Документ взят из кэша поисковой машины. Адрес оригинального документа : http://www.mccme.ru/circles/oim/mmks/works2015/popov2.pdf Дата изменения: Fri Oct 23 16:05:16 2015 Дата индексирования: Sun Apr 10 19:06:30 2016 Кодировка: Windows-1251 Поисковые слова: http astrokuban.info astrokuban

Об объемах некоторых тел вращения
Попов Михаил. ГБОУ Лицей 1586. Научный руководитель: Аленников М.А.

Зафиксируем числа

k N; k 2 , n N, q N, q 2

.

Соединим последовательно точки самонепересекающейся замкнутой ломаной.

A(q n ; 0) - A0 (q n ; k ) - A1 (q

n+1

; k - 1) - . . . - A

k -1

(q

n+(k-1)

; 1) - Ak (q

n+k

; 0) - A(q n ; 0)

В итоге получим плоский многоугольник с вершинами в соответствующих точках.

Ступенчатым конусом

назовем тело вращения, получаемое вращением плоского многоугольника опребудем обозначать через

деленного выше, вокруг оси абсцисс. В дальнейшем
ступенчатый конус

,

а его объем через

V ()

Теорема (основная)
Зафиксируем числа

kN
k -2

;

k 2, n N, q N, q 2.

Объем произвольного ступенчатого конуса

выражается следующей формулой:

V () =

1 3

q
i=0

n+i+1

-q

n+i

3k 2 - 2k i + 3i2 - 3k + 3i + 1

+q

n+k

-q

n+(k-1)

Доказательство.

Разрежем



плоскостями перпендикулярными оси абсцисс и проходящими через точки

Ai q

n+i

;0

, где

0ik

. Тогда

сумму объемов нами в точках высотой

разобьется на k - 1 усеченных k - 1 усеченных конусов и конуса.
n+i

конусов и на один конус. Поэтому нам необходимо найти

Для нахождения объема усеченного конуса поступим так. Рассмотрим плоский многоугольник с верши-

Ai q

;0

,

Ai q

n+i

;k - i

,

A

i+1

q

n+i+1

; k - (i + 1)

,

A

i+1

q

n+i+1

многоугольника вокруг оси абсцисс, мы получим усеченный конус с радиусами

; 0 . После R = k-i

вращения такого ;

r = k-i-1

и

h=q

n+i+1

-q

n+i

. Обозначим такой усеченный конус через



i

Воспользуемся хорошо известной формулой для вычисления объема усеченного конуса а именно:

V=
Имеем,
2

1 h R2 + Rr + r 3

2

(1)

R2 = (k - i) = k 2 - 2k i + i2 2 r2 = (k - i - 1) = k 2 - 2k i + i2 - 2k + 2i + 1 Rr = (k - i) (k - i - 1) = k 2 - 2k i + i2 - k + i R2 + Rr + r2 = 3k 2 - 6k i + 3i2 - 3k + 3i + 1
Последние равенства подставим в (1), тогда имеем

V (i ) =

1 q 3

n+i+1

-q

n+i

3k 2 - 6k i + 3i2 - 3k + 3i + 1

Теперь необходимо просуммировать такие объемы усеченных конусов учитывая, что
k-2

0ik-2
(2)

V (i ) =
i=0

1 3

k -2

q
i=0

n+i+1

-q

n+i

3k 2 - 6k i + 3i2 - 3k + 3i + 1 k-1

Таким образом равенство (2) выражает суммарный объем щением треугольника с вершинами в точках Очевидно, что он выражается по формуле

усеченных конусов на которые мы в и

начале доказательства разбили наш ступенчатый конус. Нам осталось найти объем конуса получаемый вра-

(q n + (k - 1); 0) ; (q n + (k - 1); 1) 1 q 3

q

n+k

;0

вокруг оси абсцисс.

V=

n+k

-q

n+(k-1)

(3)

1


Для завершения доказательства сложим равенства (2) и (3), окончательно имеем,

V () =

1 3

k -2

q
i=0

n+i+1

-q

n+i

3k 2 - 2k i + 3i2 - 3k + 3i + 1

+q

n+k

-q

n+(k-1)

Зафиксировав числа

Этот факт будем обозначать

k N ; k 2 , n N заметим, V () = Vq ()

что

V ()

является функцией от переменной

q

.

Тогда имеет место следующее утверждение:

Теорема
При фиксированных

kN;k2,nN
q

lim

Vq+1 () Vq ()

=1

Доказательство.

Обозначим искомый предел через

-q
n+i

Vq () =

1 3

k -2

q
i=0

n+i+1

3k 2 - 2k i + 3i2 - 3k + 3i + 1

+q

n+k

-q

n+(k-1)

Vq

+1

() =

1 3

k -2

(q + 1)
i=0

n+i+1

- (q + 1)

n+i

3k 2 - 2k i + 3i2 - 3k + 3i + 1

+ (q + 1)

n+k

- (q + 1)

n+(k-1)

Тогда имеем

= limq



1 3



((
1

k-2 i=0 1 3

(

(q +1)n

+i+1

-(q +1)

n+i

)(

3k2 -2ki+3i2 -3k+3i+1))+(q +1)n
n +k

+k

-(q +1)n

+(k-1)

)



((

k -2 i=0

(q

n+i+1

-q

n+i

)(3k2 -2ki+3i2 -3k+3i+1))+q

-q

n+(k-1)

)
+(k-1)

Избавившись от 3



имеем,

= limq



((

k -2 i=0

(

(q +1)n

+i+1

-(q +1)

n+i

)(

3k2 -2ki+3i2 -3k+3i+1))+(q +1)n
2 2 n +k

+k

-(q +1)n

)

((

k -2 i=0

(q

n+i+1

-q

n+i

)(3k -2ki+3i -3k+3i+1))+q

-q

n+(k-1)

)

Заметим, что в числителе и знаменателе после соответствующего раскрытия скобок получатся многочлены от переменной

q

причем степень каждого многочлена

старшей степени, что числителя , что знаменателя имеют вид В силу выше сказанного имеем,

n+k qn

. Так же легко заметить ,что мономы при
+k

= lim
Где

q

q q

n+k n+k

1+ + A( q ) = lim + B (q ) q 1 +

A(q ) q n+k B (q ) q n+k

=1

A( q )

и

B (q )

это многочлены степени

n+k-1

получившиеся при раскрытие скобок в числителе и

знаменателе соответственно.

2