Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/circles/oim/materials/autumn06/b10-1Gavr.ps Дата изменения: Sat Nov 11 17:03:10 2006 Дата индексирования: Sun Dec 23 00:53:00 2007 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: массу

Буря на Массовом поле.
А. Гаврилюк
Определение. Центром масс системы нагруженных точек (A 1 , m 1 ), ...(A n , m n ) (A i - точки плоскости,
m i - "массы т.е. числовые коэффициенты, приписанные этим точкам), называется такая точка O
плоскости, что m 1
--# OX 1 + ... +m n
--# OX n = -# o (При этом считается, что m 1 + ...m n #= 0).
Задача 1.
а)Доказать, что для системы нагруженных точек (из определения) существует единственный
центр масс
б)Доказать, что для любой точки X верно --# XO = m 1
---# XX 1 +...+mn ---# XXn
m1+...+mn
Задача 2. Даны 2 системы нагруженных точек (X 1 , a 1 ), ...(X n , a n ) и (Y 1 , b 1 ), ...(Y m , b m ). Точки X
и Y - соответственно их центры масс. Доказать, что центр масс этих m + n точек совпадает с
центром масс сисемы (X, a 1 + ... + a n ) и (Y, b 1 + ... + b m )
Задача 3. Доказать теорему Чевы методом масс. Т.е. если в треугольнике ABC точки A 1 , B 1 , C 1
лежат соответственно на сторонах BC,AC,AB, то отрезки AA 1 , BB 1 , CC 1 пересекаются в одной
точке # AC 1 #BA 1 #CB 1
AB1#CA 1 #BC 1
= 1
Задача 4. Пусть в условии предыдущей задачи точка T - точка пересечения чевиан. Докажите,
что BT
TB 1
= BA1
A1C
+ BC 1
C 1 A
Задача 5. Точки K, L, M,N - середины сторон четыр?хугольника ABCD. Докажите, что точка
пересечения отрезков LN и KM делит пополам их, а также отрезок, соединяющий середины
диагоналей ABCD
Задача 6. A 1 , ...F 1 - середины сторон AB,BC, ...F A соответствующего шестиугольника. Доказать,
что точки пересечения медиан треугольников A 1 C 1 E 1 и B 1 D 1 E 1 совпадают.
Задача 7. Три одинаковые мухи ползают по периметру треугольника ABC так, что их центр
масс неподвижен. Известно, что одна из мух проползла всю границу. Докажите, что центр масс
мух совпадает с центром масс ABC.
Задача 8. На окружности дано n точек. Через центр масс n - 2 точек проводится прямая,
перпендикулярная хорде, соединяющей оставшиеся 2 точки. Доказать, что все такие прямые
пересекаются в одной точке.
Задача 9. В углы треугольника ABC вписаны попарно касающиеся окружности. Точки касания
A 1 , B 1 , C 1 этих окружностей лежат, соответственно против вершин ABC. Докажите, что отрезки
AA 1 , BB 1 , CC 1 пересекаются в одной точке.
1