Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/circles/oim/materials/autumn05/zkozhevn31-2.ps Дата изменения: Sat Nov 19 19:14:18 2005 Дата индексирования: Sun Dec 23 01:08:53 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: http www.badastronomy.com bad tv foxapollo.html

Классическая геометрия. Касание окружностей.
группа \Зима", 31.10.05
Примем следующие обозначения для элементов треугольника ABC:
A 0 , B 0 , C 0 | середины сторон;
! | вписанная окружность, I | ее центр, A 1
, B 1
, C 1
| точки ее касания со сторонами;
!A , !B , !C | вневписанные окружности, I A , I B , I C | их центры, A 2 , B 2 , C 2 | точки их касания
со сторонами;

| описанная окружность, O | ее центр, A 0 и A 00 | середины дуг BC, соответственно содер-
жащей и не содержащей точку A; B 0 и B 00 , C 0 и C 00 определяются аналогично.
Рассмотрим окружность SA , касающуюся сторон AB и AC и окружности SA (внутренним обра-
зом) в точках K = KA , L = LA , T = TA .
Основная серия задач | установите следующие факты.
1. Точки T , K, C 0 (а также T , L, B 0 ) лежат на одной прямой.
2. TA | симедиана (т. е. прямая, симметричная медиане относительно соответствующей бис-
сектрисы) треугольника B 0 C 0 T .
3. Прямые ATA , BTB , CTC пересекаются в одной точке X, которая является центром гомотетии
с положительным коэффициентом окружностей ! и

4. TA 00 | медиана треугольника B 0 C 0 T .
5. T , I, A 00 лежат на одной прямой.
6. T , I, K, B (а также T , I, L, C) лежат на одной окружности, причем CC 0 (соответственно
BB 0 ) касается этой окружности.
7. K, I, L лежат на одной прямой.
Дополнительные задачи.
8. Докажите, что AA 0 | биссектриса угла TAA 2
. Получите новое решение задачи 3 и новое
описание точки X: X изогонально сопряжена точке Нагеля (т. е. точке пересечения прямых
AA 2
, BB 2
, CC 2
).
9. Докажите, что прямые KL, TA 0 и BC пересекаются в одной точке YA .
10. Докажите, что точки YA , YB , YC (точка из задачи 10 и построенные аналогично) лежат на
одной прямой.
11. Найдите аналоги задач 1 | 7 для окружности S 0
A
, касающейся продолжений сторон AB, AC
и
окружности
внешним образом.
Задачи для письменного решения | обобщения задачи 7.
Пусть D | точка на стороне AC треугольника ABC, S | окружность, касающаяся окруж-
ности
а также отрезков BD, DC | в точках M и N соответственно.
А. Докажите, что прямая MN проходит через I.
Б. Докажите, что прямая, проведенная через N параллельно BD, касается !.

Решения, комментарии.
Есть множество содержательных геометрических сюжетов, в которых присутствуют касаю-
щиеся окружности. Зачастую задачи с касанием окружностей с трудом поддаются анали-
тическому счету. Неслучайно одной из самых трудных и красивых геометрических теорем
признается теорема Фейербаха о касании вписанной окружности треугольника и его окруж-
ности девяти точек.
Цель занятия | рассмотреть несколько сюжетов и познакомиться с рядом геометрических
фактов и приемов, которые позволяют находить геометрических подход к решению задач о
касании окружностей.
Основная серия задач.
1. В случае касания окружности полезно рассмотреть гомотетию с центром в точке касания,
которая переводит одну из окружностей в другую.
В данной задаче при гомотетии H с центром T , переводящей SA
в
прямая AB переходит в
касательную l C , параллельную AB, а K | в точку
касания
и l C . Остается заметить, что
точка касания | это C 0 .
2. Продолжим рассмотрение гомотетии H из решения задачи 1. Пусть касательные l B и l C
к
пересекаются в PA . Тогда PA | образ A при гомотетии H. Следовательно, T , A и PA лежат
на одной прямой.
Остается воспользоваться известным свойством симедианы: она проходит через точку пере-
сечения касательных, проведенных к описанной окружности в двух вершинах треугольника.
Одно из самых красивых решений задачи о симедиане приведено в книге Ефремова. Идея
решения такова: достроим треугольник B 0 TC 0 до параллелограмма B 0 TC 0 Q. Подсчетом углов
с вершинами B 0 и C 0 нетрудно показать, что PA и Q | изогонально сопрояжены относительно
треугольника B 0 TC 0 .
3. При гомотетии H треугольник ABC переходит в треугольник PAPBPC . Прямые ATA , BTB ,
CTC пересекаются в центре гомотетии X этих треугольников. Описание точки X вытекает из
того, что вписанная окружность треугольника PAPBPC совпадает с описанной окружностью
треугольника ABC.
4. То, что TA 00 | медиана треугольника B 0 C 0 T , следует из равенства дуг C 0 A и A 00 B 0 и преды-
дущей задачи.
5. Дуги C 0 A 00 и B 0 C равны, поэтому CC 0 параллельна A 00 B 0 . Аналогично, BB 0 параллельна A 00 C 0 .
Следовательно, C 0 A 00 B 0 I | параллелограмм, значит A 00 I делит отрезок B 0 C 0 пополам. Теперь
все следует из предыдущей задачи.
6. Из предыдущего вытекает, что углы ITK и IBK опираются на равные дуги и равны половине
угла C. Касание следует из теоремы об угле между касательной и хордой.
7. Вытекает из предыдущего подсчетом углов.
Задача имеет независимое решение: достаточно применить теорему Паскаля к (самопересе-
кающемуся) шестиугольнику ABB 0 TC 0 C.

Дополнительные задачи.
8. Помимо гомотетии, в случае касания окружностей бывает эффективна инверсия.
При инверсии с центром A и подходящим радиусом
окружность
перейдет в касательную
m к !A , симметричную BC относительно биссектрисы угла a, а окружность SA перейдет в
!A . Следовательно, TA и точка R касания m и !A инверсны. Значит, A, R, T лежат на одной
прямой, а AT и AA 2
симметричны относительно биссектрисы угла A.
9. Например, YA | это точка пересечения радикальных осей окружностей
IBC и ITA 0 .
Автором задачи 9 является И.Ф.Шарыгин.
10. Кроме того, YA | радикальный центр окружностей
IBC и I (точка I рассматривается как
окружность). Каждая из точек YA , YB , YC имеет одинаковую степень относительно окружно-
стей
и I, следовательно YA , YB , YC лежат на радикальной оси этих окружностей.
11. Комментарий. Есть причины, по которым, скажем, вписанная и вневписанная окружности
обладают одинаковыми или двойственными свойствами. Это происходит, например, потому,
что в аналитической записи вписанная и вневписанная окружности практически не разли-
чаются | они описываются как окружности, касающиеся трех данных прямых; различия
только в геометрическом расположении. Каждый раз, доказав некий геометрический факт,
естественно попытаться найти \близнеца" для новой геометрической картинки.
Литература:
В.Прасолов. Задачи по геометрии. Глава 3, x3; 8; 10.
В.Протасов. Квант 1992, 9. Вокруг теоремы Фейербаха.
М.Сонкин. Окружности, вписанные в сегменты, и касательные. Конф. турнира городов 1999 г.
И.Ф.Шарыгин. Геометрия 9 | 11.