каждого этапа. Для прохождения первого этапа черепахе
следует сделать 4 хода вверх и 4 вправо, т.е. всего 8 ходов. Способов
пройти первый этап будет столько, сколькими способами можно упорядочить эти
8 ходов. Это тоже самое, что выбрать 4 хода из 8 на которых происходит
подъем вверх. Это можно сделать [pic]способами. Аналогично, число способов
пройти второй этап [pic]. Всего способов добраться из левого нижнего угла,
доски 9в9, в правый верхний, через центральную клетку, [pic].