Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/circles/oim/materials/summer06/razdacha.doc Дата изменения: Fri Jul 28 09:57:42 2006 Дата индексирования: Sun Dec 23 00:52:20 2007 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban

Движения.
1. Докажите, ?то прямые, проведенные ?ерез середины сторон вписанного
?етырехугольника перпендикулярно противолежащим сторонам, пересекаются в
одной то?ке.
2. На диаметре АВ окружности взята то?ка М. Хорда СD проходит ?ерез М под
углом 45( к (АВ). Докажите, ?то |CM|2 + |DM|2 не зависит от выбора то?ки М.
3. На сторонах BC и CD квадрата АВСD, длина стороны которого равна а, взяты
соответственно то?ки М и N так, ?то площадь треугольника АМN равна сумме
площадей треугольников АВМ и АDN. Найдите (МАN и длину высоты треугольника
АМN, проведенной из вершины А.
4. На катетах a и b прямоугольного треугольника выбираются то?ки P и Q, из
которых опускаются перпендикуляры PK и QH на гипотенузу. Найдите наименьшее
зна?ение суммы |KP| + |PQ| + |QH|.
5. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в то?ке E.
Докажите, ?то если трапеция описанная, то угол АЕD - тупой.
6. В параллелограмме АВСD проведены высоты BK и BH; |KH| = a; |BD| = b.
Найдите расстояние от вершины В до ортоцентра треугольника BKH.
7. Правильный треугольник АВС вписан в окружность. Расстояния от вершин А и
В до произвольной то?ки М этой окружности равны соответственно а и b.
Найдите |CM|.
8. В треугольнике АВС проведены медиана СМ и высота СН. Прямые, проведенные
?ерез произвольную то?ку Р плоскости треугольника перпендикулярно СА, СМ и
СВ, пересекают прямую СН в то?ках A', M' и B'. Докажите, ?то |A'M'| =
|B'M'|.


Подобие и гомотетия.
1. На диагонали BD параллелограмма ABCD взята то?ка K. Прямая AK пересекает
прямые BC и CD в то?ках L и M соответственно. Докажите, ?то |AK|2 =
|LK|(|KM|.
2. На стороне ВС треугольника АВС постройте то?ку М так, ?тобы прямая,
проходящая ?ерез основания перпендикуляров, опущенных из М на (AB) и (АС),
была параллельна (ВС).
3. Две окружности касаются внутренним образом в то?ке М. Хорда АВ большей
окружности касается меньшей окружности в то?ке Р. Докажите, ?то МР -
биссектриса угла АМВ.
4. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC угол A - прямой, E - то?ка
пересе?ения диагоналей, то?ка F - основание перпендикуляра, опущенного из E
на сторону АB. Найдите (CFE, если (DFE = (.
5. На сторонах треугольника АВС внешним образом построены подобные
треугольники: (A'BC ( (B'CA ( (C'AB. Докажите, ?то в треугольниках АВС и
A'B'C' то?ки пересе?ения медиан совпадают.
6. Внутри квадрата ABCD взята то?ка Е. ET - высота треугольника АВЕ, К -
то?ка пересе?ения прямых DT и AE, М - то?ка пересе?ения прямых СТ и ВЕ.
Докажите, ?то отрезок КМ является стороной квадрата, вписанного в
треугольник АВЕ.
7. Дан остроугольный треугольник АВС. Найдите геометри?еское место центров
прямоугольников PQRS таких, ?то то?ки Р и Q лежат на стороне АС, а то?ки R
и S - на сторонах АВ и ВС соответственно.
8. По двум пересекающимся прямым с постоянными, но не равными скоростями VA
и VB соответственно, движутся то?ки А и В. Докажите, ?то существует такая
то?ка O, ?то в любой момент времени |AO| : |BO| = VA : VB и объясните ее
построение.


То?ка Микеля.
1. Две равные окружности с центрами О1 и О2 пересекаются в то?ках А и В.
То?ки М и К принадлежат данным окружностям, при?ем А является серединой
отрезка МК. Докажите, ?то: а) АВ ( МК; б) АМ = О1О2.
2. Две равные окружности с центрами О1 и О2 пересекаются в то?ках М и К.
Через то?ку К проведены две прямые, пересекающие первую окружность в то?ках
А и В, а вторую - в то?ках С и D соответственно. Докажите, ?то: а) АВ = СD;
б) треугольники АМС и ВМD - равнобедренные; в) треугольники АВМ и СDМ
равны; г) (АМС = (ВМD = (О1МО2.
3. Две окружности с центрами О1 и О2 пересекаются в то?ках М и К. На одной
окружности взяты то?ки А и В, а на другой - С и D так, ?то треугольники АВМ
и СDМ оказались равными (В и С лежат в одной полуплоскости относительно
прямой АD). Докажите, ?то то?ки А, К и С лежат на одной прямой и то?ки В, К
и D также лежат на одной прямой.
4. На сторонах ВС, СА и АВ треугольника АВС взяты то?ки А1, В1 и С1
соответственно. Докажите, ?то описанные окружности треугольников АВ1С1,
ВС1А1 и СА1В1 пересекаются в одной то?ке.
5. Докажите, ?то основания перпендикуляров, опущенных из некоторой то?ки Р
на прямые, содержащие стороны треугольника, лежат на одной прямой тогда и
только тогда, когда то?ка Р лежит на описанной окружности этого
треугольника.
6. То?ки А, В и С лежат на одной прямой, то?ка Р - вне этой прямой.
Докажите, ?то центры описанных окружностей треугольников АВР, ВСР, АСР и
то?ка Р лежат на одной окружности.
7. Четыре прямые образуют ?етыре треугольника. А) Докажите, ?то описанные
окружности этих треугольников имеют общую то?ку (то?ка Микеля). Б)
Докажите, ?то центры описанных окружностей этих треугольников лежат на
одной окружности, проходящей ?ерез то?ку Микеля.
8. Дан выпуклый ?етырехугольник АВСD, стороны ВС и АD которого равны, но не
параллельны. Пусть E и F - такие внутренние то?ки отрезков ВС и АD
соответственно, ?то ВE = DF. Прямые АС и ВD пересекаются в то?ке Р, прямые
BD и EF пересекаются в то?ке Q, прямые EF и AC пересекаются в то?ке R.
Рассмотрим треугольники PQR, полу?аемые для всех таких то?ек E и F.
Докажите, ?то окружности, описанные около всех таких треугольников, имеют
общую то?ку, отли?ную от P.