Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/circles/mccme/2010/8klass/26.doc Дата изменения: Sun Apr 18 19:01:40 2010 Дата индексирования: Sat Jun 26 05:17:11 2010 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban

Математический кружок 8 класс
Занятие ?26 Выигрышные позиции.
17.04.2010

1. Есть 100 камней. Два игрока по очереди берут камни, в свой ход можно
брать 2, 3 или 4 камня. Тот, кто не может сделать ход проиграл. Кто из
игроков может выиграть при любых действиях соперника?
2. В левом нижнем углу доски 9х10 клеток стоит конь. Двое по очереди
двигают коня, но только вправо-вверх (см. рис.). Тот, кто не может
сходить проиграл. Кто из игроков выиграет?
3. В левом нижнем углу доски 9х10 клеток стоит король (без коня, пеший).
Двое по очереди двигают короля, вверх, вправо или вправо-вверх на одну
клетку. Тот, кто не может сходить проиграл. Кто из игроков выиграет?
4. В стране Дураков однажды на волшебном дереве выросло 300 монет. Кот
Базилио и лиса Алиса договорились по очереди каждую ночь ходить к этому
дереву и забирать не более половины имеющихся на нем монет. Если кто-то
из них не может больше сорвать ни одной монеты, то отдает другому все,
что успел взять. Первой пошла Алиса. Кто останется в дураках?
5. Игра начинается с числа 4. За ход разрешается прибавить к имеющемуся
числу любое, меньшее его, натуральное число. Выигрывает тот, кто получит
2010.
6. Пять ямок расположены в ряд. В каждой лежит по шарику. За один ход
разрешается переложить все шарики из какой-нибудь ямки в соседнюю справа
ямку. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход (когда все шарики лежат
в самой правой ямке). У кого из игроков есть выигрышная стратегия?
7. Докажите, что в предыдущей задаче хоть у кого-то из двух игроков есть
выигрышная стратегия, даже если ямок было 100. Для этого дайте точное
определение выигрышной стратегии.
8. Имеется две кучки камней: в первой - 7 камней, во второй - 11. За ход
разрешается брать любое количество камней из одной кучки или поровну
камней из обеих кучек. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
9. У Аленки с Кузей есть шоколадка, разделенная на клеточки (6х9 клеточек).
Они поочереди ломают какой-то один кусок по линии. Тот, после чьего хода
останется много квадратиков 1х1, и ломать будет нечего - выиграл и
съедает все! Аленка ходит первой.

Дополнительные задачи:
10. Есть 2 кучки по 100 камней. В свой ход можно либо взять из первой
кучки 2, 3, или 4 камня, либо взять из второй кучки от 1 до 5 камней.
Кто не может сходить проиграл.
11, 13, 14, 18. Решите мизерные варианты игр из задач 1, 3, 4, 8. Та же
игра, но тот, кто не может сделать ход - выигрывает!
-----------------------




[pic]