Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/circles/oim/materials/file.ps Дата изменения: Fri Oct 22 16:18:20 2004 Дата индексирования: Sat Dec 22 13:38:25 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban

Акопян А.В.
Евклидовы Коники
Эллипсом с фокусами F 1 и F 2 называется множество точек, сумма расстояний от которых до F 1 и
F 2 постоянна.
Гиперболой с фокусами F 1 и F 2 называется множество точек, модуль разности расстояний от ко-
торых до F 1 и F 2 постоянен.
Параболой с фокусами F и директрисой d называется множество точек, равноудаленных от F и d.
Будем эти фигуры называть кониками.
Оказывается, что эти три фигуры есть образы окружности при проективных преобразованиях.
Как следствие, для них верны теоремы Паскаля и Брианшона, а также можно делать полярные
преобразования относительно данных кривых.
Подробнее о полярных преобразованиях см. А.А.Заславский \Геометрические преобразования"
(М., МЦНМО, 2004) и М.Берже \Геометрия" том 2 (М., Мир, 1984).
Задача ‚-2. Покажите, что через любые пять точек общего положения проходит ровно одна
коника.
Задача ‚-1. Покажите, что для любых пяти прямых общего положения существует ровно одна
коника касающееся данных пяти кривых.
Задача ‚0. Докажите, что касательная к эллипсу в точке X есть биссектриса внешнего угла
F 1 XF 2 .
Задача ‚1. Докажите, что касательная к гиперболе в точке X есть биссектриса угла F 1 XF 2 .
Задача ‚2. Касательные к эллипсу в точках X и Y пересекаются в точках A. Докажите,
что углы XAF 1 и Y AF 2 равны. Найти ГМТ точек A таких, что угол XAY прямой. Исследуйте
аналогичную задачу для гиперболы или параболы.
Задача ‚3. Докажите, что директриса полярна фокусу параболы.
Прямые полярные фокусам гиперболы и эллипса тоже будем называть директрисами.
Задача ‚4. Докажите, что для любой точки на эллипсе или гиперболе, отношение расстояний до
фокуса и до соответствующий ему директрисы постоянно. Что можно сказать про это отношение?
Задача ‚5. Пусть парабола касается трех прямых, содержащих стороны треугольника.
а) Покажите, что её фокус лежит на описанной окружности этого треугольника.
б) Выведите отсюда, что описанные окружности треугольников образованных четырьмя прямыми
пересекаются в одной точке (точке Микеля).
Задача ‚6. Пусть парабола касается трех прямых, содержащих стороны треугольника.
а) Покажите, что её директриса проходит через ортоцентр.
б) Выведите отсюда, что ортоцентры треугольников образованных четырьмя прямыми лежат на
одной прямой.
Задача ‚7. Пусть точка A лежит на директрисе коники. Докажите, что прямая соединяющая
данную точку с соответствующим директрисе фокусом перпендикулярна прямой, полярной точке A.
Задача ‚8. Пусть задан эллипс и охватывающая его замкнутая нить. Покажите, что eсли
натянуть нить с помощью карандаша, то карандаш нарисует эллипс, софокусный с данным.
Задача ‚9. Докажите, что все выпуклые n-угольники максимального периметра, вписанные в
данный эллипс, касаются некоторого софокусного эллипса.
Задача ‚10. Докажите, что гипербола проведенная через три данные точки равнобока, равно-
сильно тому, что она проходит через ортоцентр треугольника образованного этими точками.
Задача ‚11. Докажите, что при вращении двух прямых вокруг некоторых точек на этих пря-
мых с равными по модулю скоростями, но противоположными по направлению, точка пересечения
рисует равнобокую гиперболу.
Задача ‚12. Докажите, что окружность Эйлера проходит через центр равнобокой гиперболы,
проходящей через вершины треугольника.
Задача ‚13. Докажите, что однополостный гиперболоид содержит прямую.