Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/circles/oim/materials/sbinvers.ps Дата изменения: Thu Apr 15 19:12:28 2004 Дата индексирования: Sat Dec 22 16:45:30 2007 Кодировка: koi8-r Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban

Инверсия
Составитель Спиридонов С. В.
Пусть на плоскости дана окружность S с центром O и радиусом R. Инверсией относительно окруж-
ности S называют преобразование, переводящее произвольную точку A, отличную от O, в точку A  , ле-
жащую на луче OA на расстоянии OA  = R 2
OA от точки O. Инверсию относительно S будем также называть
инверсией с центром O и степенью R 2 , а окружность S | окружностью инверсии.
1. (а) Во что переходят точки лежащие внутри, и вне S? Во что переходят прямые, проходящие через O?
(b) Докажите, что треугольник BOA подобен трегольнику A  OB  .
(c) Во что переходят прямые и окружности?
2. (теорема Птолемея) Дан 4-х угольник ABCD. Докажите, что AB
CD+AD
BC  AC
BD; причем
равенство достигается, если ABCD | вписанный.
3. Дана окружность ! и хорда AB. Две окружности касаются хорды и ! и пересекаются в точках C и
D. Доказать, что CD делит дугу AB (противоположную той, которой касаются окружности) пополам.
4. В сегмент вписываются всевозможные пары касающихся окружностей. Найдите множество их точек
касания.
5. Даны 2 непересекающиеся окружности a и b. Две окружности c и d касаются их внешним образом и,
кроме того, касаются в точке A. Найти ГМТ A.
Пусть две окружности пересекаются в точке A. Углом между окружностями называют угол между
касательными к ним в точке A. (Ясно, что если окружности пересекаются в точках A и B, то угол между
касательными в точке A равен углу между касательными в точке B.) Аналогично определяется угол между
прямой и окружностью.
6. (a) Докажите, что инверсия сохраняет углы.
(b) Угол между обобщенными описанными окружностями треугольников ABC и ABD равен тому же
углу для треугольников ACD и BCD.
7. (a) Докажите, что две непересекающиеся окружности S 1 и S 2 (или окружность и прямую) можно
при помощи инверсии перевести в пару концентрических окружностей.
(b) (теорема Штейнера) Докажите, что если существует цепочка окружностей S 1 , S 2 , ..., S n , каждая
из которых касается двух соседних (S n касается S n 1
и S 1
) и двух данных непересекающихся окружностей
R 1 и R 2 , то таких цепочек бесконечно много. А именно, для любой окружности T 1 , касающейся R 1 и R 2
(одинаковым образом, если R 1
и R 2
не лежат одна в другой, внешним и внутренним в противоположном
случае), существует аналогичная цепочка из n касающихся окружностей T 1 ,T 2 , ..., T n . (c) Докажите, что
для двух непересекающихся окружностей R 1
и R 2
цепочка из n касающихся окружностей существует тогда
и только тогда, когда угол между окружностями T 1
и T 2
, касающимися R 1
и R 2
в точках их пересечения с
прямой соеденяющей центры, равен целому кратному угла 360 ф =n.
В дальнейшем рассматривается пространственная инверсия.
8*. Сфера с центром в плоскости основания ABC тетраэдра SABC проходит через вершины A, B и C
и вторично пересекает ребра SA, SB и SC в точках A 1
, B 1
и C 1
соответственно. Плоскости, касающиеся
сферы в точках A 1 , B 1 и C 1 , пересекаются в точке O. Докажите, что O - центр сферы, описаной около
тетраэдра SA 1 B 1 C 1
.
9*. Пусть ! | сфера единичного радиуса с центром в точке E = (0; 0; 1). Рассмотрим отображение
! на плоскость  = fz = 0g: точка A переходит в точку A  пересечения луча NA и , где N(0; 0; 2) |
точка, диаметрально противоположная точке касания ! и . Доказать, что окружности (на сфере) данное
преобразование переводит в обобщенные окружности.
10**. Можно ли замостить пространство окружностями, т.е. построить семейство окружностей f!  g 2R ,
такое чтобы любая точка пространства лежала бы ровно на одной окружности семейства.
11***. Построить семейство непересекающихся окружностей равного радиуса, покрывающих куб со
стороной 1.
12. Найти все плоские кривые, которые при инверсии с любым центром переходят в плоские кривые.