Äîêóìåíò âçÿò èç êýøà ïîèñêîâîé ìàøèíû. Àäðåñ îðèãèíàëüíîãî äîêóìåíòà : http://www.mccme.ru/circles/mccme/2010/8klass/27.doc Äàòà èçìåíåíèÿ: Fri May 14 17:43:50 2010 Äàòà èíäåêñèðîâàíèÿ: Sat Jun 26 05:17:13 2010 Êîäèðîâêà: koi8-r Ïîèñêîâûå ñëîâà: m 31

Ìàòåìàòè÷åñêèé êðóæîê 8 êëàññ
çàíÿòèå ?27 Óñðåäíåíèå. 24.04.10

1. Çàìåíèì â ñóììå 100 + 101 + 102+...+299+300 âñå ñëàãàåìûå íà 200.
Óâåëè÷èòñÿ èëè óìåíüøèòñÿ ñóììà?

2. Çàìåíèì â ïðîèçâåäåíèè 100 â 101 â 102 â . â 299 â 300 âñå ÷èñëà íà 200.
Óâåëè÷èòñÿ èëè óìåíüøèòñÿ ïðîèçâåäåíèå?

3. Ó Âîâû áûëî äâà ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñëà a ÷èñëà, òî åñòü îáìåíÿòü èõ íà òàêèå ÷èñëà a1=a+x è b1=b-x, ÷òî ñóììà
÷èñåë íå èçìåíèëàñü, à ìîäóëü ðàçíîñòè óìåíüøèëñÿ. Êàê èçìåíèëèñü
çíà÷åíèÿ ñëåäóþùèõ âûðàæåíèé (óìåíüøèëèñü îíè èëè óâåëè÷èëèñü?):
|ab |[pic] |a2 + b2 |a4 + b4 |[pic] |
| | | | | |


4. Ìîæíî ëè, «ñáëèæàÿ» ÷èñëà, èç íàáîðà 10,11, 12, 13, 14, 50, 100

à) ïîëó÷èòü íàáîð èç îäèíàêîâûõ ÷èñåë?

á) ïîëó÷èòü íàáîð ÷èñåë 20, 20, 20, 20, 20, 20, 90?

â) ïîëó÷èòü íàáîð 15, 16, 17, 18, 19, 20, 80?

ã) ÷òî áîëüøå: 10 â 11 â 12 â 13 â 14 â 50 â 100 èëè 307?


5. ×òî áîëüøå: 100! èëè 5150?

6. Óâåëè÷èòñÿ èëè óìåíüøèòñÿ ñóììà [pic], åñëè âñå ñëàãàåìûå â íåé çàìåíèòü
íà [pic]?


7. Òàíÿ ïîäàðèëà Âîâå òðåòüå ÷èñëî. Êàê, «ñáëèæàÿ» ÷èñëà, äîáèòüñÿ òîãî,
÷òîáû ïðîèçâåäåíèå âñåõ òð¸õ ÷èñåë ïðèíÿëî íàèáîëüøåå çíà÷åíèå?

8. ×èñëà a1, a2, ., an ïîëîæèòåëüíû.

à) Äîêàæèòå, ÷òî, ñáëèæàÿ ÷èñëà, ìîæíî ïîëó÷èòü íàáîð èç îäèíàêîâûõ
÷èñåë.

á) Äîêàæèòå, ÷òî a1ža2ž .ž an ˜ Sn , ãäå S - ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå
÷èñåë a1, a2, ., an.

â) Äîêàæèòå íåðàâåíñòâî ìåæäó ñðåäíèì àðèôìåòè÷åñêèì è ñðåäíèì
ãåîìåòðè÷åñêèì: [pic].
9. ×èñëà a1, a2, ., an ïîëîæèòåëüíû, S - èõ ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå.

à) Äîêàæèòå, ÷òî a12 + a22 + .+ an2 ™ nS 2

á) Äîêàæèòå íåðàâåíñòâî ìåæäó ñðåäíèì àðèôìåòè÷åñêèì è ñðåäíèì
êâàäðàòè÷íûì: [pic].
10. Ñóììà ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë a, b, c, d ðàâíà 1. Äîêàæèòå, ÷òî [pic]
11. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ñóììà ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë x1, x2, ., xn ðàâíà 1, òî
[pic].

Äîïîëíèòåëüíûå çàäà÷è

12. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ñóììà ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë x1, x2, ., xn ðàâíà 1, òî
[pic].

13. Ñóììà ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë a1, a2, ., an ðàâíà 1. Äîêàæèòå, ÷òî [pic]

14. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ñóììà ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë [pic], [pic], ., [pic]
ðàâíà 1, òî [pic].

15. Ñóììà ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë x1, x2, ., xn ðàâíà 1. Äîêàæèòå, ÷òî [pic].

16. a) Ïóñòü [pic]. Äîêàæèòå, ÷òî [pic];

á) Äîêàæèòå, ÷òî ïðè [pic] âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî ñ ïðîòèâîïîëîæíûì
çíàêîì.






-----------------------
[pic]