Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/circles/mccme/2009/7klass/20r.doc Дата изменения: Sat Feb 21 22:08:12 2009 Дата индексирования: Mon Apr 6 22:24:57 2009 Кодировка: koi8-r

Математический кружок 7 класс
Решения занятия ?20 Проценты.

Процент - это другое название сотой части числа, т.е. когда говорят 1% от
х, понимают 0,01 часть числа х, равную 0,01х. В решениях задач часто не
удобно пользоваться процентами, поэтому их заменяют на части числа.

Например, было k конфет, съели 20% конфет, т.е. съели 0,2 часть конфет,
или 0,2k, осталось 80% или 0,8k.

Первые три задачи (разобранные в классе).

1. За первый год население некоторой деревни возросло на n человек, а за
второй - на 300 человек. При этом за первый год население увеличилось
на 300%, а за второй - на n%. Сколько жителей стало в деревне?

Ответ. 500.

Решение 1. Пусть изначально жителей в деревне было х, тогда за год число
жителей в деревне стало х+n, а после второго х+n+300 человек. Известно,
что за первый год число жителей увеличилось на 300%, т.е., так как 300%
от х - это 3x, то n=3x. Так же известно, что за второй год число жителей
увеличилось на n%, т.е. на [pic]. Т.к. население увеличилось на 300
человек, то [pic]=300, зная, что n=3x, получим: 10000 = 4х2, значит х=50.
После второго года число жителей в деревне стало
х+n+300=4x+300=200+300=500.

Решение 2. Пусть изначально жителей в деревне было х, возросло на 300%,
т.е. на 3x, значит, стало равно x+3x=4x. За второй год количество жителей
выросло еще на n%, так как n% от 4x это [pic], то жителей стало 4x+[pic].

[pic]

По условию за первый год количество людей увеличилось на n человек,
значит, n=3x. Во второй год количество людей увеличилось на 300 человек,
значит 300=[pic]. Подставляя n=3x во второе равенство получаем 300=[pic].
Преобразуем: 1002=4x2 т.е. 1002=(2x)2. Откуда x=50.

2. Лёша, Тоша и Гоша кушали пряники. Лёша съел на 10% больше пряников,
чем Тоша. А Гоша на 20% больше, чем Лёша. Во сколько раз Гоша скушал
больше пряников, чем Тоша?

Ответ. В 1,32 раза.

Решение. Пусть Тоша съел х пряников, тогда Леша съел 1,1х пряников и Гоша
съел 1,2в1,1х=1,32х пряников. Таким образом, Гоша съел в 1,32 больше
пряников, чем Тоша.

3. Хомяк сидит на диете. Каждый день он съедает 20% имеющихся к этому дню
защёчных запасов. Изначально за обеими щеками у него спрятано поровну
запасов. Через сколько дней все запасы поместятся за одну щёку?

Ответ. Через 4 дня.

Решение. Пусть изначально у хомяка всего х запасов, за одну щеку
помещается х/2 запасов. Выясним, когда количество защёчных запасов
хомяка окажется меньше х/2 (или равно х/2). После первого дня у хомяка
останется 0,8х запасов, что больше х/2. После второго 0,8в0,8х=0,64х
запасов, что тоже больше х/2. После третьего дня, количество запасов у
хомяка станет 0,8в0,64х=0,512х, т.е. по-прежнему больше х/2. После
четвертого дня количество запасов станет 0,8в0,512х=0,4096<х/2, значит,
после четвертого дня хомяк сможет поместить остатки своих защечных
запасов за одну щеку.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Посевной участок под бурьян имеет прямоугольную форму. В рамках
реструктуризации одну сторону участка увеличили на 20%, а другую
уменьшили на 20%. Изменится ли в результате урожай бурьяна, и если
изменится, то как?

Ответ. Урожай уменьшится на 4%.

Решение. Пусть длина одной стороны участка - a, другой - b. Тогда площадь
S=ab. Пусть сторона a увеличилась на 20%. Тогда она увеличилась на 0,2a
то есть стала равно 1,2a. Сторона b уменьшилась на 20%. Значит она
уменьшилась на 0,2b и стала равной 0,8b. Площадь нового участка будет
равна: Sн=1,2aв0,8b=0,96ab, т.е. 96% от первоначальной площади.

2. Цены на плюшевых мишек в октябре выросли на 50%, а перед Новым годом
на них объявили 50% скидку. Когда мишка стоил дороже - 1 сентября или
31 декабря?

Ответ. 1 сентября.

Решение. Пусть 1 сентября мишка стоил х, в октябре стоимость мишки
увеличилась на 50%, и стала х+0,5х=1,5х. Перед Новым годом цена на мишек
уменьшилась на 50% и стала 1,5х-0,5в1,5х=1,5х-0,75х=0,75х, что составляет
75% от цены сентября.

3. Мама купила ирисок в три раза больше, чем леденцов. Федя накинулся на
ириски и съел 20% ирисок, а Маша - на леденцы - и съела 10% леденцов.
Какой процент конфет съели дети?

Ответ. 17,5% от всех конфет.

Решение. Пусть леденцов было х, тогда ирисок 3х, т.е. всего конфет 4х.
Федя съел 20% ирисок, т.е. съел 0,2в3х=0,6х конфет. Маша съела 0,1х
конфет, т.е. всего было съедено 0,7х конфет. Так как всего конфет 4х, то
дети съели 0,7хџ4x=0,175 от всех конфет или 17,5% всех конфет.

4. В семье 4 человека. Если Маше удвоят стипендию, общий доход всей семьи
возрастет на 5%, если вместо этого маме удвоят зарплату - на 15%, если
же зарплату удвоят папе - на 25%. На сколько процентов возрастет доход
всей семьи, если дедушке удвоят пенсию?

Ответ. 55%.

Решение. Если Маше удвоят стипендию, семейный доход возрастёт на размер
этой стипендии. Следовательно, Машина стипендия составляет 5% общего
дохода. Аналогично, мамина зарплата составляет 15%, а папина - 25%.
Оставшаяся доля 100%-5%-15%-25%=55% приходится на дедушкину пенсию.
Значит, если ему удвоят пенсию, доход всей семьи возрастёт на 55%.

Это же решение можно сформулировать по-другому. Если бы всем членам семьи
вдруг стали платить вдвое больше, общий доход увеличился бы на 100%. Из
этих 100 процентов 5 приходится на Машу, 15 - на маму, 25 - на папу, а
остальные 55 - на дедушку.

5. В 7 "Г" классе хватает двоечников, но Вовочка учится хуже всех.
Педсовет решил, что либо Вовочка должен к концу четверти исправить
двойки, либо его исключат. Если Вовочка исправит двойки, то в классе
будет 24% двоечников, а если его выгонят, то двоечников станет 25% .
Какой процент двоечников в 7 "Г" сейчас?

Ответ. 28%

Решение. Пусть в классе n человек, из них k двоечников (считая Вовочку).
Если Вовочка исправит двойки, то в классе останется k-1 двоечник - по
условию это 24%, т.е.

0,24n=k-1 (1).

Если Вовочку выгонят, то в классе останется n-1 человек и из них k-1
двоечник - по условию это 25%, т.е.

0,25(n-1)=k-1 (2).

В равенствах (1) и (2) правые части равны, значит можно приравнять левые
части: 0,24n=0,25(n-1), откуда 0.01n=0.25, то есть n=25. Подставим это
значение в равенство (1) и найдем k: k=7. Значит сейчас в классе
k/n * 100% = 28% двоечников.

6. Крокодил Гена погружался на дно. Вначале он погрузился на 1 метр и
испугался. Потом он набрался храбрости и преодолел еще половину
оставшейся глубины. Затем, после небольшой передышки, он погрузился
еще на 1 метр. До дна уже оставалось 30% всей глубины. На какую
глубину погружался Гена?

Ответ. 7,5 метров.

Решение. Пусть вся глубина x, тогда Сначала Гена погрузился на 1 метр, а
потом на половину оставшегося пути, т.е. на (х-1)/2, затем Гена погрузился
еще на 1 метр и осталось до дна 30% т.е. 0,3х. Составим уравнение: 1+(х-
1)/2+1+0,3х=х, откуда х=7,5.

7. Все акции компаний «Карабас» и «Барабас» вместе стоят 90 золотых
монет. У Буратино есть 25% акций компании «Карабас» и 75% акций
компании «Барабас» общей стоимостью 30 золотых монет. Найдите
стоимость всех акций каждой компании.

Ответ. Все акции компании «Карабас» стоят 75 монет, а все акции компании
«Барабас» стоят 90-75=15 монет.

Решение. Пусть все акции компании «Карабас» стоят х монет, тогда все акции
компании «Барабас» стоят 90-х монет, так как вместе акции компаний
«Карабас» и «Барабас» стоят 90 монет. У Буратино есть 25% акции «Карабас»,
стоимостью 0,25х, и 75% акций компании «Барабас», стоимостью 0,75(90-х).
Всего у Буратино акций на 30 монет, значит 0,25х+0,75(90-х)=30. Решив это
уравнение, получим х=75, значит все акции компании «Карабас» стоят 75
монет, а все акции компании «Барабас» стоят 90-75=15 монет.

8. Курс акций компании "Рога и копыта" каждый день в полдень повышается
или понижается на 17 процентов (курс не округляется). Может ли курс
акций дважды принять одно и то же значение?

Ответ. Не может.

Решение. Заметим, что при повышении курса акций он умножается на [pic], а
при понижении -- на [pic]. То есть если курс акций был равен x, то после k
повышений и l понижений курс акций станет равным [pic]. Если [pic], то
[pic]. Но в правой части этого равенства стоит четное число, а в левой --
нечетное. Противоречие.